Normální náhodná proměnná: 3 důležitá fakta

Normální Náhodná proměnná a Normální rozdělení

      Je známo, že náhodná proměnná s nepočitatelnou sadou hodnot je spojitá náhodná proměnná a funkce hustoty pravděpodobnosti pomocí integrace jako plocha pod křivkou dává spojité rozdělení, Nyní se zaměříme na jednu z nejpoužívanějších a častých spojitých náhodných proměnných viz normální náhodná proměnná, která má jiný název jako Gaussova náhodná proměnná nebo Gaussovo rozdělení.

Normální náhodná proměnná

      Normální náhodná proměnná je spojitá náhodná proměnná s funkcí hustoty pravděpodobnosti

01

mít průměr μ a rozptyl σ2 protože statistické parametry a geometricky má funkce hustoty pravděpodobnosti křivku ve tvaru zvonu, která je symetrická s průměrem μ.

Normální Náhodná proměnná
Normální Náhodná proměnná

Víme, že funkce hustoty pravděpodobnosti má celkovou pravděpodobnost jako jednu

02

vložením y = (x-μ) / σ

03
04
05
06
07

tuto dvojitou integraci lze vyřešit převedením do polární formy

08

což je požadovaná hodnota, takže je ověřena pro integrál I.

  • Pokud je X normálně distribuováno s parametrem μ  a σ2 pak Y = aX + b je také normálně distribuováno s parametry aμ + b a a2μ2

Očekávání a rozptyl normální náhodné proměnné

Očekávaná hodnota normální náhodné proměnné a rozptyl, který získáme pomocí

09

kde X je normálně distribuováno s průměrem parametrů μ a směrodatná odchylka σ.

10

protože průměr Z je nula, takže máme rozptyl jako

11

pomocí integrace po částech

12 1

pro proměnnou Z je grafická interpretace následující

Normální Náhodná proměnná
Normální Náhodná proměnná

a plocha pod křivkou pro tuto proměnnou Z, která je známá jako standardní normální proměnná, to se vypočítá pro referenci (uvedenou v tabulce), protože křivka je symetrická, takže u záporné hodnoty bude plocha stejná jako u kladných hodnot

13
z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
0.00.500000.503990.507980.511970.515950.519940.523920.527900.531880.53586
0.10.539830.543800.547760.551720.555670.559620.563560.567490.571420.57535
0.20.579260.583170.587060.590950.594830.598710.602570.606420.610260.61409
0.30.617910.621720.625520.629300.633070.636830.640580.644310.648030.65173
0.40.655420.659100.662760.666400.670030.673640.677240.680820.684390.68793
0.50.691460.694970.698470.701940.705400.708840.712260.715660.719040.72240
0.60.725750.729070.732370.735650.738910.742150.745370.748570.751750.75490
0.70.758040.761150.764240.767300.770350.773370.776370.779350.782300.78524
0.80.788140.791030.793890.796730.799550.802340.805110.807850.810570.81327
0.90.815940.818590.821210.823810.826390.828940.831470.833980.836460.83891
1.00.841340.843750.846140.848490.850830.853140.855430.857690.859930.86214
1.10.864330.866500.868640.870760.872860.874930.876980.879000.881000.88298
1.20.884930.886860.888770.890650.892510.894350.896170.897960.899730.90147
1.30.903200.904900.906580.908240.909880.911490.913080.914660.916210.91774
1.40.919240.920730.922200.923640.925070.926470.927850.929220.930560.93189
1.50.933190.934480.935740.936990.938220.939430.940620.941790.942950.94408
1.60.945200.946300.947380.948450.949500.950530.951540.952540.953520.95449
1.70.955430.956370.957280.958180.959070.959940.960800.961640.962460.96327
1.80.964070.964850.965620.966380.967120.967840.968560.969260.969950.97062
1.90.971280.971930.972570.973200.973810.974410.975000.975580.976150.97670
2.00.977250.977780.978310.978820.979320.979820.980300.980770.981240.98169
2.10.982140.982570.983000.983410.983820.984220.984610.985000.985370.98574
2.20.986100.986450.986790.987130.987450.987780.988090.988400.988700.98899
2.30.989280.989560.989830.990100.990360.990610.990860.991110.991340.99158
2.40.991800.992020.992240.992450.992660.992860.993050.993240.993430.99361
2.50.993790.993960.994130.994300.994460.994610.994770.994920.995060.99520
2.60.995340.995470.995600.995730.995850.995980.996090.996210.996320.99643
2.70.996530.996640.996740.996830.996930.997020.997110.997200.997280.99736
2.80.997440.997520.997600.997670.997740.997810.997880.997950.998010.99807
2.90.998130.998190.998250.998310.998360.998410.998460.998510.998560.99861
3.00.998650.998690.998740.998780.998820.998860.998890.998930.998960.99900
3.10.999030.999060.999100.999130.999160.999180.999210.999240.999260.99929
3.20.999310.999340.999360.999380.999400.999420.999440.999460.999480.99950
3.30.999520.999530.999550.999570.999580.999600.999610.999620.999640.99965
3.40.999660.999680.999690.999700.999710.999720.999730.999740.999750.99976
3.50.999770.999780.999780.999790.999800.999810.999810.999820.999830.99983

protože jsme použili substituci

14

Zde mějte na paměti, že Z je standardní normální variace, kde as spojitá náhodná veličina X je normálně rozdělena normální náhodná veličina se střední hodnotou μ a směrodatnou odchylkou σ.

