Normální Náhodná proměnná a Normální rozdělení
Je známo, že náhodná proměnná s nepočitatelnou sadou hodnot je spojitá náhodná proměnná a funkce hustoty pravděpodobnosti pomocí integrace jako plocha pod křivkou dává spojité rozdělení, Nyní se zaměříme na jednu z nejpoužívanějších a častých spojitých náhodných proměnných viz normální náhodná proměnná, která má jiný název jako Gaussova náhodná proměnná nebo Gaussovo rozdělení.
Normální náhodná proměnná
Normální náhodná proměnná je spojitá náhodná proměnná s funkcí hustoty pravděpodobnosti
mít průměr μ a rozptyl σ2 protože statistické parametry a geometricky má funkce hustoty pravděpodobnosti křivku ve tvaru zvonu, která je symetrická s průměrem μ.
Víme, že funkce hustoty pravděpodobnosti má celkovou pravděpodobnost jako jednu
vložením y = (x-μ) / σ
tuto dvojitou integraci lze vyřešit převedením do polární formy
což je požadovaná hodnota, takže je ověřena pro integrál I.
- Pokud je X normálně distribuováno s parametrem μ a σ2 pak Y = aX + b je také normálně distribuováno s parametry aμ + b a a2μ2
Očekávání a rozptyl normální náhodné proměnné
Očekávaná hodnota normální náhodné proměnné a rozptyl, který získáme pomocí
kde X je normálně distribuováno s průměrem parametrů μ a směrodatná odchylka σ.
protože průměr Z je nula, takže máme rozptyl jako
pomocí integrace po částech
pro proměnnou Z je grafická interpretace následující
a plocha pod křivkou pro tuto proměnnou Z, která je známá jako standardní normální proměnná, to se vypočítá pro referenci (uvedenou v tabulce), protože křivka je symetrická, takže u záporné hodnoty bude plocha stejná jako u kladných hodnot
z | 0.00 | 0.01 | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.06 | 0.07 | 0.08 | 0.09 |
0.0 | 0.50000 | 0.50399 | 0.50798 | 0.51197 | 0.51595 | 0.51994 | 0.52392 | 0.52790 | 0.53188 | 0.53586 |
0.1 | 0.53983 | 0.54380 | 0.54776 | 0.55172 | 0.55567 | 0.55962 | 0.56356 | 0.56749 | 0.57142 | 0.57535 |
0.2 | 0.57926 | 0.58317 | 0.58706 | 0.59095 | 0.59483 | 0.59871 | 0.60257 | 0.60642 | 0.61026 | 0.61409 |
0.3 | 0.61791 | 0.62172 | 0.62552 | 0.62930 | 0.63307 | 0.63683 | 0.64058 | 0.64431 | 0.64803 | 0.65173 |
0.4 | 0.65542 | 0.65910 | 0.66276 | 0.66640 | 0.67003 | 0.67364 | 0.67724 | 0.68082 | 0.68439 | 0.68793 |
0.5 | 0.69146 | 0.69497 | 0.69847 | 0.70194 | 0.70540 | 0.70884 | 0.71226 | 0.71566 | 0.71904 | 0.72240 |
0.6 | 0.72575 | 0.72907 | 0.73237 | 0.73565 | 0.73891 | 0.74215 | 0.74537 | 0.74857 | 0.75175 | 0.75490 |
0.7 | 0.75804 | 0.76115 | 0.76424 | 0.76730 | 0.77035 | 0.77337 | 0.77637 | 0.77935 | 0.78230 | 0.78524 |
0.8 | 0.78814 | 0.79103 | 0.79389 | 0.79673 | 0.79955 | 0.80234 | 0.80511 | 0.80785 | 0.81057 | 0.81327 |
0.9 | 0.81594 | 0.81859 | 0.82121 | 0.82381 | 0.82639 | 0.82894 | 0.83147 | 0.83398 | 0.83646 | 0.83891 |
1.0 | 0.84134 | 0.84375 | 0.84614 | 0.84849 | 0.85083 | 0.85314 | 0.85543 | 0.85769 | 0.85993 | 0.86214 |
1.1 | 0.86433 | 0.86650 | 0.86864 | 0.87076 | 0.87286 | 0.87493 | 0.87698 | 0.87900 | 0.88100 | 0.88298 |
1.2 | 0.88493 | 0.88686 | 0.88877 | 0.89065 | 0.89251 | 0.89435 | 0.89617 | 0.89796 | 0.89973 | 0.90147 |
