Obsah
Skewness
Křivka, která je vykresleným pozorováním, představuje šikmost, pokud tvar křivky není symetrický, dané sady. Jinými slovy, nedostatek symetrie v grafu dané informace představuje šikmost dané sady. V závislosti na ocasu vpravo nebo vlevo je šikmost známá jako pozitivně zkosená nebo negativně zkosená. Distribuce v závislosti na této šikmosti je známá jako pozitivně zkosená distribuce nebo negativně zkosená distribuce
Průměr, režim a medián ukazují povahu distribuce, takže pokud je povaha nebo tvar křivky symetrická, jsou tyto míry centrálních tendencí stejné a pro šikmé distribuce se tato míra centrálních tendencí liší buď jako průměr> medián> režim nebo průměr
Variance a šikmost
| odchylka | Skewness |
| Množství variability lze získat pomocí rozptylu | Směr variability lze získat pomocí šikmosti |
| Míra variability je aplikována v oboru Podnikání a ekonomie | Aplikace míry šikmosti je v lékařských a biologických vědách |
Míra šikmosti
Chcete -li zjistit stupeň a směr distribuce frekvence, ať už kladné nebo záporné, je míra šikmosti velmi užitečná, a to i pomocí grafu, víme pozitivní nebo negativní povahu šikmosti, ale velikost nebude v grafech přesná. statistické míry udávají velikost chybějící symetrie.
Abychom byli konkrétní, míra šikmosti musí mít
- Jednotka zdarma, takže různé distribuce mohou být srovnatelné, pokud jsou jednotky stejné nebo různé.
- Hodnota míry pro symetrické rozdělení nula a kladné nebo záporné pro kladné nebo záporné rozdělení podle toho.
- Hodnota míry by se měla lišit, pokud přejdeme z negativní šikmosti na pozitivní šikmost.
Existují dva typy míry šikmosti
- Absolutní míra šikmosti
- Relativní míra šikmosti
absolutníte Míra šikmosti
V symetrické distribuci jsou průměr, režim a medián stejné, takže v absolutní míře šikmosti rozdíl těchto centrálních tendencí udává rozsah symetrie v distribuci a povahu jako pozitivní nebo negativní šikmé rozdělení, ale absolutní míra pro různé jednotky není užitečné při porovnávání dvou sad informací.
Absolutní šikmost lze získat pomocí
- Šikmost (Sk) = Střední hodnota
- Šikmost (Sk) = Střední režim
- Šikmost (Sk) = (Q3-Q2)-(Q2-Q1)
Relativní míra šikmosti
Relativní míra šikmosti se používá k porovnání šikmosti ve dvou nebo více distribucích odstraněním vlivu variace, relativní míra šikmosti je známá jako koeficient šikmosti, dále jsou důležité relativní míry šikmosti.
- Koeficient šikmosti Karla Pearsona
Tato metoda se používá nejčastěji k výpočtu šikmosti
[latex]S_k=\frac{Mean-Mode}{\sigma}[/latex]
tento koeficient šikmosti je kladný pro kladné rozdělení, záporný pro záporné rozdělení a nula pro symetrické rozdělení. Tento koeficient Karla Pearsona obvykle leží mezi +1 a -1. Pokud není režim definován, použijeme pro výpočet koeficientu Karla Pearsona vzorec jako
[latex]S_k=\frac{3(střední režim)}{\sigma}[/latex]
Použijeme -li tento vztah, pak koeficient Karla Pearsona leží mezi +3 a -3.
