Permutace a kombinace: 7 kompletních rychlých faktů

by

Vlastnosti permutace a kombinace

  Když diskutujeme o permutaci a kombinaci, protože máme co do činění s výběrem a uspořádáním s ohledem na pořadí objednávek nebo bez nich, v závislosti na situaci existují různé typy a vlastnosti pro permutace a kombinace, tyto rozdíly mezi permutacemi a kombinacemi zde vysvětlíme s oprávněnými příklady.

permutace bez opakování

  Toto je normální permutace, která uspořádá n objektů pořízených r současně, tj. NPr

n Pr= n! / (nr)!

počet objednávek n různých různých objektů najednou n Pn = n!

Kromě toho máme

nP0 = n! / n! = 1

nPr = nn-1Pr-1

0! = 1

1 / (- r)! = 0 nebo (-r)! = ∞

permutace s opakováním

 Počet permutací (uspořádání) pro různé položky, odebrané r najednou, kde se každá položka může stát jednou, dvakrát, třikrát, …… .. r -krát tolik v libovolném uspořádání = Počet způsobů, jak vyplnit r oblastí, kde každá položku lze vyplnit kteroukoli z n položek.

Obrázek2 R číslo místa
Vlastnosti Permutace a kombinace: permutace s opakováním

Počet permutací = Počet způsobů plnění r místa = (n)r

Počet objednávek, které lze uspořádat pomocí n objektů, z toho p jsou podobné (a jednoho druhu) q jsou podobné (a jiného druhu), r jsou podobné (a jiného druhu) a zbytek je odlišný je nPr = n! / (p! q! r!)

Příklad:

Kolik způsobů lze rozdělit 5 jablek mezi čtyři chlapce, když si každý chlapec může vzít jedno nebo více jablek.      

Řešení: Toto je příklad permutace s opakováním, protože víme, že pro takové případy máme

Počet permutací = Počet způsobů plnění r místa = nr

Požadovaný počet způsobů je 45 = 10, Protože každé jablko lze distribuovat 4 způsoby.

Příklad: Zjistěte počet slov, která lze uspořádat pomocí písmen slova MATEMATIKA jejich seskupením.

Řešení: Zde můžeme pozorovat, že existují 2 M, 2 A a 2T, toto je příklad permutace s opakováním

= n! / (p! q! r!)

 Požadovaný počet způsobů je = 11! / (2! 2! 2!) = 4989600

Příklad: Kolik způsobů, jakými se počet ocasů rovná počtu hlav, pokud je v řadě uspořádáno šest stejných mincí.

Řešení: Tady to můžeme pozorovat

Počet hlav = 3

Počet ocasů = 3

A protože mince jsou identické, jedná se o příklad permutace s repetition = n! / (P! Q! R!)

Požadovaný počet způsobů = 6! / (3! 3!) = 720 / (6X6) = 20

Kruhová permutace:

Při kruhové permutaci je nejdůležitější uspořádání objektu vzhledem k ostatním.

Takže v kruhové permutaci upravíme polohu jednoho objektu a uspořádáme ostatní objekty ve všech směrech.

Kruhová permutace je rozdělena do dvou způsobů:

(i) Kruhová permutace, kde to naznačují nastavení ve směru hodinových ručiček a proti směru hodinových ručiček různé permutace, např. Uspořádání pro usazení lidí kolem stolu.

(ii) Kruhová permutace, kde se zobrazuje nastavení ve směru hodinových ručiček a proti směru hodinových ručiček stejná obměna, např. aranžování určitých korálků k vytvoření náhrdelníku.

Uspořádání ve směru hodinových ručiček a proti směru hodinových ručiček

Pokud jsou pořadí a pohyb proti směru hodinových ručiček a ve směru hodinových ručiček ne jiné např. uspořádání korálků v náhrdelníku, aranžování květin v girlandách atd., pak počet kruhových obměn n odlišné položky je (n-1)! / 2

  1. Počet kruhové permutace pro n různých položek, odebraný r najednou, kdy jsou považovány objednávky pro směr hodinových ručiček a proti směru hodinových ručiček odlišný by nPr /r
  2. Počet kruhové permutace pro n různých položek, odebraný r najednou, když jsou pořadí po směru hodinových ručiček a proti směru hodinových ručiček ne jiné od nPr / 2r
  3. Počet kruhových permutací n různých objektů je (n-1)!
  4. Počet způsobů, jakými n na kruhový stůl mohou sedět různí chlapci (n-1)!
  5. Počet způsobů, jakými n různé drahokamy mohou být nastaveny tak, aby tvořily náhrdelník, je (n-1)! / 2

Příklad:

Kolik způsobů lze do kruhu umístit pět klíčů

Řešení:

Protože ve směru hodinových ručiček a proti směru hodinových ručiček jsou v případě vyzvánění stejné.

Pokud jsou pořadí a pohyb proti směru hodinových ručiček a ve směru hodinových ručiček ne jiné pak počet kruhových permutací n odlišné položky je

= (n-1)! / 2

Požadovaný počet způsobů = (5-1)! / 2 = 4! / 2 = 12     

Příklad:

Jaký by byl počet opatření, Pokud by jedenáct členů výboru sedělo u kulatého stolu, aby předseda a tajemník seděli vždy společně.

Řešení:

Základní vlastností kruhové permutace

Počet kruhových permutací n různých věcí je (n-1)!

Jelikož jsou dvě pozice pevné, tak máme

Požadovaný počet způsobů (11-2)! * 2 = 9! * 2 = 725760

Příklad: Jaký by byl počet způsobů, jak 6 mužů a 5 žen může jíst u kulatého stolu, pokud nemohou sedět dvě ženy společně

Řešení: Základní vlastností kruhové permutace.

Počet kruhových permutací n různých věcí je (n-1)!

Počet způsobů, jak lze u kulatého stolu uspořádat 6 mužů = (6 - 1)! = 5!

Vlastnosti permutace a kombinace
Vlastnosti permutace a kombinace: Příklad

Nyní mohou být ženy uspořádány do 6! způsoby a celkový počet způsobů = 6! × 5!

Kombinace bez opakování

Toto je obvyklá kombinace, což je „Počet kombinací (výběrů nebo skupin), z nichž lze vytvořit n různé objekty pořízené r najednou je nCr = n! / (nr)! r!

Také    nCr =nCrr

              n Pr / r! = n! / (nr)! =nCr

Příklad: Najděte počet možností, jak vyplnit 12 volných pracovních míst, pokud existuje 25 kandidátů a pět z nich je z plánované kategorie, za předpokladu, že 3 volná místa jsou vyhrazena pro kandidáty SC, zatímco zbývající jsou otevřena všem.

Řešení: Protože 3 volná místa jsou obsazena od 5 uchazečů 5 C3  způsoby (tj. 5 VYBERTE 3) a nyní zbývajících kandidátů je 22 a zbývajících křesel je 9, takže by to bylo 22C9 (22 VÝBĚR 9) Výběr lze provést v 5 C3  X 22C9 ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}

5 C3  X 22C9 = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22!/(9!X13!)}=4974200

Výběr tedy lze provést 4974200 způsoby. 

Příklad: Ve volbách je 10 kandidátů a tři volná místa. kolika způsoby může volič odevzdat svůj hlas?

Řešení: Jelikož jsou k dispozici pouze 3 volná místa pro 10 kandidátů, jedná se o problém 10 VÝBĚRŮ 1, 10 VÝBĚRŮ 2 a 10 VÝBĚRŮ 3 Příklady,

Volič může hlasovat 10C1+10C2+10C3 = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+120= 175 ways.

 Volič tedy může volit 175 způsoby.

Příklad:V místnosti pro 9 osoby je 4 židlí, z nichž jedna je jednomístný host s jednou konkrétní židlí. Kolik způsobů mohou sedět?

Řešení: Vzhledem k tomu, že lze vybrat 3 židle 8C3 a pak 3 osoby mohou být uspořádány do 3! způsoby.

3 osoby mají sedět na 8 židlích 8C3 (tj. 8 VYBERTE 3) uspořádání

=8C3 X3! = {8! / 3! (8-3)!} X3!

= 56X6 = 336

Mohou sedět 336 způsoby.

Příklad: Pro pět mužů a 4 ženy bude vytvořena skupina 6. Kolik způsobů to lze udělat, aby skupina měla více mužů.

