Podmíněná pravděpodobnost: 7 zajímavých faktů, které byste měli vědět

Podmíněná pravděpodobnost

podmiňovací teorie pravděpodobnosti vychází z konceptu podstupování obrovského rizika. V dnešní době existuje mnoho problémů, které pramení z hazardní hry, jako je házení mincí, házení kostkou a hraní karet. 

Teorie podmíněné pravděpodobnosti se používá v mnoha různých doménách a flexibilitě Podmíněná pravděpodobnost poskytuje nástroje pro téměř tolik různých potřeb. teorie pravděpodobnosti a vzorky související se studiem pravděpodobnosti vzniku událostí.

Uvažujme, že X a Y jsou dvě události náhodného experimentu. Poté je pravděpodobnost událostí X za okolností, že se Y již stalo s P (Y) ≠ 0, známá jako podmíněná pravděpodobnost a je označována P (X / Y).

Proto P (X / Y) = Pravděpodobnost výskytu X, pokud je podmínka, že Y se již stalo.

P(X ⋂ Y)/P( Y) = n(X ⋂ Y)/n (Y)

Podobně P (Y / X) = Pravděpodobnost výskytu Y, protože X se již stalo.

P(X ⋂ Y)/P( X ) = n(X ⋂ Y)/n (Y)

Ve zkratce pro některé případy se P (X / Y) používá k určení pravděpodobnosti výskytu X, když dojde k Y. Podobně se P (Y / X) používá k určení pravděpodobnosti Y, zatímco X se stane.

Co je věta o násobení o pravděpodobnosti?

Pokud X a Y jsou samonosné (nezávislé) události libovolného experimentu, pak

P (X ⋂ Y) = P(X). P( X/Y ), pokud P ( X ) ≠ 0

P (X ⋂ Y) = P(Y). P( Y/X), pokud P (Y) ≠ 0

Co jsou věty o násobení pro nezávislé události? 

If X a Y jsou samonosné (nezávislé) události spojené s libovolným experimentem, pak P (X ∩ Y) = P (X). P (Y)

tj. pravděpodobnost současného děje dvou nezávislých událostí se rovná znásobení jejich pravděpodobností. Použitím věty o násobení máme P (X ∩ Y) = P (Y). P (Y / X)

 Protože X a Y jsou nezávislé události, proto P (Y / X) = P (Y)

Znamená, P (X ∩ Y) = P (X). P (Y)

Zatímco události se vzájemně vylučují: 

Pokud X a Y jsou vzájemně se vylučující události, pak ⇒ n (X ∩ Y) = 0, P (X ∩ Y) = 0

P (XUY) = P (X) + P (Y)

U všech tří událostí X, Y, Z, které se vzájemně vylučují, 

P (X ∩ Y) = P (Y ∩ Z) = P (Z ∩ X) = P (X ∩ Y ∩ Z) = 0

P (X ⋃ Y ⋃ Z) = P(X) + P(Y) + P(Z)

Zatímco události jsou nezávislé: 

Pokud X a Y jsou neomezené (nebo nezávislé) události, pak

P(X ∩ Y) = P(X).P(Y)

P(XUY) = P(X) + P(Y) – P(X). P(Y)

Nechť tedy X a Y jsou dvě události spojené s libovolným (nebo náhodným) experimentem

Pokud Y⊂ X, pak

(b) P(Y) ≤ P(X)

Podobně pokud X⊂ Y, pak

(b) P(X) ≤ P(Y)

Pravděpodobnost výskytu ani X, ani Y není 

Příklad: Pokud je z balíčku karet vybrána jedna karta. Jaká je možná šance, že jde o rýč nebo krále?

řešení:

P (A) = P (rýčová karta) = 13/52

P (B) = P (karta krále) = 4/52

P (karta s rýčem nebo králem) = P (A nebo B)

= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)

= P (A) + P (B) -P (A) P (B)

=13/52+4/52-{(13/52)*(4/52)}

= 4 / 13

Příklad: Je známo, že někdo zasáhne cíl 3 ze 4 šancí, zatímco o jiné osobě je známo, že zasáhl cíl 2 ze 3 šancí. Zjistěte, zda je pravděpodobné, že cíl bude vůbec zasažen, když se o to pokusí oba lidé.