Abychom tedy našli distribuční funkci pro náhodnou proměnnou, použijeme převod na standardní normální variaci jako

16

pro jakoukoli hodnotu a.

Příklad: Na standardní normální křivce najděte oblast mezi body 0 a 1.2.

Pokud postupujeme podle tabulky, hodnota 1.2 ve sloupci 0 je 0.88493 a hodnota 0 je 0.5000,

Normální Náhodná proměnná
Normální Náhodná proměnná
17

Příklad: najít oblast pro standardní normální křivku v rozmezí -0.46 až 2.21.

Normální Náhodná proměnná
Normální Náhodná proměnná

Ze stínované oblasti můžeme tuto oblast rozdvojovat od -0.46 do 0 a od 0 do 2.21, protože normální křivka je symetrická kolem osy y, takže oblast od -0.46 do 0 je stejná jako u oblastí od 0 do 0.46, tedy z tabulky

18

a

19

abychom to mohli napsat jako

Celková plocha = (plocha mezi z = -0.46 a z = 0) + (plocha mezi z = 0 a z = 2.21)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

Příklad: Pokud je X normální náhodná proměnná s průměrem 3 a odchylkou 9, pak najděte následující pravděpodobnosti

P2

P{X>0}

P|X-3|>6

Řešení: protože máme

20
21.PNG
22
Normální Náhodná proměnná
Normální Náhodná proměnná

takže rozdvojení do intervalů -1/3 až 0 a 0 až 2/3 dostaneme řešení z tabulkových hodnot

23

or

24
25

= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467

a

26
Normální Náhodná proměnná
Normální Náhodná proměnná
27.PNG
Normální Náhodná proměnná
Normální Náhodná proměnná

Příklad: Pozorovatel v případě otcovství uvádí, že délka (ve dnech) lidského růstu

je obvykle distribuován s parametry průměrem 270 a rozptylem 100. V tomto případě podezřelý, který je otcem dítěte, poskytl důkaz, že byl mimo zemi během období, které začalo 290 dní před narozením dítěte a skončilo 240 dní dříve narození. Zjistěte pravděpodobnost, že matka mohla mít velmi dlouhé nebo velmi krátké těhotenství, které svědek uvedl?

Nechť X označuje normálně distribuovanou náhodnou proměnnou pro gestaci a považujme podezřelého za otce dítěte. V takovém případě je pravděpodobnost narození dítěte ve stanoveném čase

29

Vztah mezi normální náhodnou proměnnou a binomickou náhodnou proměnnou

      V případě binomického rozdělení je průměr np a rozptyl npq, takže pokud převedeme takovou binomickou náhodnou proměnnou s takovým průměrem a směrodatnou odchylkou, která má n velmi velká a p nebo q jsou velmi malé, blíží se k nule, pak standardní normální proměnná Z pomocí těchto průměrů a odchylek je

30.PNG

zde z hlediska Bernouliho zkoušky X bere v úvahu počet úspěchů v n pokusech. Jak n se zvětšuje a blíží se k nekonečnu, tato normální proměnná jde stejným způsobem, aby se stala standardní normální proměnnou.

Vztah binomické a standardní normály se liší pomocí následující věty.

DeMoivre Laplaceova věta o limitu

If Sn označuje počet úspěchů, ke kterým dojde, když n  nezávislé testy, z nichž každý vede k úspěchu s pravděpodobností str , jsou tedy prováděny pro všechny a <b,

31.PNG
32

Příklad: Pomocí normální aproximace k binomické náhodné proměnné najděte pravděpodobnost výskytu 20krát ocasu, když hodná mince hodila 40krát.

Řešení: Předpokládejme, že náhodná proměnná X představuje výskyt ocasu, protože binomická náhodná proměnná je diskrétní náhodná proměnná a normální náhodná proměnná je spojitá náhodná proměnná, abychom ji převedli na spojitou, zapíšeme ji jako

33 1

a pokud daný příklad vyřešíme pomocí binomického rozdělení, dostaneme jej jako

34

Příklad: Aby bylo možné rozhodnout o účinnosti určité výživy při snižování rozsahu cholesterolu v krevním oběhu, je na výživu umístěno 100 lidí. Počet cholesterolu byl sledován po definovanou dobu po poskytnutí výživy. Pokud z tohoto vzorku má 65 procent nízký počet cholesterolu, bude výživa schválena. Jaká je pravděpodobnost, že odborník na výživu novou výživu schválí, pokud ve skutečnosti nemá žádný vliv na hladinu cholesterolu?

řešení:  Nechť náhodná proměnná vyjadřuje hladinu cholesterolu, pokud je snížena výživou, takže pravděpodobnost takové náhodné proměnné bude ½ pro každou osobu, pokud X označuje nízký počet lidí, pak pravděpodobnost, že výsledek bude schválen, i když nebude mít žádný vliv na výživu snížit hladinu cholesterolu je

35


36
37

Závěr:

   V tomto článku je koncept spojité náhodné proměnné jmenovitě normální náhodná proměnná a její rozdělení s funkcí hustoty pravděpodobnosti a je uveden statistický parametr střední hodnota, rozptyl pro normální náhodnou veličinu. Převod normálně distribuované náhodné proměnné na novou standardní normální proměnnou a plocha pod křivkou pro takovou standardní normální proměnnou je uvedena v tabulkové formě jedné z vztah s diskrétní náhodnou veličinou je také zmíněn na příkladu ,pokud chcete další čtení, projděte si:

Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

Další témata z matematiky naleznete na stránce tato stránka.