Toto je pořadový příspěvek související s Souřadnicová geometrie, speciálně na Body. O několika tématech jsme již hovořili dříve v příspěvku „Kompletní průvodce geometrií souřadnic“. V tomto příspěvku probereme zbývající témata.
Základní vzorce pro body v souřadnicové geometrii ve 2D:
Jsou zde popsány všechny základní vzorce pro body v analytické geometrii a pro snadné a rychlé učení na první pohled o vzorcích „Tabulka vzorců o bodech“ s grafickým vysvětlením je uvedeno níže.
Vzorec vzdálenosti dvou bodů | Analytická geometrie:
Vzdálenost je měření, pomocí kterého se zjistí, jak daleko jsou objekty, místa atd. Od sebe. Má číselnou hodnotu s jednotkami. V souřadnicové geometrii nebo analytické geometrii ve 2D existuje vzorec, který je odvozen z Pythagorovy věty pro výpočet vzdálenosti mezi dvěma body. můžeme to napsat jako „vzdálenost“ d = √ [(x2-x1)2+ (r2-y1)2 ] , Kde (x1,y1) a (x2,y2) jsou dva body v rovině xy. Po krátkém grafickém vysvětlení následuje „Tabulka vzorců k tématu Body č. 1“
Vzdálenost bodu od počátku | Souřadnicová geometrie:
Pokud zahájíme naši cestu s počátkem v rovině xy a skončíme v kterémkoli bodě této roviny, lze vzdálenost mezi počátkem a bodem najít také pomocí vzorce „Vzdálenost“ OP = √ (x2 + a2), což je také zmenšená forma „vzorce vzdálenosti dvou bodů“ s jedním bodem v (0,0). Po krátkém grafickém vysvětlení následuje „Tabulka vzorců k tématu Body č. 2“
Vzorce oddílů bodů | Geometrie souřadnic:
Pokud bod rozdělí úsečku spojující dva dané body v určitém poměru, můžeme použít vzorce řezu k vyhledání souřadnic daného bodu, zatímco poměr, ve kterém je úsečka rozdělena, je uveden a naopak. Existuje možnost, že segment čáry lze rozdělit buď interně, nebo externě bodem. Když bod leží na úsečce mezi dvěma danými body, použijí se vzorce vnitřního řezu, tj
[latex]\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{x}_ {1}}{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}[/latex]
a
[latex]\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{y}_ {1}}{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}[/latex]
A když bod leží na vnější části úsečky spojující dva dané body, použijí se vzorce pro vnější řez, tj
[latex]\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{-}\textbf{n}\textbf{y}_ {1}}{\textbf{m}\textbf{-}\textbf{n}}[/latex]
Kde (x, y) mají být požadované souřadnice bodu. Jedná se o velmi nezbytné vzorce k nalezení těžiště, incenters, circumcenter trojúhelníku, stejně jako těžiště systémů, rovnovážných bodů atd. Ve fyzice. Musíte sledovat krátký pohled na různé typy vzorců řezů s grafy uvedenými níže v „Tabulka vzorců k tématu Body č. 3; případ I a případ II '.
Vzorec středního bodu | souřadnicová geometrie:
Jedná se o snadné vzorce odvozené z výše popsaných vzorců oddílu Vnitřní body. I když musíme najít střed úsečky, tj. Souřadnici bodu, který je ve stejné vzdálenosti od dvou daných bodů úsečky, tj. Poměr dostane formu 1: 1, je tento vzorec vyžadován. Vzorec je ve formě
Pokud bod rozdělí úsečku spojující dva dané body v určitém poměru, můžeme použít vzorce řezu k vyhledání souřadnic daného bodu, zatímco poměr, ve kterém je úsečka rozdělena, je uveden a naopak. Existuje možnost, že segment čáry lze rozdělit buď interně, nebo externě bodem. Když bod leží na úsečce mezi dvěma danými body, použijí se vzorce vnitřního řezu, tj
[latex]\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{x}_ {1}}{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}[/latex]
a
[latex]\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{y}_ {1}}{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}[/latex]
A když bod leží na vnější části úsečky spojující dva dané body, použijí se vzorce pro vnější řez, tj
[latex]\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{-}\textbf{n}\textbf{x}_ {1}}{\textbf{m}\textbf{-}\textbf{n}}[/latex]
a
[latex]\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{-}\textbf{n}\textbf{y}_ {1}}{\textbf{m}\textbf{-}\textbf{n}}[/latex]
Kde (x, y) mají být požadované souřadnice bodu. Jedná se o velmi nezbytné vzorce k nalezení těžiště, incenters, circumcenter trojúhelníku, stejně jako těžiště systémů, rovnovážných bodů atd. Ve fyzice. Musíte sledovat krátký pohled na různé typy vzorců řezů s grafy uvedenými níže v „Tabulka vzorců k tématu Body č. 3; případ I a případ II '.
