Funkce generování momentu: 13 důležitých faktů

Funkce generující moment    

Funkce generování momentů je velmi důležitá funkce, která generuje momenty náhodné proměnné, které zahrnují střední hodnotu, směrodatnou odchylku a rozptyl atd., Takže pouze pomocí funkce generování momentů najdeme základní momenty i vyšší momenty. V tomto článku uvidí funkce generující momenty pro různé diskrétní a spojité náhodné proměnné. protože funkce generování momentů (MGF) je definována pomocí matematického očekávání označeného M (t) jako

a pomocí definice očekávání pro diskrétní a spojitou náhodnou veličinu tato funkce bude

který dosazením hodnoty t za nulu generuje příslušné momenty. Tyto momenty musíme shromáždit diferenciací této funkce generující momenty například pro první okamžik nebo znamenat, že můžeme získat diferenciací jednou jako

To dává náznak, že diferenciace je zaměnitelná za očekávání a můžeme to napsat jako

a

pokud t = 0, výše uvedené momenty budou

a

Obecně to můžeme říci

proto

Funkce generování momentů binomického rozdělení || Funkce generování binomického rozdělení momentu || MGF binomického rozdělení || Průměr a rozptyl binomického rozdělení pomocí funkce generování momentů

Funkce generující moment pro náhodnou proměnnou X, což je binomické rozdělení, bude sledovat pravděpodobnostní funkci binomického rozdělení s parametry n a p jako

což je výsledek binomické věty, která nyní rozlišuje a dává hodnotu t = 0

což je průměr nebo první okamžik binomické distribuce, podobně bude druhý okamžik

takže rozptyl binomického rozdělení bude

což je standardní průměr a rozptyl binomického rozdělení, podobně jako vyšší momenty také můžeme najít pomocí této funkce generování momentů.

Funkce generování momentů Ryby distribuce ||Ryby funkce generování distribučního momentu || MGF z Ryby rozdělení || Průměr a rozptyl Poissonova rozdělení pomocí funkce generující moment

 Pokud máme náhodnou proměnnou X, která je Poissonově distribuována s parametrem Lambda, pak bude funkce generující moment pro toto rozdělení

nyní rozlišením to dá

to dává

což dává průměr a rozptyl pro Poissonovo rozdělení stejné, což je pravda

Funkce generování momentů exponenciálního rozdělení ||Exponenciální funkce generování distribučního momentu || MGF z Exponenciální rozdělení || Průměr a rozptyl Exponenciální distribuce pomocí funkce generování momentu

                Funkce generující moment pro exponenciální náhodnou proměnnou X podle definice je

zde je hodnota t menší než parametr lambda, nyní to bude rozlišovat

který poskytuje okamžiky

jasně

Které jsou průměrem a rozptylem exponenciálního rozdělení.

Funkce generování momentů normálního rozdělení ||Předpisl Funkce generování distribučního momentu || MGF z Předpisl distribuce || Průměr a rozptyl Normální distribuce pomocí funkce generování momentu

  Funkce generující moment pro spojitá rozdělení je stejná jako diskrétní, takže funkce generující moment pro normální rozdělení se standardní hustotou pravděpodobnosti bude

tuto integraci můžeme vyřešit úpravou jako

protože hodnota integrace je 1. Funkce generující moment pro standardní normální proměnnou bude tedy

z toho můžeme najít pro jakoukoli obecnou normální náhodnou proměnnou funkci generující moment pomocí vztahu

tedy

takže diferenciace nám dává

tedy

takže rozptyl bude

Funkce generování momentů součtu náhodných proměnných

Projekt Funkce generující moment součtu náhodných proměnných dává důležitou vlastnost, že se rovná součinu funkce generování momentů příslušných nezávislých náhodných proměnných, která je pro nezávislé náhodné proměnné X a Y, pak funkce generující moment pro součet náhodných proměnných X + Y je

zde moment generující funkce každého X a Y jsou nezávislé na vlastnost matematického očekávání. V posloupnosti najdeme součet funkcí generujících moment různých rozdělení.

Součet binomických náhodných proměnných

Pokud jsou náhodné proměnné X a Y distribuovány binomickým rozdělením s parametry (n, p) a (m, p), pak bude funkce generující moment jejich součtu X + Y

kde parametry pro součet jsou (n + m, p).

Součet Poissonových náhodných proměnných

Distribuci pro součet nezávislých náhodných proměnných X a Y s příslušnými prostředky, které jsou distribuovány Poissonovým rozdělením, můžeme najít jako

Kde

je průměr Poissonovy náhodné proměnné X + Y.

Součet běžných náhodných proměnných

     Zvažte nezávislé normální náhodné veličiny X a Y s parametry

pak pro součet náhodných proměnných X + Y s parametry

takže funkce generující moment bude

což je funkce generující moment s aditivní střední hodnotou a rozptylem.

Součet náhodných čísel náhodných proměnných

Abychom našli funkci generující moment součtu náhodného počtu náhodných proměnných, předpokládejme náhodnou proměnnou

kde náhodné proměnné X₁,X₂,… Jsou sekvence náhodných proměnných jakéhokoli typu, které jsou nezávislé a identicky distribuované, pak bude funkce generující moment

Který dává moment generující funkci Y na diferenciaci jako

proto

podobným způsobem dá dvojnásobná diferenciace

které dávají

tak bude rozptyl

Příklad náhodné proměnné chí kvadrát

Vypočítejte funkci generování momentů Chi-kvadrát náhodné proměnné s n-stupněm volnosti.

Řešení: Zvažte Chi-kvadrát náhodnou proměnnou s n-stupněm volnosti pro

posloupnost standardních normálních proměnných pak bude funkce generující moment

tak to dává

normální hustota se střední hodnotou 0 a rozptylem σ² integruje do 1

což je požadovaná funkce generující moment n stupně volnosti.

Příklad jednotné náhodné proměnné

Najděte moment generující funkci náhodné veličiny X, která je binomicky rozdělena s parametry n a p danými kondicionál náhodná veličina Y=p na intervalu (0,1)

Řešení: Najít funkci generování momentů náhodné proměnné X dané Y

pomocí binomického rozdělení je sin Y jednotná náhodná proměnná na intervalu (0,1)

Funkce generující společný moment

Funkce generování kloubového momentu pro n počet náhodných proměnných X₁,X₂,…,X_n

kde t₁,t₂, …… t_n jsou reálná čísla, ze společné funkce generování momentů můžeme najít jednotlivou funkci generující momenty jako

Věta: Náhodné proměnné X₁,X₂,…,X_n jsou nezávislé, pokud a pouze v případě, že funkce generování společného prvku

Důkaz: Předpokládejme, že dané náhodné proměnné X₁,X₂,…,X_n jsou pak nezávislé

Nyní předpokládejme, že funkce generující společný moment splňuje rovnici

• k prokázání náhodných proměnných X₁,X₂,…,X_n jsou nezávislé máme výsledek, že funkce generování kloubního momentu jednoznačně dává společné rozdělení (to je další důležitý výsledek, který vyžaduje důkaz), takže musíme mít společné rozdělení, které ukazuje, že náhodné proměnné jsou nezávislé, proto byla prokázána nutná a dostatečná podmínka.

Příklad funkce generování společného momentu

1. Vypočítejte funkci generování kloubového momentu náhodné proměnné X + Y a XY

Řešení: Protože součet náhodných proměnných X + Y a odčítání náhodných proměnných XY jsou nezávislé jako pro nezávislé náhodné proměnné X a Y, takže funkce generující společný moment pro ně bude

protože tato funkce generující moment určuje společné rozdělení, takže z toho můžeme mít X + Y a XY jsou nezávislé náhodné proměnné.

2. Zvažte pro experiment počet spočítaných a nepočítaných událostí distribuovaných poissonovým rozdělením s pravděpodobností p a průměrem λ, ukažte, že počet počítaných a nepočítaných událostí je nezávislý na příslušných průměrech λp a λ (1-p).

Řešení: X budeme považovat za počet událostí a X_c počet započítaných událostí, takže počet nezapočítaných událostí je XX_c, funkce generování společných momentů vygeneruje moment

a funkcí generování momentů binomické distribuce

a když od nich očekáváte, dá se to

Závěr:

Použitím standardní definice funkce generující momenty byly diskutovány momenty pro různé distribuce jako binomické, poissonské, normální atd. A součet těchto náhodných proměnných buď diskrétní nebo spojité funkce generování momentů pro tyto a funkce generující společný moment s vhodné příklady, pokud potřebujete další čtení, projděte si níže uvedené knihy.

Další články o matematice naleznete v našem Stránka matematiky.

První kurz pravděpodobnosti od Sheldona Rosse

Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky

Úvod do pravděpodobnosti a statistik od ROHATGI a SALEH

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Jsem DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Dokončil jsem Ph.D. v matematice a pracuje jako odborný asistent v matematice. Má 12 let praxe v pedagogické činnosti. Mít rozsáhlé znalosti v čisté matematice, přesně v algebře. Mít obrovskou schopnost navrhovat a řešit problémy. Schopný motivovat kandidáty ke zvýšení jejich výkonu.
Rád přispívám do Lambdageeks, aby byla matematika jednoduchá, zajímavá a samovysvětlující pro začátečníky i odborníky.