Toto je pořadový příspěvek související s Souřadnicová geometrie, speciálně na Body. O několika tématech jsme již hovořili dříve v příspěvku „Kompletní průvodce geometrií souřadnic“. V tomto příspěvku probereme zbývající témata.

Základní vzorce pro body v souřadnicové geometrii ve 2D:

Jsou zde popsány všechny základní vzorce pro body v analytické geometrii a pro snadné a rychlé učení na první pohled o vzorcích „Tabulka vzorců o bodech“ s grafickým vysvětlením je uvedeno níže.

Vzorec vzdálenosti dvou bodů | Analytická geometrie:

Vzdálenost je měření, pomocí kterého se zjistí, jak daleko jsou objekty, místa atd. Od sebe. Má číselnou hodnotu s jednotkami. V souřadnicové geometrii nebo analytické geometrii ve 2D existuje vzorec, který je odvozen z Pythagorovy věty pro výpočet vzdálenosti mezi dvěma body. můžeme to napsat jako „vzdálenost“ d = √ [(x₂-x₁)²+ (r₂-y₁)²] , Kde (x₁,y₁) a (x₂,y₂) jsou dva body v rovině xy. Po krátkém grafickém vysvětlení následuje „Tabulka vzorců k tématu Body č. 1“

Vzdálenost bodu od počátku | Souřadnicová geometrie:

Pokud zahájíme naši cestu s počátkem v rovině xy a skončíme v kterémkoli bodě této roviny, lze vzdálenost mezi počátkem a bodem najít také pomocí vzorce „Vzdálenost“ OP = √ (x²+ a²), což je také zmenšená forma „vzorce vzdálenosti dvou bodů“ s jedním bodem v (0,0). Po krátkém grafickém vysvětlení následuje „Tabulka vzorců k tématu Body č. 2“

Vzorce oddílů bodů | Geometrie souřadnic:

Pokud bod rozdělí úsečku spojující dva dané body v určitém poměru, můžeme použít vzorce řezu k vyhledání souřadnic daného bodu, zatímco poměr, ve kterém je úsečka rozdělena, je uveden a naopak. Existuje možnost, že segment čáry lze rozdělit buď interně, nebo externě bodem. Když bod leží na úsečce mezi dvěma danými body, použijí se vzorce vnitřního řezu, tj

$\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}$

$\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}$

A když bod leží na vnější části úsečky spojující dva dané body, použijí se vzorce pro vnější řez, tj

$\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}$

Kde (x, y) mají být požadované souřadnice bodu. Jedná se o velmi nezbytné vzorce k nalezení těžiště, incenters, circumcenter trojúhelníku, stejně jako těžiště systémů, rovnovážných bodů atd. Ve fyzice. Musíte sledovat krátký pohled na různé typy vzorců řezů s grafy uvedenými níže v „Tabulka vzorců k tématu Body č. 3; případ I a případ II '.

Vzorec středního bodu | souřadnicová geometrie:

Jedná se o snadné vzorce odvozené z výše popsaných vzorců oddílu Vnitřní body. I když musíme najít střed úsečky, tj. Souřadnici bodu, který je ve stejné vzdálenosti od dvou daných bodů úsečky, tj. Poměr dostane formu 1: 1, je tento vzorec vyžadován. Vzorec je ve formě

Pokud bod rozdělí úsečku spojující dva dané body v určitém poměru, můžeme použít vzorce řezu k vyhledání souřadnic daného bodu, zatímco poměr, ve kterém je úsečka rozdělena, je uveden a naopak. Existuje možnost, že segment čáry lze rozdělit buď interně, nebo externě bodem. Když bod leží na úsečce mezi dvěma danými body, použijí se vzorce vnitřního řezu, tj

$\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}$

Viz také 11 nápadů na projekt biologie pro A+

$\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}$

A když bod leží na vnější části úsečky spojující dva dané body, použijí se vzorce pro vnější řez, tj

$\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}$

$\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}$

Vzorec středního bodu | souřadnicová geometrie:

Jedná se o snadné vzorce odvozené z výše popsaných vzorců oddílu Vnitřní body. I když musíme najít střed úsečky, tj. Souřadnici bodu, který je ve stejné vzdálenosti od dvou daných bodů úsečky, tj. Poměr dostane formu 1: 1, je tento vzorec vyžadován. Vzorec je ve formě

$x=\\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$

$x=\\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$

Projděte „Tabulka vzorců k tématu Body č. 3 - případ III ' níže získat grafickou představu o tom.