řešení:

 pravděpodobnost zasažení cíle první osobou = P (A) = 3/4

pravděpodobnost zasažení cíle druhou osobou = P (B) = 2/3

Tyto dvě události se vzájemně nevylučují, protože obě osoby zasáhly stejný cíl = P (A nebo B)

= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)

= P (A) + P (B) -P (A) P (B)

=3/4+2/3-{(3/4)*(2/3)}

= 11 / 12

Příklad: If  A  a B jsou dvě události takové, že P (A) = 0.4, P (A + B) = 0.7 a P (AB) = 0.2 pak P (B)?

řešení: Protože máme P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB)

=> 0.7 = 0.4 + P (B) -0.2

=> P (B) = 0.5

Příklad: Z balíčku karet je libovolně vybrána karta. Jaká je možnost, že karta bude červenou barvou nebo královnou.

Řešení: Požadovaná pravděpodobnost je

P (červená + královna) -P (červená ⋂ královna)

= P (červená) + P (královna) -P (červená ⋂ královna)

=26/52+4/52-2/52=28/52=7/13

Příklad: Pokud je pravděpodobnost selhání X v testu 0.3 a že pravděpodobnost Y je 0.2, pak najděte pravděpodobnost, že X nebo Y selhaly v testu?

Řešení: Zde P (X) = 0.3, P (Y) = 0.2

Nyní P (X ∪ Y) = P (X) + P (Y) -P (X ⋂ Y)

Jelikož se jedná o nezávislé události, tak

P (X ⋂ Y) = P (X). P (Y)

Tedy požadovaná pravděpodobnost je 0.3 + 0.2 -0.06 = 0.44

Příklad: Šance na neúspěch ve fyzice jsou 20% a možnost neúspěchu v matematice je 10%. Jaké jsou možnosti neúspěchu alespoň v jednom předmětu?

Řešení: Nechť P (A) = 20/100 = 1/5, P (B) = 10/100 = 1/10

Jelikož jsou události nezávislé a musíme je najít 

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) -P (A). P (B)

=(1/5)+(1/10)-(1/5). (1/10)= (3/10)-(1/50)=14/50

Takže šance na selhání u jednoho subjektu je (14/50) X 100 = 28%

Příklad: Pravděpodobnost řešení otázky třemi studenty je 1 / 2,1 / 4, respektive 1/6. Jaká bude možná šance na zodpovězení otázky?

Řešení:

(i) Tuto otázku může vyřešit také jeden student

(ii) Na tuto otázku mohou odpovědět současně dva studenti.

(iii) Na tuto otázku mohou odpovědět společně tři studenti.

P(A)=1/2, P(B)=1/4, P(C)=1/6

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) - [P (A). P (B) + P (B). P (C) + P (C). P (A)] + [P (A). P (B). P (C)]

=(1/2)+(1/4)+(1/6)-[(1/2).(1/4)+(1/4).(1/6)+(1/6).(1/2)] +[(1/2).(1/4).(1/6)] =33/48

Příklad: Náhodná proměnná X má rozdělení pravděpodobnosti

X	1	2	3	4	5	6	7	8
P(X)	0.15	0.23	0.12	0.10	0.20	0.08	0.07	0.05

Pro události E = {X je prvočíslo} a F = {X <4}, najděte pravděpodobnost P (E ∪ F).

Řešení:

E = {X je prvočíslo}

P (E) = P (2) + P (3) + P (5) + P (7) = 0.62

F = {X <4}, P (F) = P (1) + P (2) + P (3) = 0.50

a P (E ⋂ F) = P (2) + P (3) = 0.35

P (E ∪ F) = P (E) + P (F) - P (E ⋂ F)

      = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77

Příklad: Hodí se tři mince. Pokud se jedna z nich objeví jako ocas, jaká by byla možná šance, že se všechny tři mince objeví jako ocas?

Řešení: Zvážit E je událost, kde se všechny tři mince objeví ocas a F je událost, kde se mince objeví ocas. 

F = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

a E = {TTT}

Požadovaná pravděpodobnost = P (E / F) = P (E ⋂F) / P (E) = 1/7

Celková pravděpodobnost a Bayeho pravidlo

Zákon celkové pravděpodobnosti:

Pro ukázkový prostor S a n se vzájemně vylučují a vyčerpávající události E₁ E₂ ….E_n související s náhodným experimentem. Pokud X je konkrétní událost, která se stane s událostmi E₁ Ruda₂ nebo… nebo E_n, pak 

Bayeovo pravidlo: 

Zvážit S být ukázkovým prostorem a E₁, E₂,… ..E_n be n nepřiměřené (nebo vzájemně se vylučující) události takové, že

a P(E_i) > 0 pro i = 1,2,…,n

Můžeme myslet na E_ijsou faktory, které vedou k výsledku experimentu. Pravděpodobnosti P(E_i), i = 1, 2,… .., n se nazývají známé jako předchozí (nebo dřívější) pravděpodobnosti. Pokud hodnocení vyústí ve výsledek události X, kde P(X)> 0. Potom musíme vnímat možnost, že vnímaná událost X byla způsobena příčinou E_i, tj. hledáme podmíněnou pravděpodobnost P (E._i/X) . Tyto pravděpodobnosti jsou známé jako zadní pravděpodobnosti, dané Bayeho pravidlem jako

Příklad: Jsou známy 3 krabice, které obsahují 2 modré a 3 zelené kuličky; 4 modré a 1 zelený kulička a 3 modré a 7 zelených kuliček. Mramor je náhodně nakreslen z jedné z krabic a shledán jako zelená koule. Jaká je tedy pravděpodobnost, že to bylo čerpáno z Krabice obsahující nejvíce zelených kuliček.

Řešení: Zvažte následující události:

A -> nakreslený mramor je zelený;

E₁ -> Je vybrána kolonka 1;

E₂ Je vybráno políčko 2

E₃ Je vybráno políčko 3.

P (E.₁) = P (např₂) = P (např₃) = 1/3, p (A / E₁) = 3/5

Pak

P (A / E₂) = 1/5, P (A / E₃) = 7/10

Požadovaná pravděpodobnost = P (E₃/A)

P (E.₃)P(A/E₃)/P(E₁)P(A/E₁)+P(E₂)P(A/E₂)+P(E₃)P(A/E₃) = 7/15

Příklad: Ve vstupním testu je několik otázek. Na každou otázku existují čtyři pravděpodobné správné odpovědi, z nichž jedna má pravdu. Možná šance, že žák vnímá správnou odpověď na konkrétní otázku, je 90%. Pokud dostane správnou odpověď na konkrétní otázku, jaká je pravděpodobná šance, kterou předpovídal.

Řešení: Definujeme následující události:

A₁ : Zná odpověď.

A₂ : Možná nezná odpověď.

E: Je si vědom správné odpovědi.

P (A.₁) = 9/10, P (A₂) = 1-9 / 10 = 1/10, P (E / A₁) = 1,

HRÁŠEK₂) = 1/4

Takže očekávaná pravděpodobnost

Příklad: Vědro A obsahuje 4 žluté a 3 černé kuličky a kbelík B obsahuje 4 černé a 3 žluté kuličky. Jeden kbelík je odebrán náhodně a je nakreslen mramor a je uvedeno, že je žlutý. Jaká je pravděpodobnost, že to přijde Bucket B.

Řešení: Je založen na Bayeově větě. 

Pravděpodobnost vybraného kbelíku A , P (A) = 1/2

Pravděpodobnost vybraného kbelíku B , P (B) = 1/2

Pravděpodobnost žlutého mramoru z kbelíku A  =P(A). P(G/A)=(1/2)x (4/7)=2/7 

Pravděpodobnost žlutého mramoru z kbelíku B = P(B).P(G/B)=(1/2)x(3/7)=3/14

Celková pravděpodobnost žlutých kuliček = (2/7) + (3/14) = 1/2

Pravděpodobnost, že žluté kuličky jsou čerpány z kbelíku B  

P(G/B)={P(B).P(G/B)}/{P(A).P(G/A)+P(B).P(G/B)}={(1/2)x(3/7)}/{[(1/2)x(4/7)]+[(1/2)+(3/7)]} =3/7

Závěr:

 V tomto článku diskutujeme především o Podmíněná pravděpodobnost a Bayesova věta s příklady z těchto přímých a závislých důsledků pokusu, o kterém se zatím diskutujeme, nyní v po sobě jdoucích článcích vztahujeme pravděpodobnost na náhodnou veličinu a některé známé termíny související s teorií pravděpodobnosti probereme, pokud chcete další čtení, projděte si:

Schaum's Outlines of Probability and Statistics a W.stránka ikipedia.

Pro další studium viz naše stránka matematiky.