2. Bowleyův koeficient šikmosti | Kvartilní míra zešikmení
V Bowleyově koeficientu šikmosti byly k nalezení šikmosti použity kvartilové odchylky, takže je také známé jako kvartilní míra šikmosti
[latex]S_k=\frac{(Q_3-Q_2)-(Q_2-Q_1)}{(Q_3-Q_1)}
\\=\frac{(Q_3-2Q_2+Q_1)}{(Q_3-Q_1)}[/latex]
nebo to můžeme napsat jako
[latex]S_k=\frac{(Q_3-M)-(M-Q_1)}{(Q_3-Q_1)}
\\=\frac{(Q_3-2M+Q_1)}{(Q_3-Q_1)}[/latex]
tato hodnota koeficientu je nulová, pokud je rozdělení symetrické a hodnota pro kladné rozdělení je kladná, pro záporné rozdělení je záporná. Hodnota Sk leží mezi -1 a +1.
3. Kellyho koeficient šikmosti
V této míře šikmosti se pro výpočet šikmosti používají percentily a decily, koeficient je
[latex]S_k=\frac{(P_{90}-P_{50})-(P_{50}-P_{10})}{(P_{90}-P_{10})}
\\=\frac{(P_{90}-2P_{50}+P_{10})}{(P_{90}-P_{10})}[/latex]
kde tato šikmost zahrnuje 90, 50 a 10 percentilů a pomocí decilů to můžeme napsat jako
[latex]S_k=\frac{(D_9-D_5)-(D_5-D_1)}{(D_9-D_1)}
\\=\frac{(D_9-2D_5+D_1)}{(D_9-D_1)}[/latex]
ve kterých bylo použito 9,5 a 1 decile.
4. Koeficient šikmosti β a γ | Míra zkosení na základě momentů.
Pomocí centrálních momentů lze míru šikmosti definovat jako koeficient β koeficientu šikmosti jako
[latex]\beta_1=\frac{{\mu_3}^2}{{\mu_2}^3}[/latex]
tento koeficient šikmosti dává hodnotu nula pro symetrické rozdělení, ale tento koeficient neříká konkrétně pro směr buď kladný nebo záporný, takže tuto nevýhodu lze odstranit tím, že odmocninu beta vezmeme jako
[latex]\gamma_1=\pm \sqrt{\beta_1}=\frac{\mu_3}{{\mu_2}^{3/2}}=\frac{\mu_3}{\sigma^3}[/latex]
tato hodnota udává kladnou a zápornou hodnotu pro kladné a záporné rozdělení.
Příklady šikmosti
- Pomocí následujících informací najděte koeficient šikmosti
| Mzda | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 |
| Počet lidí | 12 | 18 | 35 | 42 | 50 | 45 | 20 | 8 |
Řešení: K nalezení koeficientu šikmosti použijeme koeficient Karla Pearsona
| frekvence | střední hodnota (x) | fx | fx2 | |
| 0-10 | 12 | 5 | 60 | 300 |
| 10-20 | 18 | 15 | 270 | 4050 |
| 20-30 | 35 | 25 | 875 | 21875 |
| 30-40 | 42 | 35 | 1470 | 51450 |
| 40-50 | 50 | 45 | 2250 | 101250 |
| 50-60 | 45 | 55 | 2475 | 136125 |
| 60-70 | 20 | 65 | 1300 | 84500 |
| 70-80 | 8 | 75 | 600 | 45000 |
| 230 | 9300 | 444550 |
koeficient šikmosti Karla Pearsona je
[latex]\begin{pole}{l}
\text { Karlův koeficient šikmosti }=J=\frac{\text { Průměr }-\text { Režim }}{S . D .}\\
\begin{array}{l}
\text { Průměr, } \quad \bar{x}=\frac{1}{N} \sum_{i} f_{i} x_{i}, \quad \text { Režim }=l+\frac{c\ left(f_{1}-f_{0}\right)}{\left(f_{1}-f_{0}\right)+\left(f_{1}-f_{2}\right)} \\
\text { Směrodatná odchylka }=\sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i} f_{i} x_{i}^{2}-\bar{x}^{2}}
\end{array}
\end{array}[/latex]
[latex]\begin{pole}{c}
\text { Průměr }=\frac{9300}{230}=40.43 \\
\text { SD }=\sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i} f_{i} x_{i}^{2}-\bar{x}^{2}}=\sqrt{\ frac{1}{230}(444550)-\left[\frac{9300}{230}\right]^{2}}=17.27 .