Plocha trojúhelníku v souřadnicové geometrii:

Trojúhelník má tři boční a tři vrcholy v rovině nebo ve dvourozměrném poli. Plocha trojúhelníku je vnitřní prostor obklopený těmito třemi stranami. Základní vzorec pro výpočet plochy trojúhelníku je (2/1 X Base X Height). V analytické geometrii, pokud jsou uvedeny souřadnice všech tří vrcholů, lze plochu trojúhelníku snadno vypočítat podle vzorce, Oblast trojúhelníku = | ½ [x₁ (y₂- y₃ ) + x₂ (y₃- y₂) + x₃ (y₂-y ₁)] | , ve skutečnosti to lze odvodit ze základního vzorce plochy trojúhelníku pomocí vzorce vzdálenosti dvou bodů v souřadnicové geometrii. Oba případy jsou graficky popsány v dokumentu „Tabulka vzorců k tématu Body 4“

Kolineárnost bodů (tři body) | Geometrie souřadnic:

Kolineární znamená „být na stejné lince“. Pokud v geometrii leží tři body na jedné jediné přímce v rovině, nikdy nemohou vytvořit trojúhelník s jinou oblastí než nula, tj. Pokud je vzorec plochy trojúhelníku nahrazen souřadnicemi tří kolineárních bodů, výsledkem pro oblast imaginární trojúhelník tvořený těmito body skončí pouze s nulou. Takže vzorec vypadá jako ½ [x₁ (y₂- y₃ ) + x₂ (y₃- y₂) + x₃ (y₂-y ₁)] = 0 Pro jasnější představu s grafickým znázorněním projděte „Tabulka vzorců k tématu Body č. 5“

Těžiště trojúhelníku | Vzorec:

Tři mediány * trojúhelníku se vždy protínají v bodě, který se nachází uvnitř trojúhelníku, a dělí medián v poměru 2: 1 od jakéhokoli vrcholu ke středu opačné strany. Tento bod se nazývá těžiště trojúhelníku. Vzorec pro nalezení souřadnic těžiště je

$x=\\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}$

$x=\\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}$

v „Tabulka vzorců k tématu Body č. 6“ níže je výše uvedený předmět popsán graficky pro lepší pochopení a pro rychlé zobrazení.

Střed trojúhelníku | Vzorec:

Je středem největšího trojúhelníku trojúhelníku, který zapadá do trojúhelníku. Je to také průsečík tří půlen vnitřních úhlů trojúhelníku. Vzorec, který se používá k nalezení stimulátoru trojúhelníku, je

$x=\\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}$

Viz také Co je maximální rychlost (vysvětleno pro začátečníky)

$x=\\frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}$

v „Tabulka vzorců k tématu Body č. 6“ níže je výše uvedený předmět popsán graficky pro lepší pochopení a pro rychlé zobrazení.

Pro snadné grafické vysvětlení níže „Tabulka vzorců k tématu Body č. 7“ je třeba vidět.

Posunutí vzorce původu | Geometrie souřadnic:

Již jsme se dozvěděli v předchozím příspěvku „Kompletní průvodce geometrií souřadnic“ že počátek leží v bodě (0,0), což je průsečík os v rovině. můžeme posunout počátek ve všech kvadrantech roviny ve vztahu k počátku, což skrz něj dá novou sadu os.

U bodů ve výše uvedené rovině se jeho souřadnice změní spolu s novým počátkem a osami, které lze vypočítat podle vzorce, nových souřadnic bodu P (x₁,y₁) jsou x₁= x- a; y₁ = y- b kde jsou souřadnice nového počátku (a, b). Pro lepší pochopení tohoto tématu je lepší vidět grafické znázornění níže v „Tabulka vzorců k tématu Body č. 8“ .

`Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D`:

﹡ Obvod trojúhelníku:

Jedná se o průsečík tří kolmých půlících čar na straně trojúhelníku. Je také středem kruhového oblouku trojúhelníku, který se dotýká pouze vrcholů trojúhelníku.

﹡ Mediány:

Medián je úsečka spojující vrchol trojúhelníku se středem nebo bodem, rozdělující opačnou stranu vrcholu. Každý trojúhelník má tři mediány, které se vždy protínají v těžišti stejného trojúhelníku.

Vyřešené problémy na bodech v souřadnicové geometrii ve 2D.