Vzorec středního bodu | souřadnicová geometrie:
Jedná se o snadné vzorce odvozené z výše popsaných vzorců oddílu Vnitřní body. I když musíme najít střed úsečky, tj. Souřadnici bodu, který je ve stejné vzdálenosti od dvou daných bodů úsečky, tj. Poměr dostane formu 1: 1, je tento vzorec vyžadován. Vzorec je ve formě
[latex]x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} [/latex]
a
[latex]x=\frac{y_{1}+y_{2}}{2} [/latex]
Projděte „Tabulka vzorců k tématu Body č. 3 - případ III ' níže získat grafickou představu o tom.
Plocha trojúhelníku v souřadnicové geometrii:
Trojúhelník má tři boční a tři vrcholy v rovině nebo ve dvourozměrném poli. Plocha trojúhelníku je vnitřní prostor obklopený těmito třemi stranami. Základní vzorec pro výpočet plochy trojúhelníku je (2/1 X Base X Height). V analytické geometrii, pokud jsou uvedeny souřadnice všech tří vrcholů, lze plochu trojúhelníku snadno vypočítat podle vzorce, Oblast trojúhelníku = | ½ [x1 (y2- y3 ) + x2 (y3- y2) + x3 (y2-y 1)] | , ve skutečnosti to lze odvodit ze základního vzorce plochy trojúhelníku pomocí vzorce vzdálenosti dvou bodů v souřadnicové geometrii. Oba případy jsou graficky popsány v dokumentu „Tabulka vzorců k tématu Body 4“
Kolineárnost bodů (tři body) | Geometrie souřadnic:
Kolineární znamená „být na stejné lince“. Pokud v geometrii leží tři body na jedné jediné přímce v rovině, nikdy nemohou vytvořit trojúhelník s jinou oblastí než nula, tj. Pokud je vzorec plochy trojúhelníku nahrazen souřadnicemi tří kolineárních bodů, výsledkem pro oblast imaginární trojúhelník tvořený těmito body skončí pouze s nulou. Takže vzorec vypadá jako ½ [x1 (y2- y3 ) + x2 (y3- y2) + x3 (y2-y 1)] = 0 Pro jasnější představu s grafickým znázorněním projděte „Tabulka vzorců k tématu Body č. 5“
Těžiště trojúhelníku | Vzorec:
Tři mediány * trojúhelníku se vždy protínají v bodě, který se nachází uvnitř trojúhelníku, a dělí medián v poměru 2: 1 od jakéhokoli vrcholu ke středu opačné strany. Tento bod se nazývá těžiště trojúhelníku. Vzorec pro nalezení souřadnic těžiště je
[latex]x=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3} [/latex]
a
[latex]x=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3} [/latex]
v „Tabulka vzorců k tématu Body č. 6“ níže je výše uvedený předmět popsán graficky pro lepší pochopení a pro rychlé zobrazení.
Střed trojúhelníku | Vzorec:
Je středem největšího trojúhelníku trojúhelníku, který zapadá do trojúhelníku. Je to také průsečík tří půlen vnitřních úhlů trojúhelníku. Vzorec, který se používá k nalezení stimulátoru trojúhelníku, je
[latex]x=\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}[/latex]
a
[latex]x=\frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}[/latex]
v „Tabulka vzorců k tématu Body č. 6“ níže je výše uvedený předmět popsán graficky pro lepší pochopení a pro rychlé zobrazení.
Pro snadné grafické vysvětlení níže „Tabulka vzorců k tématu Body č. 7“ je třeba vidět.
Posunutí vzorce původu | Geometrie souřadnic:
Již jsme se dozvěděli v předchozím příspěvku „Kompletní průvodce geometrií souřadnic“ že počátek leží v bodě (0,0), což je průsečík os v rovině. můžeme posunout počátek ve všech kvadrantech roviny ve vztahu k počátku, což skrz něj dá novou sadu os.
U bodů ve výše uvedené rovině se jeho souřadnice změní spolu s novým počátkem a osami, které lze vypočítat podle vzorce, nových souřadnic bodu P (x1,y1) jsou x1 = x- a; y1 = y- b kde jsou souřadnice nového počátku (a, b). Pro lepší pochopení tohoto tématu je lepší vidět grafické znázornění níže v „Tabulka vzorců k tématu Body č. 8“ .
Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D:
﹡ Obvod trojúhelníku:
Jedná se o průsečík tří kolmých půlících čar na straně trojúhelníku. Je také středem kruhového oblouku trojúhelníku, který se dotýká pouze vrcholů trojúhelníku.
﹡ Mediány:
Medián je úsečka spojující vrchol trojúhelníku se středem nebo bodem, rozdělující opačnou stranu vrcholu. Každý trojúhelník má tři mediány, které se vždy protínají v těžišti stejného trojúhelníku.