\end{array}[/latex]
modální třída je maximální častá třída 40-50 a příslušné frekvence jsou
[latex]f_{0}=42, f_{1}=50,f_{2}=45[/latex]
tedy
[latex]\text { Hence, Mode }=40+\frac{10(50-42)}{(50-42)+(50-45)}=46.15[/latex]
takže koeficient šikmosti bude
[latex]=\frac{40.43-46.15}{17.27}=-0.3312[/latex]
což ukazuje negativní šikmost.
2. Najděte koeficient šikmosti frekvenčně distribuovaných známek 150 studentů při určité zkoušce
| značky | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 |
| frekvence | 10 | 40 | 20 | 0 | 10 | 40 | 16 | 14 |
Řešení: Pro výpočet koeficientu šikmosti potřebujeme průměr, režim, medián a směrodatnou odchylku pro dané informace, takže pro jejich výpočet vytvoříme následující tabulku
| třídní interval | f | střední hodnota x | srov | d '= (x-35)/10 | f*d ' | f*d '2 |
| 0-10 | 10 | 5 | 10 | -3 | -30 | 90 |
| 10-20 | 40 | 15 | 50 | -2 | -80 | 160 |
| 20-30 | 20 | 25 | 70 | -1 | -20 | 20 |
| 30-40 | 0 | 35 | 70 | 0 | 0 | 0 |
| 40-50 | 10 | 45 | 80 | 1 | 10 | 10 |
| 50-60 | 40 | 55 | 120 | 2 | 80 | 160 |
| 60-70 | 16 | 65 | 136 | 3 | 48 | 144 |
| 70-80 | 14 | 75 | 150 | 4 | 56 | 244 |
| celkem = 64 | celkem = 828 |
nyní budou opatření
[latex]\begin{pole}{l}
Medián =\mathrm{L}+\frac{\left(\frac{\mathrm{N}}{2}-\mathrm{C}\right)}{\mathrm{f}} \times \mathrm{h} =40+\frac{75-70}{10} \krát 10=45
\\Mean (\overline{\mathrm{x}})=\mathrm{A}+\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{k}} \mathrm{fd}^{ \prime}}{\mathrm{N}} \times \mathrm{h}=35+\frac{64}{150} \times 10=39.27
\end{array}[/latex]
a
[latex]\begin{aligned}
Standardní odchylka }(\sigma) &=\mathrm{h} \times \sqrt{\frac{\sum \mathrm{fd}^{\prime 2}}{\mathrm{~N}}-\left(\frac {\sum \mathrm{fd}}{\mathrm{N}}\right)^{2}} \\ &=10 \times \sqrt{\frac{828}{150}-\left(\frac{64 }{150}\vpravo)^{2}}
\\&=10 \times \sqrt{5.33}=23.1 \end{aligned}[/latex]
tedy koeficient šikmosti pro rozdělení je
[latex]S_k=\frac{3(střední-střední)}{\sigma}
\\=\frac{3(39.27-45}{23.1}=-0.744[/latex]
