Diskrétní náhodná proměnná a matematické očekávání-II
Jak již nyní známe diskrétní náhodná proměnná, je to náhodná proměnná, která bere spočítatelný počet možných hodnot v sekvenci. Dva důležité pojmy související s diskrétními náhodnými proměnnými jsou pravděpodobnost diskrétní náhodné proměnné a distribuční funkce, kterou omezíme na název na pravděpodobnostní a distribuční funkci jako,
Funkce pravděpodobnostní hmotnosti (PMF)
Projekt Funkce pravděpodobnostní hmotnosti je pravděpodobnost diskrétní náhodné proměnné, tedy pro libovolnou diskrétní náhodné proměnné x1, X2, X3, X4,……, Xk odpovídající pravděpodobnosti P (x1), P (x2), P (x3), P (x4) ……, P (xk) jsou odpovídající hromadné funkce pravděpodobnosti.
Konkrétně pro X = a je P (a) = P (X = a) jeho pmf
My zde dále používáme pravděpodobnostní hmotnostní funkce pro diskrétní náhodné veličiny pravděpodobnost. Všechny pravděpodobnostní charakteristiky pro pravděpodobnost budou samozřejmě aplikovatelné na funkci hmotnosti pravděpodobnosti, jako je pozitivita a součet všech pmf bude jedna atd.
Kumulativní distribuční funkce (CDF) / distribuční funkce
Distribuční funkce definovaná jako
F (x) = P (X <= x)
pro diskrétní náhodnou proměnnou s funkcí pravděpodobnosti hmotnosti je kumulativní distribuční funkce (cdf) náhodné proměnné.
a matematické očekávání pro takovou náhodnou veličinu jsme definovali byl
nyní vidíme některé z výsledků matematických očekávání
- Pokud x1, X2, X3, X4, ... .. jsou diskrétní náhodné proměnné s příslušnými pravděpodobnostmi P (x1), P (x2), P (x3), P (x4)… Očekávání pro funkci se skutečnou hodnotou g bude
Příklad: pro následující hromadné funkce pravděpodobnosti najděte E (X3)
Zde g (X) = X3
Takže,
E (X3) = (-1)3 <em>0.2 + (0)3</em> 0.5 + (1)3 * 0.3
E (X3) = 0.1
Podobným způsobem pro libovolnou n-tu objednávku můžeme psát
Což je známé jako n-tý okamžik.
2. Pokud jsou a a b konstanty, pak
E [aX + b] = aE [X] + b
To můžeme snadno pochopit jako
= aE [X] + b
Odchylka z hlediska očekávání.
Pro průměr označený μ bude rozptyl diskrétní náhodné proměnné X označený var (X) nebo σ z hlediska očekávání
Var (X) = E [(X- μ)2]
a to můžeme dále zjednodušit jako
Var (X) = E [(X- μ)2]
= E [X2] – 2μ2 + μ2
= E [X2] – μ2
to znamená, že můžeme rozptyl napsat jako rozdíl očekávání čtverce náhodné proměnné a čtverce očekávání náhodné proměnné.
tj. Var (X) = E [X2] - (E [X])2
Příklad: když je vyvolána kostka, spočítejte rozptyl.
Řešení: tady víme, že když bude hozen hod, budou pravděpodobnosti pro každou tvář
p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6
tedy pro výpočet rozptylu najdeme očekávání náhodné proměnné a jejího čtverce jako
E[X]=1.(1/6)+2.(1/6)+3.(1/6)+4.(1/6)+5.(1/6)+6.(1/6)=(7/2)
E [X2] = 12. (1/6) +22. (1/6) +32. (1/6) +42. (1/6) +52. (1/6) +62.(1/6) =(1/6)(91)
a právě jsme dostali rozptyl jako
Var (X) = E [X2] - (E [X])2
so
Var (X) = (91/6) - (7/2)2 = 35 / 12
Jeden z důležitá identita pro rozptyl is
- Pro libovolné konstanty a a b máme
Var (aX + b) = a2 Var (X)
To můžeme snadno ukázat jako
Var (aX + b) = E [(aX + b -aμ-b)2 ]
= E [a2(X - μ)2]
=a2 E [(X-μ)2]
=a2 Var (X)
Bernoulli Náhodná proměnná
Švýcarský matematik James Bernoulli definuje Bernoulliho náhodná proměnná jako náhodná proměnná, která má buď úspěch, nebo neúspěch jako pouze dva výsledky náhodného experimentu.
tj. když je výsledkem úspěch X = 1
Když je výsledkem selhání X = 0
Funkce pravděpodobnostní hmotnosti pro Bernoulliho náhodnou proměnnou tedy je
p (0) = P {X = 0} = 1-p
p (1) = P {X = 1} = p
kde p je pravděpodobnost úspěchu a 1-p bude pravděpodobnost selhání.