Řešení: Zde problém zahrnuje různé kombinace jako 5 VYBERTE 5, 5 VYBERTE 4, 5 VYBERTE 3 pro muže a pro ženy obsahuje 4 VYBERTE 1, 4 VYBERTE 2 a 4 VYBERTE 3, jak je uvedeno níže

1 žena a 5 mužů4C1 X 5C5 ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)!}=4

           2 ženy a 4 muži4C2 X 5C4 = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5-4)!}=30

           3 ženy a 3 muži4C3 X 5C3 = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3!(5-3)!} =40

    Proto celkový počet cest = 4 + 30 + 40 = 74.

Příklad: Počet způsobů, jak 12 chlapců může cestovat ve třech autech, takže 4 chlapci v každém autě, za předpokladu, že tři konkrétní chlapci nepůjdou stejným autem.

Řešení: Nejprve vynechejte tři konkrétní chlapce, zbývajících 9 chlapců mohou být 3 v každém autě. To lze provést v 9 CHOOSE 3, tj 9C3 způsoby,

Tři konkrétní chlapci mohou být umístěni třemi způsoby, jedním v každém autě. Celkový počet způsobů je tedy = 3x9C3.

={9!/3!(9-3)!}X3= 252

takže je lze umístit 252 způsoby.

Příklad: Kolik způsobů, jak 2 zelené a 2 černé koule vyšly z tašky obsahující 7 zelených a 8 černých koulí?

Řešení: Zde taška obsahuje 7 zelených, z toho musíme vybrat 2, takže je to 7 VYBERTE 2 problém a 8 černých koulí z toho musíme vybrat 2, takže je to 8 VYBERTE 2 problém.

Proto je požadované číslo = 7C2 X 8C2 = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!}=21X28=588

takže 588 způsoby můžeme z této tašky vybrat 2 zelené a 2 černé.

Příklad: K dispozici je dvanáct různých znaků anglických slov. Z těchto písmen jsou vytvořena 2 abecední jména. Kolik slov lze vytvořit, když se opakuje alespoň jedno písmeno.

Řešení: zde musíme vybrat 2 písmenná slova z 12 písmen, takže je to problém 12 CHOOSE 2.

Počet slov se 2 písmeny, ve kterých se písmena kdykoli opakují = 122

        Ale ne. slov o tom, že mají dvě různá písmena z 12 =12C2 = {12!/2!(12-2)!} =66

        Požadovaný počet slov = 122-66 = 144-66 = 78.

Příklad: V rovině je 12 bodů, kde je šest kolineárních, pak kolik čar lze nakreslit spojením těchto bodů.

Řešení: Pro 12 bodů v rovině k vytvoření přímky potřebujeme 2 body stejné pro šest kolineárních bodů, takže se jedná o problém 12 CHOOSE 2 a 6 CHOOSE 2.

Počet řádků je = 12C2 - 6C2 +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2)!}+1 =66-15+1=52

Takže 52 způsoby lze nakreslit čáry.

Příklad: Najděte počet způsobů, jak lze sestavit 6člennou skříňku od 8 pánů a 4 dám tak, aby skříň sestávala alespoň z 3 dám.

Řešení: Pro vytvoření výboru si můžeme vybrat ze 3 mužů a žen a 2 mužů ze 4 žen, takže problém zahrnuje 8 ZVOLTE 3, 4 ZVOLTE 3, 8 ZVOLTE 2 a 4 ZVOLTE 4.

Lze vytvořit dva typy skříní

        (i) Mít 3 muže a 3 dámy

        ii) 2 muži a 4 dámy

        Možné č. způsobů = (8C3 X 4C3🇧🇷8C2 X4C4)= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252      

Takže 252 způsoby můžeme vytvořit takovou skříňku.

       Zde je několik příkladů, kde můžeme situaci porovnat nPr vs nCr v případě permutace je důležitý způsob organizace věcí. V kombinaci však pořadí nic neznamená.

Proč investovat do čističky vzduchu?

Stručný popis Permutace a kombinace při opakování a neopakování se základním vzorcem a důležité výsledky jsou poskytovány ve formě skutečných příkladů, v této sérii článků podrobně probereme různé výsledky a vzorce s relevantními příklady, pokud chcete pokračovat ve čtení:

SCHAUMOVA NABÍDKA teorie a problémů diskrétní matematiky

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

Další článek o matematice naleznete v tomto článku Odkaz