3. Najděte průměr, rozptyl a koeficient šikmosti distribuce, jejíž první čtyři momenty asi 5 jsou 2,20,40 a 50.
Řešení: protože první čtyři momenty jsou dány tak
[latex]\begin{pole}{c}
\mu_{1}^{\prime}(5)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} f_{i}\left(x_{i}-5\right)= 2; \mu_{2}^{\prime}(5)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} f_{i}\left(x_{i}-5\right)^ {2}=20; \\
\mu_{3}^{\prime}(5)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} f_{i}\left(x_{i}-5\right)^ {3}=40 \quad \text { a } \quad \mu_{4}^{\prime}(5)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} f_{i }\left(x_{i}-5\right)^{4}=50 . \\
\mu_{1}^{\prime}(5)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} f_{i} x_{i}-5=2 \\
\Rightarrow \bar{x}=2+5=7
\end{array}[/latex]
abychom to mohli napsat
[latex]\begin{pole}{l}
\mu_{r}=\mu_{r}^{\prime}(A)-{ }^{r} C_{1} \mu_{r-1}^{\prime}(A) \mu_{1} ^{\prime}(A)+{ }^{r} C_{2} \mu_{r-2}^{\prime}(A)\left[\dot{\mu}_{1}^{\ prvočíslo}(A)\vpravo]^{2}-\ldots .+(-1)^{r}\left[\mu_{1}^{\prvočíslo}(A)\vpravo]^{r} \\
\text { Odtud } \mu_{2}=\mu_{2}^{\prime}(5)-\left[\mu_{1}^{\prime}(5)\right]^{2}=20 -4=16 \\
\mu_{3}=\mu_{3}^{\prime}(5)-3 \mu_{2}^{\prime}(5) \mu_{1}^{\prime}(5)+2\left[\mu_{1}^{\prime}(5)\right]^{3} \\
40-3 \krát 20 \krát 2+2 \krát 2^{3}=-64
\end{array}[/latex]
takže koeficient šikmosti je
[latex]\beta_{1}=\frac{\mu_{3}^{2}}{\mu_{2}^{3}}=\frac{(-64)^{2}}{(16)^{3}}=-1[/latex]
Positivně zkosená distribuční definice | Pravo zkosený distribuční význam
Jakékoli rozdělení, ve kterém míra centrálních tendencí, tj. Průměr, režim a medián s kladnými hodnotami a informace v rozdělení, postrádá symetrii.
Jinými slovy, pozitivně zkreslená distribuce je distribuce, ve které měřítko centrálních tendencí následuje jako průměr> medián> režim na pravé straně křivky rozdělení.
Pokud načrtneme informace o rozdělení, křivka bude pravoúhlá, díky čemuž je pozitivně šikmá distribuce také známá jako doprava šikmá distribuce.
z výše uvedené křivky je zřejmé, že režim je nejmenší mírou v pozitivním nebo pravo šikmém rozdělení a průměr je největší mírou centrálních tendencí.
pozitivně zkosená distribuce příklad | příklad pravo šikmé distribuce
- Pro pozitivně šikmé nebo pravé šikmé rozdělení, pokud je koeficient šikmosti 0.64, najděte režim a medián distribuce, pokud průměr a standardní odchylky jsou 59.2, respektive 13.
Řešení: Uvedené hodnoty jsou průměrné = 59.2, sk= 0.64 a σ= 13, takže pomocí relace
[latex]S_k=\frac{mean-mode}{\sigma}
\\0.64=\frac{59.2-\text { Režim }}{13}
\\Režim =59.20-8.32=50.88
\\Režim =3 Medián -2 Průměr
\\50.88=3 Medián -2 (59.2)
\\Median =\frac{50.88+118.4}{3}=\frac{169.28}{3}=56.42[/latex]
2. Najděte standardní odchylku pozitivně zkoseného rozdělení, jehož koeficient šikmosti je 1.28 s průměrem 164 a režimem 100?
Řešení: Stejným způsobem pomocí daných informací a vzorce pro koeficient pozitivně zkreslené distribuce
[latex]S_k=\frac{mean-mode}{\sigma}
\\1.28=\frac{164-100}{\sigma}
\\\sigma=\frac{64}{1.28}=50
[/latex]
takže standardní odchylka bude 50.
3. Pokud je odchylka čtvrtletí, když je součet prvního a třetího čtvrtletníku 200 s mediánem 76, najděte hodnotu třetího kvartilu distribuce frekvence, která je pozitivně zkosena s koeficientem šikmosti 1.2?