Zde můžeme vzít 1-p = q také tam, kde q je pravděpodobnost selhání.
Protože tento typ náhodné proměnné je zjevně diskrétní, jedná se o jednu z diskrétních náhodných proměnných.
Příklad: Hodit minci.
Binomická náhodná proměnná
Pokud pro náhodný experiment, který má pouze výsledek jako úspěch nebo neúspěch, provedeme n pokusů, takže pokaždé, když získáme buď úspěch, nebo neúspěch, pak je náhodná proměnná X představující výsledek pro takový n náhodný experiment známá jako Binomická náhodná proměnná.
Jinými slovy, pokud p je funkce pravděpodobnostní hmotnosti pro úspěch v jediné Bernoulliho studii a q = 1-p je pravděpodobnost selhání, pak pravděpodobnost, že dojde k události „x nebo i“ v n pokusech, bude
or
Příklad: Pokud hodíme dvě mince šestkrát a získání hlavy je úspěch a zbývající výskyty jsou selhání, pak bude jejich pravděpodobnost
podobným způsobem můžeme vypočítat pro každý takový experiment.
Projekt Binomická náhodná proměnná má jméno Binomický protože to představuje expanzi
Pokud bychom dali místo n = 1, pak by se to změnilo na Bernoulliho náhodnou proměnnou.
Příklad: Pokud by bylo hodeno pět mincí a výsledek by byl hodnocen nezávisle, jaká by byla pravděpodobnost počtu hlav?
Zde, pokud vezmeme náhodnou proměnnou X jako počet hlav, pak by se to změnilo na binomickou náhodnou proměnnou s n = 5 a pravděpodobností úspěchu jako ½
Sledováním funkce pravděpodobnostní hmotnosti pro binomickou náhodnou proměnnou tedy dostaneme
Příklad:
V určité společnosti je pravděpodobnost závady 0.01 z výroby. Společnost vyrábí a prodává produkt v balení po 10 kusech a svým zákazníkům nabízí záruku vrácení peněz, že nejvýše jeden z deseti produktů je vadný, takže jaký podíl prodaných produktů v balení musí společnost nahradit.
Zde Pokud X je náhodná proměnná představující vadné produkty, pak je to binomický typ s n = 10 ap = 0.01, pak je pravděpodobnost, že se balíček vrátí,
Příklad: (chuck-a-luck / wheel of fortune) V konkrétní hře štěstí v hotelu hráč sází na některá z čísel od 1 do 6, poté hodí tři kostky a pokud se číslo objeví, sází hráč jednou, dvakrát nebo třikrát hráč, že tolik jednotek znamená, pokud se objeví jednou, pak 1 jednotka, pokud na dvou kostkách, pak 2 jednotky a pokud na třech kostkách pak 3 jednotky, zkontrolujte pomocí pravděpodobnosti, že hra je pro hráče fér, nebo ne.
Pokud předpokládáme, že s technikami kostky a podvodů nebudou existovat nespravedlivé prostředky, pak při samostatném předpokladu výsledku kostky je pravděpodobnost úspěchu pro každou kostku 1/6 a selhání bude
1-1 / 6, takže se z toho stane příklad binomické náhodné proměnné s n = 3
Nejprve tedy vypočítáme pravděpodobnosti výhry přiřazením x, jak hráči vyhrají
Nyní pro výpočet hry je fér pro hráče, nebo ne, vypočítáme očekávání náhodné proměnné
E[X] = -125+75+30+3/216
= -17/216
To znamená, že pravděpodobnost ztráty hry pro hráče, když hraje 216krát, je 17.
Závěr:
V tomto článku jsme se zabývali některými základními vlastnostmi diskrétní náhodné veličiny, funkcí hmotnosti pravděpodobnosti a rozptylu. Kromě toho jsme viděli některé typy diskrétní náhodné proměnné, Než začneme spojitá náhodná veličina snažíme se pokrýt všechny typy a vlastnosti diskrétní náhodné proměnné, pokud chcete další čtení, projděte si:
Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability
Další témata z matematiky naleznete na stránce tento odkaz
Jsem DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Dokončil jsem Ph.D. v matematice a pracuje jako odborný asistent v matematice. Má 12 let praxe v pedagogické činnosti. Mít rozsáhlé znalosti v čisté matematice, přesně v algebře. Mít obrovskou schopnost navrhovat a řešit problémy. Schopný motivovat kandidáty ke zvýšení jejich výkonu.
Rád přispívám do Lambdageeks, aby byla matematika jednoduchá, zajímavá a samovysvětlující pro začátečníky i odborníky.