Vyřešené problémy na bodech v souřadnicové geometrii ve 2D.
Pro lepší poznání bodů ve 2D je zde krok za krokem vyřešen jeden základní příklad a pro vlastní procvičování existuje více problémů s odpověďmi na každý vzorec. V následujících článcích bezprostředně po získání základní a jasné představy o tématu bodů v souřadnicové geometrii 2D musí být náročné problémy s řešením.
Základní příklady vzorců „Vzdálenost mezi dvěma body“
Problémy 1: Vypočítejte vzdálenost mezi dvěma danými body (1,2) a (6, -3).
Řešení: Již víme, vzorec vzdálenosti mezi dvěma body (x1,y1) a (x2,y2) is d = √ [(x2-x1)2+ (r2-y1)2 ]… (1)
(Viz tabulka vzorců výše) Tady můžeme předpokládat, že (x1,y1) ≌ (1,2) a (x2,y2) ≌ (6, -3) tj. X1= 1, r1= 2 a x2= 6, r2 = -3, Dáme-li všechny tyto hodnoty do rovnice (1), dostaneme požadovanou vzdálenost.
Proto je vzdálenost mezi dvěma body (1,2) a (6, -3)
= √ [(6-1)2+ (- 3-2)2 ] Jednotky
= √ [(5)2+ (- 5)2 ] Jednotky
= √ [25 + 25 ] Jednotky
= √ [50 ] Jednotky
= √ [2 × 52 ] Jednotky
= 5√2 jednotek (odpovědi)
Poznámka: Vzdálenost je vždy následována některými jednotkami.
Další zodpovězené problémy (základní) jsou uvedeny níže pro další procvičování pomocí postupu popsaného výše problém 1:-
Problém 2: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2,8) a (5,10).
Ans. √13 jednotky
Problém 3: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (-3, -7) a (1, -10).
Ans. 5 jednotky
Problém 4: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2,0) a (-3,4).
Ans. √41 jednotky
Problém 5: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2, -4) a (0,0).
Ans. 2√5 jednotky
Problém 6: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (10,100 10,100) a (-XNUMX XNUMX).
Ans. 20 jednotky
Úloha 7: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (√5,1) a (2√5,1).
Ans. √5 Jednotky
Úloha 8: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2√7,2) a (3√7, -1).
Ans. 4 Jednotky
Problém 9: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2 + √10, 0) a (2-√10, 0).
Ans. 2√10 Jednotky
Problém 10: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2 + 3i, 0) a (2-3i, 10). {i = √-1}
Ans. 8 jednotky
Problém 11: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (2 + i, -5) a (2-i, -7). {i = √-1}
Ans. 0 Jednotky
Problém 12: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (7 + 4i, 2i) a (7-4i, 2i). {i = √-1}
Ans. 8i Jednotky
Problém 13: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (√3 + i, 3) a (2√3 + i, 5). {i = √-1}
Ans. √7 Jednotky
Problém 14: Najděte vzdálenost mezi dvěma body (5 + √2, 3 + i) a (2 + √2, 7 + 2i). {i = √-1}
Ans. 2√ (6 + 2i) Jednotky
Základní příklady vzorců „Vzdálenost bodu od počátku“
Úkoly 15: Najděte vzdálenost bodu (3,4) od počátku.
Řešení:
Máme vzorec vzdálenosti bodu od počátku, OP = √ (x2 + a2) (Viz tabulka vzorců výše) Tady tedy můžeme předpokládat (x, y) ≌ (3,4), tj. X = 3 a y = 4
Když tedy uvedeme tyto hodnoty xay do výše uvedené rovnice, dostaneme požadovanou vzdálenost
=√ (32 + 42) Jednotky
= √ (9 + 16) jednotek
= √ (25) jednotek
= 5 jednotek
Poznámka: Vzdálenost je vždy následována některými jednotkami.
Poznámka: Vzdálenost bodu od počátku je ve skutečnosti vzdálenost mezi bodem a počátkem, tj. (0,0)
Další zodpovězené problémy jsou uvedeny níže pro další procvičování pomocí postupu popsaného výše
Problém 15:-
Úloha 16: Najděte vzdálenost bodu (1,8) od počátku.
Ans. √65 jednotky
Úloha 17: Najděte vzdálenost bodu (0,7) od počátku.
Ans. 7 Jednotky
Úloha 18: Najděte vzdálenost bodu (-3, -4) od počátku.
Ans. 5 Jednotky
Úloha 19: Najděte vzdálenost bodu (10,0) od počátku.
Ans. 10 Jednotky
Úloha 20: Najděte vzdálenost bodu (0,0) od počátku.
Ans. 0 Jednotky
___________________________________________________________
