Jednoduše podporovaná definice paprsku
Jednoduše podepřeným nosníkem je nosník, jehož jeden konec je normálně zavěšený, a druhý konec má podporu válečku. Takže kvůli kloubovým podpěrám bude omezení posunu v (x, y) a kvůli podpěrám válečků bude zabráněno koncovému posunutí ve směru y a bude se moci pohybovat rovnoběžně s osou nosníku.
Jednoduše podporovaný diagram volného těla bez paprsku.
Níže je uveden diagram volného těla pro paprsek, ve kterém s bodovým zatížením působícím ve vzdálenosti „p“ od levého konce paprsku.
Jednoduše podporované okrajové podmínky paprsku a vzorec
Vyhodnocení reakčních sil působících na paprsek pomocí podmínek rovnováhy
Fx + Fy = 0
Pro vertikální rovnováhu
Fy = RA + RB – W = 0
Užívání Moment o A se rovná 0 se standardními notacemi.
Rb = Wp/L
Z výše uvedené rovnice
RA + Wp/L = W
Nechť XX je průsečík ve vzdálenosti „a“ x od koncového bodu označeného A.
Vzhledem k standardní Sign-konvenci můžeme vypočítat smykovou sílu v bodě A, jak je popsáno na obrázku.
Smyková síla v A,
Va = Ra = wq/L
Smyková síla v oblasti XX je
Vx = RA – W = Wq/L – W
Smyková síla na B je
Vb = -Wp/L
To dokazuje, že smyková síla zůstává mezi body aplikace bodových zatížení konstantní.
Při použití standardních pravidel ohybového momentu se ohybový moment ve směru hodinových ručiček od levého konce paprsku považuje za kladný a protisměrný ohybový moment se považuje za -ve.
- BM v bodě A = 0.
- BM v bodě C = -RA p ………………………… [protože moment je proti směru hodinových ručiček, Bending Moment vyjde jako záporný]
- BM v bodě C je následující
- BM = -Wpq/L
- BM v bodě B = 0.
Jednoduše podporovaný ohybový moment paprsku pro rovnoměrné rozložení zatížení jako funkce x.
Níže je uveden jednoduše podepřený nosník s rovnoměrně rozloženým zatížením aplikovaným po celém rozpětí,
Region XX je libovolný region ve vzdálenosti x od A.
Výsledné ekvivalentní zatížení působící na nosník z důvodu rovnoměrného zatížení lze zpracovat pomocí
F = L * f
F = fL
Ekvivalentní bodové zatížení fL působící ve středním rozpětí. tj. na L / 2
Vyhodnocení reakčních sil působících na paprsek pomocí podmínek rovnováhy
Fx = 0 = Fy = 0
Pro vertikální rovnováhu
Fy = 0
Ra + Rb = fL
podle standardních konvencí znaménka můžeme psát
L/2 – R = 0
Z výše uvedené rovnice
RA + fl/2
Podle standardní signové konvence bude shearforce v A.
Va = Ra = FL/2
Smyková síla v C
Vc = Ra – fL/2
Smyková síla v oblasti XX je
Vx = RA – fx = fL/2 – fx
Smyková síla v B
Vb = -fL/2
U diagramu ohybového momentu to zjistíme pomocí standardní notace.
- BM v bodě A = 0.
- BM v bodě X je
- B.Mx = MA – Fx/2 = -fx/2
- BM v bodě B = 0.
Ohybový moment lze tedy zapsat následovně
B.Mx = fx/2
Případ I: Pro Jednoduše podepřený nosník se soustředěným zatížením F působícím ve středu nosníku
Níže je schéma volného tělesa pro jednoduše podepřený ocelový nosník nesoucí koncentrované zatížení (F) = 90 kN působící v bodě C. Nyní spočítejte sklon v bodě A a maximální průhyb. pokud I = 922 centimů4, E = 210 GigaPascal, L = 10 metrů.
Řešení:
FBD Uvedený příklad je uveden níže,
Sklon na konci paprsku je,
dy/dx = FL/16E
Pro jednoduše podepřený ocelový nosník nesoucí koncentrované zatížení ve středu je maximální průhyb,
Ymax = FL/48 EI
Ymax = 90 x 10 x 3 = 1.01 m
Případ II: Pro Jednoduše podepřený nosník se zatížením ve vzdálenosti „a“ od podpěry A.
V tomto případě působí zatížení (F) = 90 kN v bodě C. Poté vypočítáme sklon v bodě A a B a maximální průhyb, pokud I = 922 cm4, E = 210 GigaPascal, L = 10 metrů, a = 7 metrů, b = 3 metry.
Takže,
Sklon na koncové podpoře A nosníku,
θ = Fb(L2 – b2) = 0.211
Sklon na konci podpory B paprsku,
θ = Fb (l2 – B2 ) (6 LE) = 0.276 rad
Rovnice poskytuje maximální průhyb,
Ymax = Fb (3L – 4b) 48EI
Tabulka sklonu a průhybu pro standardní zatěžovací stavy:
Sklon a průhyb v jednoduše podporovaném nosníku s rovnoměrně rozloženým zatížením případ
Nechť váha W.1 jednající ve vzdálenosti a od konce A a w2 působící ve vzdálenosti b od konce A.
UDL aplikovaný přes celý Beam nevyžaduje žádné speciální zacházení spojené s Macaulayovými závorkami nebo Macaulayovými podmínkami. Mějte na paměti, že podmínky Macaulay jsou integrovány s ohledem na sebe. U výše uvedeného případu (xa), pokud vyjde záporně, je nutné jej ignorovat. Nahrazením koncových podmínek se konvenčně získají hodnoty konstanty integrace, a tudíž požadované hodnoty sklonu a výchylky.