1.3 | 0.90320 | 0.90490 | 0.90658 | 0.90824 | 0.90988 | 0.91149 | 0.91308 | 0.91466 | 0.91621 | 0.91774 |
1.4 | 0.91924 | 0.92073 | 0.92220 | 0.92364 | 0.92507 | 0.92647 | 0.92785 | 0.92922 | 0.93056 | 0.93189 |
1.5 | 0.93319 | 0.93448 | 0.93574 | 0.93699 | 0.93822 | 0.93943 | 0.94062 | 0.94179 | 0.94295 | 0.94408 |
1.6 | 0.94520 | 0.94630 | 0.94738 | 0.94845 | 0.94950 | 0.95053 | 0.95154 | 0.95254 | 0.95352 | 0.95449 |
1.7 | 0.95543 | 0.95637 | 0.95728 | 0.95818 | 0.95907 | 0.95994 | 0.96080 | 0.96164 | 0.96246 | 0.96327 |
1.8 | 0.96407 | 0.96485 | 0.96562 | 0.96638 | 0.96712 | 0.96784 | 0.96856 | 0.96926 | 0.96995 | 0.97062 |
1.9 | 0.97128 | 0.97193 | 0.97257 | 0.97320 | 0.97381 | 0.97441 | 0.97500 | 0.97558 | 0.97615 | 0.97670 |
2.0 | 0.97725 | 0.97778 | 0.97831 | 0.97882 | 0.97932 | 0.97982 | 0.98030 | 0.98077 | 0.98124 | 0.98169 |
2.1 | 0.98214 | 0.98257 | 0.98300 | 0.98341 | 0.98382 | 0.98422 | 0.98461 | 0.98500 | 0.98537 | 0.98574 |
2.2 | 0.98610 | 0.98645 | 0.98679 | 0.98713 | 0.98745 | 0.98778 | 0.98809 | 0.98840 | 0.98870 | 0.98899 |
2.3 | 0.98928 | 0.98956 | 0.98983 | 0.99010 | 0.99036 | 0.99061 | 0.99086 | 0.99111 | 0.99134 | 0.99158 |
2.4 | 0.99180 | 0.99202 | 0.99224 | 0.99245 | 0.99266 | 0.99286 | 0.99305 | 0.99324 | 0.99343 | 0.99361 |
2.5 | 0.99379 | 0.99396 | 0.99413 | 0.99430 | 0.99446 | 0.99461 | 0.99477 | 0.99492 | 0.99506 | 0.99520 |
2.6 | 0.99534 | 0.99547 | 0.99560 | 0.99573 | 0.99585 | 0.99598 | 0.99609 | 0.99621 | 0.99632 | 0.99643 |
2.7 | 0.99653 | 0.99664 | 0.99674 | 0.99683 | 0.99693 | 0.99702 | 0.99711 | 0.99720 | 0.99728 | 0.99736 |
2.8 | 0.99744 | 0.99752 | 0.99760 | 0.99767 | 0.99774 | 0.99781 | 0.99788 | 0.99795 | 0.99801 | 0.99807 |
2.9 | 0.99813 | 0.99819 | 0.99825 | 0.99831 | 0.99836 | 0.99841 | 0.99846 | 0.99851 | 0.99856 | 0.99861 |
3.0 | 0.99865 | 0.99869 | 0.99874 | 0.99878 | 0.99882 | 0.99886 | 0.99889 | 0.99893 | 0.99896 | 0.99900 |
3.1 | 0.99903 | 0.99906 | 0.99910 | 0.99913 | 0.99916 | 0.99918 | 0.99921 | 0.99924 | 0.99926 | 0.99929 |
3.2 | 0.99931 | 0.99934 | 0.99936 | 0.99938 | 0.99940 | 0.99942 | 0.99944 | 0.99946 | 0.99948 | 0.99950 |
3.3 | 0.99952 | 0.99953 | 0.99955 | 0.99957 | 0.99958 | 0.99960 | 0.99961 | 0.99962 | 0.99964 | 0.99965 |
3.4 | 0.99966 | 0.99968 | 0.99969 | 0.99970 | 0.99971 | 0.99972 | 0.99973 | 0.99974 | 0.99975 | 0.99976 |
3.5 | 0.99977 | 0.99978 | 0.99978 | 0.99979 | 0.99980 | 0.99981 | 0.99981 | 0.99982 | 0.99983 | 0.99983 |
protože jsme použili substituci
Zde mějte na paměti, že Z je standardní normální variace, kde as spojitá náhodná veličina X je normálně rozdělena normální náhodná veličina se střední hodnotou μ a směrodatnou odchylkou σ.
Abychom tedy našli distribuční funkci pro náhodnou proměnnou, použijeme převod na standardní normální variaci jako
pro jakoukoli hodnotu a.
Příklad: Na standardní normální křivce najděte oblast mezi body 0 a 1.2.
Pokud postupujeme podle tabulky, hodnota 1.2 ve sloupci 0 je 0.88493 a hodnota 0 je 0.5000,
Příklad: najít oblast pro standardní normální křivku v rozmezí -0.46 až 2.21.