Sřešení: Abychom našli třetí kvartil, musíme použít vztah koeficientu šikmosti a čtvrtletí, protože daná informace je
[latex] S_k = 1.2
\\Q_1+Q_3=200
\\Q_2=76[
\\S_{k}=\frac{\left(Q_{3}+Q_{1}-2 Q_{2}\right)}{\left(Q_{3}-Q_{1}\right)}
\\1.2=\frac{(200-2 \times 76)}{\left(Q_{3}-Q_{1}\right)}
\\Q_{3}-Q_{1}=\frac{48}{1.2}=40
\\Q_{3}-Q_{1}=40
[/latex]
z daného vztahu, který máme
[latex]Q_1+Q_3=200
\\Q_1=200-Q_3[/latex]
z těchto dvou rovnic můžeme psát
[latex]Q_{3}-Q_{1}=40
\\ Q_{3}-(200-Q_3)=40
\\2Q_3=240
\\Q_3=120[/latex]
takže hodnota třetího kvartilu je 120.
4. Najděte koeficient šikmosti pro následující informace
| x | 93-97 | 98-102 | 103-107 | 108-112 | 113-117 | 118-122 | 123-127 | 128-132 |
| f | 2 | 5 | 12 | 17 | 14 | 6 | 3 | 1 |
Řešení: zde použijeme Bowleyovu míru šikmosti pomocí kvartilů
| třída | frekvence | kumulativní frekvence |
| 92.5-97.5 | 2 | 2 |
| 97.5-102.5 | 5 | 7 |
| 102.5-107.5 | 12 | 19 |
| 107.5-112.5 | 17 | 36 |
| 112.5-117.5 | 14 | 50 |
| 117.5-122.5 | 6 | 56 |
| 122.5-127.5 | 3 | 59 |
| 127.5-132.5 | 1 | 60 |
| N = 60 |
Jako N.th/ 4 = 15th pozorování třídy je 102.5-107.5 , Nth/ 2 = 30th pozorování třídy je 107.5-112.5 a 3Nth/ 4 = 45th pozorování třídy je 112.5-117.5 so
[latex]Q_{1}=l_{1}+\frac{\left(\frac{N}{4}-m_{1}\right) c_{1}}{f_{1}}=102.5+\frac{\left(\frac{60}{4}-7\right) 5}{12}=105.83[/latex]
a
[latex]Q_{3}=l_{3}+\frac{\left(\frac{3 N}{4}-m_{3}\right) c_{3}}{f_{3}}=112.5+\frac{\left(\frac{3 \times 60}{4}-36\right) 5}{14}=115.714[/latex]
a medián je
[latex]Q_{2}=l_{2}+\frac{\left(\frac{N}{2}-m_{2}\right) c_{2}}{f_{2}}=107.5+\frac{\left(\frac{60}{2}-19\right) 5}{17}=110.735[/latex]
tedy
[latex]Q=\frac{Q_{3}+Q_{1}-2 M}{Q_{3}-Q_{1}}=\frac{115.714+105.83-2 \times 110.735}{115.714-105.83}=0.0075[/latex]
což je pozitivně zkreslené rozdělení.
kde je průměr v pozitivně zkosené distribuci
Víme, že pozitivně šikmá distribuce je pravoúhlá distribuce, takže křivka je pravoúhlá, význam této většiny informací bude blíže k ocasu, takže průměr v pozitivně šikmé distribuci je blíže k ocasu a protože v pozitivním nebo pravém směru zkosený distribuční průměr> medián> režim, takže průměr bude po mediánu.