V tomto případě UDL začíná v bodě B, rovnice ohybového momentu je upravena a rovnoměrně rozložený termín zatížení se stává Macaulayovým Bracketovým výrazem.
Projekt Ohybový moment rovnice pro výše uvedený případ je uvedena níže.
EI (dy/dx) = Rax – w(xa) – W1 (xa) – W2 (xb)
Integraci dostaneme,
EI (dy/dx) = Ra (x2/2) – frac w(xa) (6) – W1 (xa) – W1 (xb)
Jednoduše podporované vychýlení paprsku jako funkce x pro distribuované zatížení [trojúhelníkové zatížení]
Níže je uveden jednoduše podporovaný nosník rozpětí L vystavený trojúhelníkovému zatížení a odvozený rovnice sklonu a ohybového momentu s využitím metodiky dvojité integrace je následující.
Pro symetrické zatížení nese každá reakce podpory polovinu celkového zatížení a reakce na podpoře je wL / 4 a vzhledem k momentu v bodě, který je ve vzdálenosti x od podpory A, se počítá jako.
M = šD/4x – šx/D – x/3 = š (12L) (3L – 4x)
Pomocí rozdílun-rovnice křivky.
dvojitou integrací, kterou můžeme najít jako.
EI (dy/dx) = w/12L (3L x 2x 2) (-x) + C1
uvedení x = 0, y = 0 do rovnice [2],
C2 = 0
U symetrického zatížení je sklon 0.5 L nulový
Sklon = 0 při x = L / 2,
0 = w/12L (3L x L2 – L4 +C1)
Nahrazení hodnot konstant C2 a C1 dostaneme,
EI (dy/dx) = w 12L (3L) (2) – 5wl/192
Nejvyšší průhyb se nachází ve středu paprsku. tj. na L / 2.
Ely = š/12 l (3 l x 2 l x 3) (2 x 8) / l5 (5 x 32) (192)
Vyhodnocení sklonu při L = 7 m a průhybu z daných údajů: I = 922 cm4 , E = 220 GPa, L = 10 m, w = 15 Nm
Z výše uvedených rovnic: při x = 7 m,
EI (dy/dx) = š (12L)(3L x 2x x 2) – x4 – 5wl/192
pomocí rovnice [4]
Ely = – wl/120
220 x 10 x 922 = 6.16 x 10-4 m
Záporné znaménko představuje výchylku směrem dolů.
Jednoduše podporovaný paprsek vystavený různým zatížením vyvolávajícím napětí v ohybu.
Níže je uveden příklad jednoduše podepřeného ocelového nosníku nesoucího bodové zatížení a podpěry v tomto nosníku jsou na jednom konci podepřeny čepem a dalším je podpěra válečků. Tento paprsek má následující daný materiál a údaje o načítání
zatížení zobrazené na obrázku níže má F = 80 kN. L = 10 m, E = 210 GPa, I = 972 cm4d = 80 mm
Vyhodnocení reakčních sil působících na paprsek pomocí podmínek rovnováhy
Fx = 0; Fy = 0
Pro vertikální rovnováhu
Fy = 0 (Ra + Rb – 80000 0 = XNUMX)
Vezmeme-li Moment o A, Clock wise Moment + ve a moment proti směru hodinových ručiček se bude brát jako -ve, můžeme vypočítat jako.
80000 4 x 10 – Rb x 0 = XNUMX
Rb = 32000 XNUMX N
Uvedení hodnoty R.B v rovnici [1].
RA + 32000 80000 = XNUMX XNUMX
Ra = 48000
Nechť XX je část zajímavého ve vzdálenosti x od koncového bodu A, takže smyková síla v A bude.
VA = RA = 48000 N
Smyková síla v oblasti XX je
Vx = RA – F = Fb/L – F
Smyková síla na B je
Vb = -Fa/L = -32000
To dokazuje, že smyková síla zůstává mezi body aplikace bodových zatížení konstantní.
Při použití standardních pravidel ohybového momentu se ohybový moment ve směru hodinových ručiček od levého konce paprsku považuje za pozitivní. Proti směru hodinových ručiček Ohybový moment je považován za záporný.
- Ohybový moment při A = 0
- Ohybový moment při C = -RA a ………………………… [protože moment je proti směru hodinových ručiček, Bending Moment vyjde jako záporný]
- Ohybový moment v C je
- BM = -80000 x 4 x 6/4 = -192000 Nm
- Ohybový moment při B = 0
Euler-Bernoulliho rovnice pro ohybový moment je dána vztahem
M/I = ay = E/R
M = Aplikováno BM na průřez nosníku.
I = 2. oblast moment setrvačnosti.
σ = Napětí v ohybu-indukovaný.
y = normální vzdálenost mezi neutrální osou nosníku a požadovaným prvkem.
E = Youngův modul v MPa
R = poloměr zakřivení v mm
To znamená, že napětí v ohybu v paprsku
ab = Mmax/y = 7.90
Vědět o vychýlení paprsku a Konzolový nosník další článek klikněte níže.
Jsem Hakimuddin Bawangaonwala, strojní inženýr s odbornými znalostmi v oblasti mechanického návrhu a vývoje. Dokončil jsem M. Tech v konstrukčním inženýrství a mám 2.5 roku zkušeností s výzkumem. Dosud byly publikovány dva výzkumné články o tvrdém soustružení a analýze konečných prvků u zařízení pro tepelné zpracování. Mou oblastí zájmu je konstrukce strojů, pevnost materiálu, přenos tepla, tepelné inženýrství atd. Zběhlý v CATIA a ANSYS softwaru pro CAD a CAE. Kromě výzkumu.