Pro lepší poznání bodů ve 2D je zde krok za krokem vyřešen jeden základní příklad a pro vlastní procvičování existuje více problémů s odpověďmi na každý vzorec. V následujících článcích bezprostředně po získání základní a jasné představy o tématu bodů v souřadnicové geometrii 2D musí být náročné problémy s řešením.

Základní příklady vzorců „Vzdálenost mezi dvěma body“

Problémy 1: Vypočítejte vzdálenost mezi dvěma danými body (1,2) a (6, -3).

Řešení: Již víme, vzorec vzdálenosti mezi dvěma body (x₁,y₁) a (x₂,y₂) is d = √ [(x₂-x₁)²+ (r₂-y₁)²]… (1)

(Viz tabulka vzorců výše) Tady můžeme předpokládat, že (x₁,y₁) ≌ (1,2) a (x₂,y₂) ≌ (6, -3) tj. X₁= 1, r₁= 2 a x₂= 6, r₂ = -3, Dáme-li všechny tyto hodnoty do rovnice (1), dostaneme požadovanou vzdálenost.

Proto je vzdálenost mezi dvěma body (1,2) a (6, -3)

= √ [(6-1)²+ (- 3-2)²] Jednotky

= √ [(5)²+ (- 5)²] Jednotky

= √ [25 + 25] Jednotky

= √ [50] Jednotky

= √ [2 × 5²] Jednotky

= 5√2 jednotek (odpovědi)

Poznámka: Vzdálenost je vždy následována některými jednotkami.

Další zodpovězené problémy (základní) jsou uvedeny níže pro další procvičování pomocí postupu popsaného výše problém 1:-

Problém 2: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2,8) a (5,10).

Ans. √13 jednotky

Problém 3: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (-3, -7) a (1, -10).

Ans. 5 jednotky

Problém 4: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2,0) a (-3,4).

Ans. √41 jednotky

Problém 5: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2, -4) a (0,0).

Ans. 2√5 jednotky

Viz také Net Force: Odhalení dynamiky fyziky v každodenním životě

Problém 6: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (10,100 10,100) a (-XNUMX XNUMX).

Ans. 20 jednotky

Úloha 7: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (√5,1) a (2√5,1).

Ans. √5 Jednotky

Úloha 8: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2√7,2) a (3√7, -1).

Ans. 4 Jednotky

Problém 9: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2 + √10, 0) a (2-√10, 0).

Ans. 2√10 Jednotky

Problém 10: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2 + 3i, 0) a (2-3i, 10). {i = √-1}

Ans. 8 jednotky

Problém 11: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2 + i, -5) a (2-i, -7). {i = √-1}

Ans. 0 Jednotky

Problém 12: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (7 + 4i, 2i) a (7-4i, 2i). {i = √-1}

Ans. 8i Jednotky

Problém 13: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (√3 + i, 3) a (2√3 + i, 5). {i = √-1}

Ans. √7 Jednotky

Problém 14: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (5 + √2, 3 + i) a (2 + √2, 7 + 2i). {i = √-1}

Ans. 2√ (6 + 2i) Jednotky

Základní příklady vzorců „Vzdálenost bodu od počátku“

Úkoly 15: Najděte vzdálenost bodu (3,4) od počátku.

Řešení:

Máme vzorec vzdálenosti bodu od počátku, OP = √ (x²+ a²) (Viz tabulka vzorců výše) Tady tedy můžeme předpokládat (x, y) ≌ (3,4), tj. X = 3 a y = 4

Když tedy uvedeme tyto hodnoty xay do výše uvedené rovnice, dostaneme požadovanou vzdálenost

=√ (3²+ 4²) Jednotky

= √ (9+ 16) jednotek

= √ (25) jednotek

= 5 jednotek

Poznámka: Vzdálenost je vždy následována některými jednotkami.

Poznámka: Vzdálenost bodu od počátku je ve skutečnosti vzdálenost mezi bodem a počátkem, tj. (0,0)

Další zodpovězené problémy jsou uvedeny níže pro další procvičování pomocí postupu popsaného výše

Problém 15:-

Úloha 16: Najděte vzdálenost bodu (1,8) od počátku.

Ans. √65 jednotky

Úloha 17: Najděte vzdálenost bodu (0,7) od počátku.

Ans. 7 Jednotky

Úloha 18: Najděte vzdálenost bodu (-3, -4) od počátku.