Pravá šikmá distribuce průměrný mediánový režim | vztah mezi střední mediánem a režimem v pozitivně zkoseném rozdělení
V pozitivně zkoseném nebo pravo šikmém rozdělení je míra středních tendencí průměr, medián a režim v pořadí průměr> medián> režim, protože režim je nejmenší než medián a největší centrální tendence je průměr, který je pro pravoúhlou křivku blíže k ocasu křivky pro informaci.
takže vztah mezi střední mediánem a režimem v pozitivně zkoseném rozdělení je v rostoucím pořadí a pomocí rozdílu těchto dvou centrálních tendencí lze vypočítat koeficient šikmosti, takže průměr, medián a režim také dává povahu šikmosti.
pozitivně zkosený distribuční graf | pozitivně zkosená distribuční křivka
Graf buď ve formě hladké křivky nebo ve formě histogramu pro diskrétní informace, povaha je pravá, protože průměr informací shromážděných kolem ocasu křivky, jak šikmá distribuce diskutuje o tvaru distribuce. Protože velké množství dat je vlevo od křivky a ocas křivky vpravo je delší.
některé grafy pozitivně distribuovaných informací jsou následující
z výše uvedených grafů je zřejmé, že křivce chybí symetrie v jakýchkoli aspektech.
pozitivně zkreslené rozdělení skóre
V jakékoli distribuci, pokud jsou skóre v pozitivně zkoseném, to je skóre následující po pozitivně zkoseném rozdělení jako režim průměr> medián> a křivka distribučního skóre s pravoúhlou křivkou, ve které je skóre ovlivněno velkou hodnotou.
Tento typ distribuce je známý jako pozitivně zkreslené rozdělení skóre. Všechny vlastnosti a pravidla pro toto rozdělení jsou stejné z pozitivně zkosené nebo zkosené distribuce.
kladné rozložení zkosené frekvence
Při pozitivně zkresleném rozdělení frekvence je v průměru frekvence informací menší ve srovnání s distribucí, takže kladné rozložení zkosené frekvence není nic jiného než pozitivně zkosené nebo pravé šikmé rozdělení, kde je křivka křivkou s pravým ocasem.
pozitivní vs negativní šikmé rozdělení | pozitivně zkreslené rozdělení vs negativně zkreslené
| pozitivní šikmá distribuce | negativní šikmé rozdělení |
| V pozitivně zkreslené distribuci jsou informace distribuovány jako průměr je největší a režim je nejmenší | V negativně zkreslené distribuci jsou informace distribuovány jako průměr je nejmenší a režim je největší |
| křivka je pravoúhlá | křivka je ponechána ocasem |
| průměr> medián> režim | znamenat |
Nejčastější dotazy
Jak poznáte, že je distribuce pozitivně nebo negativně zkreslená
Šikmost je kladná, pokud znamená průměr> medián> režim, a záporná, pokud je průměrná
Z distribuční křivky můžeme také posoudit, zda je křivka pravostranná, je kladná, a pokud je křivka vlevo, je záporná
Jak určíte pozitivní šikmost
Výpočtem míry koeficientu šikmosti, je -li kladný, pak je šikmost kladný, nebo vynesením křivky rozložení, je -li pravoúhlé, pak kladné, nebo kontrolou průměr> medián> režim
Co představuje pozitivní zkreslení
Pozitivní šikmost ukazuje, že skóre distribuce leží blíže k velkým hodnotám a křivka je pravoúhlá a průměr je největší mírou
Jak interpretujete správně zkosený histogram
pokud je histogram zkosený doprava, pak je rozdělení pozitivně zkosené rozdělení, kde průměr> medián> režim
V distribucích, které jsou zkosené doprava, jaký je vztah průměrného mediánu a režimu
Vztah je průměrný> medián> režim
Závěr:
Šikmost je důležitým pojmem statistiky, který dává asymetrii nebo nedostatek symetrie přítomný v rozdělení pravděpodobnosti v závislosti na kladné nebo záporné hodnotě, je klasifikován jako pozitivně zkosené rozdělení nebo negativně zkreslené rozdělení, ve výše uvedeném článku stručný koncept s diskutovanými příklady Pokud potřebujete další čtení, projděte si je
https://en.wikipedia.org/wiki/skewness
Další příspěvek z matematiky naleznete v našem Stránka matematiky