Ze stínované oblasti můžeme tuto oblast rozdvojovat od -0.46 do 0 a od 0 do 2.21, protože normální křivka je symetrická kolem osy y, takže oblast od -0.46 do 0 je stejná jako u oblastí od 0 do 0.46, tedy z tabulky
a
abychom to mohli napsat jako
Celková plocha = (plocha mezi z = -0.46 a z = 0) + (plocha mezi z = 0 a z = 2.21)
= 0.1722 + 0.4864
= 0.6586
Příklad: Pokud je X normální náhodná proměnná s průměrem 3 a odchylkou 9, pak najděte následující pravděpodobnosti
P2
P{X>0}
P|X-3|>6
Řešení: protože máme
takže rozdvojení do intervalů -1/3 až 0 a 0 až 2/3 dostaneme řešení z tabulkových hodnot
or
= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467
a
Příklad: Pozorovatel v případě otcovství uvádí, že délka (ve dnech) lidského růstu
je obvykle distribuován s parametry průměrem 270 a rozptylem 100. V tomto případě podezřelý, který je otcem dítěte, poskytl důkaz, že byl mimo zemi během období, které začalo 290 dní před narozením dítěte a skončilo 240 dní dříve narození. Zjistěte pravděpodobnost, že matka mohla mít velmi dlouhé nebo velmi krátké těhotenství, které svědek uvedl?
Nechť X označuje normálně distribuovanou náhodnou proměnnou pro gestaci a považujme podezřelého za otce dítěte. V takovém případě je pravděpodobnost narození dítěte ve stanoveném čase
Vztah mezi normální náhodnou proměnnou a binomickou náhodnou proměnnou
V případě binomického rozdělení je průměr np a rozptyl npq, takže pokud převedeme takovou binomickou náhodnou proměnnou s takovým průměrem a směrodatnou odchylkou, která má n velmi velká a p nebo q jsou velmi malé, blíží se k nule, pak standardní normální proměnná Z pomocí těchto průměrů a odchylek je
zde z hlediska Bernouliho zkoušky X bere v úvahu počet úspěchů v n pokusech. Jak n se zvětšuje a blíží se k nekonečnu, tato normální proměnná jde stejným způsobem, aby se stala standardní normální proměnnou.
Vztah binomické a standardní normály se liší pomocí následující věty.
DeMoivre Laplaceova věta o limitu
If Sn označuje počet úspěchů, ke kterým dojde, když n nezávislé testy, z nichž každý vede k úspěchu s pravděpodobností str , jsou tedy prováděny pro všechny a <b,
Příklad: Pomocí normální aproximace k binomické náhodné proměnné najděte pravděpodobnost výskytu 20krát ocasu, když hodná mince hodila 40krát.
Řešení: Předpokládejme, že náhodná proměnná X představuje výskyt ocasu, protože binomická náhodná proměnná je diskrétní náhodná proměnná a normální náhodná proměnná je spojitá náhodná proměnná, abychom ji převedli na spojitou, zapíšeme ji jako
a pokud daný příklad vyřešíme pomocí binomického rozdělení, dostaneme jej jako
Příklad: Aby bylo možné rozhodnout o účinnosti určité výživy při snižování rozsahu cholesterolu v krevním oběhu, je na výživu umístěno 100 lidí. Počet cholesterolu byl sledován po definovanou dobu po poskytnutí výživy. Pokud z tohoto vzorku má 65 procent nízký počet cholesterolu, bude výživa schválena. Jaká je pravděpodobnost, že odborník na výživu novou výživu schválí, pokud ve skutečnosti nemá žádný vliv na hladinu cholesterolu?
řešení: Nechť náhodná proměnná vyjadřuje hladinu cholesterolu, pokud je snížena výživou, takže pravděpodobnost takové náhodné proměnné bude ½ pro každou osobu, pokud X označuje nízký počet lidí, pak pravděpodobnost, že výsledek bude schválen, i když nebude mít žádný vliv na výživu snížit hladinu cholesterolu je
Závěr:
V tomto článku je koncept spojité náhodné proměnné jmenovitě normální náhodná proměnná a její rozdělení s funkcí hustoty pravděpodobnosti a je uveden statistický parametr střední hodnota, rozptyl pro normální náhodnou veličinu. Převod normálně distribuované náhodné proměnné na novou standardní normální proměnnou a plocha pod křivkou pro takovou standardní normální proměnnou je uvedena v tabulkové formě jedné z vztah s diskrétní náhodnou veličinou je také zmíněn na příkladu ,pokud chcete další čtení, projděte si:
Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.
Další témata z matematiky naleznete na stránce tato stránka.
Jsem DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Dokončil jsem Ph.D. v matematice a pracuje jako odborný asistent v matematice. Má 12 let praxe v pedagogické činnosti. Mít rozsáhlé znalosti v čisté matematice, přesně v algebře. Mít obrovskou schopnost navrhovat a řešit problémy. Schopný motivovat kandidáty ke zvýšení jejich výkonu.
Rád přispívám do Lambdageeks, aby byla matematika jednoduchá, zajímavá a samovysvětlující pro začátečníky i odborníky.