Ans. 5 Jednotky

Úloha 19: Najděte vzdálenost bodu (10,0) od počátku.

Ans. 10 Jednotky

Úloha 20: Najděte vzdálenost bodu (0,0) od počátku.

Ans. 0 Jednotky

___________________________________________________________

Základní příklady na jiných vzorcích bodů je popsáno výše a několik náročných otázek k tomuto tématu v souřadnicové geometrii, následují další příspěvky.

NASRINA PARVIN

Ahoj… já jsem Nasrina Parvin. Vystudoval jsem matematiku a mám 10 let zkušeností s prací na indickém ministerstvu komunikačních a informačních technologií. Ve volném čase rád učím a řeším matematické úlohy. Od dětství je matematika jediný předmět, který mě fascinoval nejvíc.

Základní vzorce pro body v souřadnicové geometrii ve 2D:

Vzorec vzdálenosti dvou bodů | Analytická geometrie:

Vzdálenost bodu od počátku | Souřadnicová geometrie:

Vzorce oddílů bodů | Geometrie souřadnic:

Vzorec středního bodu | souřadnicová geometrie:

Jedná se o snadné vzorce odvozené z výše popsaných vzorců oddílu Vnitřní body. I když musíme najít střed úsečky, tj. Souřadnici bodu, který je ve stejné vzdálenosti od dvou daných bodů úsečky, tj. Poměr dostane formu 1: 1, je tento vzorec vyžadován. Vzorec je ve formě

Vzorec středního bodu | souřadnicová geometrie:

Jedná se o snadné vzorce odvozené z výše popsaných vzorců oddílu Vnitřní body. I když musíme najít střed úsečky, tj. Souřadnici bodu, který je ve stejné vzdálenosti od dvou daných bodů úsečky, tj. Poměr dostane formu 1: 1, je tento vzorec vyžadován. Vzorec je ve formě

Plocha trojúhelníku v souřadnicové geometrii:

Kolineárnost bodů (tři body) | Geometrie souřadnic:

Těžiště trojúhelníku | Vzorec:

Střed trojúhelníku | Vzorec:

Posunutí vzorce původu | Geometrie souřadnic:

Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D:

﹡ Obvod trojúhelníku:

﹡ Mediány:

Vyřešené problémy na bodech v souřadnicové geometrii ve 2D.

Základní příklady vzorců „Vzdálenost mezi dvěma body“

Problémy 1: Vypočítejte vzdálenost mezi dvěma danými body (1,2) a (6, -3).

Další zodpovězené problémy (základní) jsou uvedeny níže pro další procvičování pomocí postupu popsaného výše problém 1:-

Problém 2: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2,8) a (5,10).

Problém 3: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (-3, -7) a (1, -10).

Problém 4: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2,0) a (-3,4).

Problém 5: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2, -4) a (0,0).

Problém 6: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (10,100 10,100) a (-XNUMX XNUMX).

Úloha 7: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (√5,1) a (2√5,1).

Úloha 8: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2√7,2) a (3√7, -1).

Problém 9: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2 + √10, 0) a (2-√10, 0).

Problém 10: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2 + 3i, 0) a (2-3i, 10). {i = √-1}

Problém 11: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2 + i, -5) a (2-i, -7). {i = √-1}

Problém 12: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (7 + 4i, 2i) a (7-4i, 2i). {i = √-1}

Problém 13: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (√3 + i, 3) a (2√3 + i, 5). {i = √-1}

Problém 14: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (5 + √2, 3 + i) a (2 + √2, 7 + 2i). {i = √-1}

Základní příklady vzorců „Vzdálenost bodu od počátku“

Úkoly 15: Najděte vzdálenost bodu (3,4) od počátku.

Další zodpovězené problémy jsou uvedeny níže pro další procvičování pomocí postupu popsaného výše

Problém 15:-

Úloha 16: Najděte vzdálenost bodu (1,8) od počátku.

Úloha 17: Najděte vzdálenost bodu (0,7) od počátku.

Úloha 18: Najděte vzdálenost bodu (-3, -4) od počátku.

Úloha 19: Najděte vzdálenost bodu (10,0) od počátku.

Úloha 20: Najděte vzdálenost bodu (0,0) od počátku.

Základní příklady na jiných vzorcích bodů je popsáno výše a několik náročných otázek k tomuto tématu v souřadnicové geometrii, následují další příspěvky.

`Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D`: