11 faktů o matematickém očekávání a náhodné proměnné

Matematické očekávání a náhodná proměnná    

     Matematické očekávání hraje v teorii pravděpodobnosti velmi důležitou roli, základní definici a základní vlastnosti matematického očekávání jsme již probrali v předchozích článcích, nyní po projednání různých distribucí a typů distribucí, v následujícím článku se seznámíme s některými dalšími pokročilé vlastnosti matematického očekávání.

Očekávání součtu náhodných proměnných Očekávání funkce náhodných proměnných Očekávání společného rozdělení pravděpodobnosti

     Známe matematické očekávání náhodné proměnné diskrétní povahy

a pro kontinuální je

nyní pro náhodnou veličinu X a Y, pokud jsou diskrétní, pak s kloubem pravděpodobnostní hmotnostní funkce p (x, y)

očekávání funkce náhodné proměnné X a Y bude

a pokud je spojitá, pak se společnou funkcí hustoty pravděpodobnosti f (x, y) bude očekávání funkce náhodné proměnné X a Y

je-li g sčítání těchto dvou náhodných proměnných v spojité formě

a pokud pro náhodné proměnné X a Y máme

X>Y

pak také očekávání

Příklad

Nemocnice Covid-19 je rovnoměrně rozložena na silnici délky L v bodě X, vozidlo přepravující kyslík pro pacienty je v místě Y, které je také rovnoměrně rozloženo na silnici, Najděte očekávanou vzdálenost mezi nemocnicí Covid-19 a vozidlo přepravující kyslík, pokud jsou nezávislé.

Řešení:

Abychom našli očekávanou vzdálenost mezi X a Y, musíme vypočítat E {| XY | }

Nyní bude funkce hustoty spojů X a Y

od

podle toho máme

nyní bude hodnota integrálu

Očekávaná vzdálenost mezi těmito dvěma body tedy bude

Očekávání střední hodnoty vzorku

  Jako průměr vzorku posloupnosti náhodných proměnných X₁, X₂, ………, X_n s distribuční funkcí F a očekávanou hodnotou každého jako μ je

očekávání tohoto průměru vzorku tedy bude

který ukazuje očekávanou hodnotu průměru vzorku je také μ.

Booleova nerovnost

                Boole's nerovnost lze získat pomocí vlastností očekávání, předpokládejme, že náhodná proměnná X je definována jako

kde

zde A_i Jsou náhodné události, to znamená, že náhodná proměnná X představuje výskyt počtu událostí A_i a další náhodná proměnná Y jako

jasně

X>=Y

E[X] >= E[Y]

a také je

nyní, když vezmeme hodnotu náhodné proměnné X a Y, bude toto očekávání

a

dosazením těchto očekávání do výše uvedené nerovnosti dostaneme Booleovu nerovnost jako

Očekávání binomické náhodné proměnné | Průměr binomické náhodné proměnné

  Víme, že binomická náhodná proměnná je náhodná proměnná, která ukazuje počet úspěchů v n nezávislých studiích s pravděpodobností úspěchu jako p a selhání jako q = 1-p, takže pokud

X = X₁ + X₂+ ……. + X_n

Kde

tady těchto X_i jsou Bernoulli a očekávání bude

očekávání X tedy bude

Očekávání záporné binomické náhodné proměnné | Průměr záporné binomické náhodné proměnné

  Nechť náhodná proměnná X, která představuje počet pokusů potřebných ke shromáždění r úspěchů, pak je taková náhodná proměnná známá jako negativní binomická náhodná proměnná a může být vyjádřena jako

tady každý X_i označte počet pokusů požadovaných po (i-1) prvním úspěchu k získání celkového počtu i úspěchů.

Protože každý z těchto X_i představují geometrickou náhodnou proměnnou a víme, že očekávání geometrické náhodné proměnné je

so

který je očekávání záporné binomické náhodné veličiny.

Očekávání hypergeometrické náhodné proměnné | Průměr hypergeometrické náhodné proměnné

Očekávání nebo průměr hypergeometrické náhodné proměnné získáme pomocí jednoduchého příkladu z reálného života, pokud je náhodně vybráno n počet knih z police obsahující N knih, z nichž m je matematika, pak zjistíme očekávaný počet matematické knihy ať X označuje počet vybraných knih matematiky, pak můžeme psát X jako

kde

so

=n/N

což dává

což je průměr takové hypergeometrické náhodné proměnné.

Očekávaný počet zápasů

   Jedná se o velmi oblíbený problém související s očekáváním, předpokládejme, že v místnosti je N počet lidí, kteří hodí klobouky uprostřed místnosti a všechny klobouky jsou smíchány poté, co si každý člověk náhodně vybere jeden klobouk, pak očekávaný počet lidí kteří si vyberou svůj vlastní klobouk, můžeme získat tak, že necháme X jako počet shod

Kde

protože každá osoba má stejnou příležitost vybrat si některý z klobouků z N klobouků

so

což znamená, že přesně jeden člověk si v průměru zvolí svůj vlastní klobouk.

Pravděpodobnost spojení událostí

     Zjistíme pravděpodobnost spojení událostí pomocí očekávání, tedy pro události A_i

s tím bereme

očekávání toho tedy bude

a rozšiřování pomocí vlastnosti očekávání jako

protože máme

a

so

z toho vyplývá pravděpodobnost spojení jako

Hranice od očekávání pomocí pravděpodobnostní metody

    Předpokládejme, že S je konečná množina a f je funkce na prvcích S a

zde můžeme získat dolní mez pro toto m očekáváním f (s), kde „s“ je libovolný náhodný prvek S, jehož očekávání můžeme vypočítat tak

zde dostaneme očekávání jako spodní hranici maximální hodnoty

Maximální-Minimální identita

 Maximum Minimum identity je maximum z množiny čísel k minimům podmnožin těchto čísel, které je pro libovolná čísla x_i

Abychom to ukázali, omezme x_i v intervalu [0,1] předpokládejme jednotnou náhodnou proměnnou U na intervalu (0,1) a událostech A_i protože uniformní proměnná U je menší než x_i to je

protože alespoň jedna z výše uvedených událostí nastane, protože U je menší než jedna, hodnota x_i

a

Jasně to víme

a ke všem událostem dojde, pokud je U menší než všechny proměnné a

pravděpodobnost dává

máme výsledek pravděpodobnosti sjednocení jako

podle tohoto vzorce vyloučení zahrnutí pro pravděpodobnost

zvážit

to dává

od

což znamená

• proto to můžeme napsat jako

při očekávání můžeme najít očekávané hodnoty maxima a dílčích minim jako

Závěr:

Očekávání z hlediska různé distribuce a korelace očekávání s některými teorie pravděpodobnosti koncepty byly středem zájmu tohoto článku, který ukazuje použití očekávání jako nástroje k získání očekávaných hodnot různých druhů náhodných proměnných, pokud potřebujete další čtení, projděte si níže uvedené knihy.

Další články o matematice naleznete v našem Stránka matematiky.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

První kurz pravděpodobnosti od Sheldona Rosse

Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky

Úvod do pravděpodobnosti a statistik od ROHATGI a SALEH

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Jsem DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Dokončil jsem Ph.D. v matematice a pracuje jako odborný asistent v matematice. Má 12 let praxe v pedagogické činnosti. Mít rozsáhlé znalosti v čisté matematice, přesně v algebře. Mít obrovskou schopnost navrhovat a řešit problémy. Schopný motivovat kandidáty ke zvýšení jejich výkonu.
Rád přispívám do Lambdageeks, aby byla matematika jednoduchá, zajímavá a samovysvětlující pro začátečníky i odborníky.