Macaulay's Method & Moment Area Method: 11 důležitých faktů

Obsah: Metoda momentové oblasti a Macaulayova metoda

Macaulayova metoda Definice
Macaulayova metoda pro sklon a průhyb
Příklad 1 Macaulayovy metody: Sklon a průhyb v jednoduše podporovaném nosníku for Rovnoměrně rozložené zatížení
Macaulayova metoda příklad 2: Sklon a průhyb v převislém paprsku
Metoda momentové oblasti
Věta o momentové oblasti
Příklad týkající se metody Moment Area
Ohybový moment po částech
Použití metody Moment Area na převislém nosníku s rovnoměrně rozloženým zatížením pro zjištění sklonu a průhybu
Maximální průhyb v důsledku nesymetrického zatížení
Otázky a odpovědi k metodě Macaulay a metodě momentové oblasti

Macaulayova metoda

Pan WH Macaulay vymyslel Macaulayovu metodu. Macaulayova metoda je velmi efektivní pro podmínky přerušovaného načítání.

Macaulay Metoda (metoda dvojité integrace) je technika používaná ve statické analýze ke stanovení průhybu Euler-Bernoulliho paprsků a tato metoda je velmi užitečná pro případ diskontinuálního a / nebo diskrétního zatížení.

Macaulayova metoda pro sklon a průhyb

Vezměme si malou část paprsku, ve které v určité části X, smyková síla je Q a ohybový moment je M Jak je ukázáno níže. V jiné sekci Y, vzdálenost 'A' podél paprsku, koncentrované zatížení F je použito, které změní ohybový moment pro další body Y.

Mezi X a Y,

$\\\\M=EI \\frac{d^2 y}{dx^2}=M+Qx……………[1]\\\\\\\\EI \\frac{dy}{dx }=Mx+Q\\frac{x^2}{2} +C_1……………[2]\\\\\\\\EIy=M \\frac{x^2}{2}+Q \\frac{x^3}{6}+C_1 x+C_2……………[3]$

A za Y

$M=EI \\frac{d^2 y}{dx^2}=M+Qx-F(x-a)…………… [4]\\\\\\\\EI \\frac{d y}{ dx}=Mx+Q (x^2/2)-F (x^2/2)+Fax+C_3…………… [5]$

$EIy = M (x ^ 2/2) + Q (x ^ 3/6) -F (x ^ 3/6) + Fa (x ^ 2/2) C_3 x + C_4 …………… [6]$

Pro sklon na Y, rovnicí [5] a [2] dostaneme,

$Mx + Q (x ^ 2/2) + C_1 = Mx + Q (x ^ 2/2) -F (x ^ 2/2) + Fax + C_3$

Ale v bodě Y, x = a

$C_1=-F (a^2/2)+Fa^2+C_3\\\\\\\\C_3=C_1-F (a^2/2)$

Dosazením výše uvedené rovnice do [5]

$EI \\frac{dy}{dx}=Mx+Q (x^2/2)-F (x^2/2)+Fax+C_1-F (a^2/2)$

$EI \\frac{dy}{dx}=Mx+Q (x^2/2)-F(x-a)^2/2+C_1………….[7]$

Rovněž pro stejnou výchylku na Y, která se rovná (3) a (6), dostaneme (x = a)

$M(a^2/2)+Q(a^3/6)+C_1 a+C_2=M(a^2/2)+Q(a^3/6)-F(a^3/6)+F(a^3/6)+C_3 a+C_4$

Při řešení těchto rovnic a dosazení hodnoty C3

$C_4 = F (a ^ 3/6) + C_2$

Dosazením do rovnice [6] dostaneme,

$\\large EIy=M x^2/2+Q x^3/6-F x^3/6+Fa (x^2/2)(C_1-F a^2/2)x+F(a^3/6)+C_2$

$\\velký EIy=M x^2/2+Q x^3/6-F (x-a)^3/6+C_1 x+C_2……[8]$

Dalším zkoumáním rovnic [4], [7] a [8] můžeme dojít k závěru, že metoda jednotné integrace pro získání sklonu a výchylky bude stále použitelná za předpokladu, že termín F (xa) je integrován s ohledem na (xa) a ne x. Termín W (xa) je použitelný pouze pro (x> a) nebo když je (xa) kladné. Tak se tyto termíny nazývají Macaulayovy podmínky. Macaulayovy podmínky by měly být integrovány s ohledem na sebe a musí být zanedbávány, pokud jsou negativní.

Takto se zobecněná rovnice pro celý paprsek stane,

$M=EI \\frac{d^2 y}{dx^2}=M+Qx-F(xa)$

Macaulayova metoda Příklad 1: Sklon a průhyb v jednoduše podporovaném nosníku pro rovnoměrně rozložené zatížení

Zvažte jednoduše podepřený nosník s rovnoměrně rozloženým zatížením po celém rozpětí. Nechte váhu působit na vzdálenost a od konce A a W2 působící ve vzdálenosti b od konce A.

obrázek 6 — Jednoduše podporovaný paprsek s rovnoměrně rozloženým zatížením po celém rozpětí

Rovnice ohybového momentu pro výše uvedený paprsek může být dána vztahem

$EI\\frac{d^2 y}{dx^2}=R_A xw(x^2/2)- W_1 (xa)-W_2 (xb)$

UDL aplikovaný na celý paprsek nevyžaduje žádné speciální zacházení spojené s Macaulayovými závorkami nebo Macaulayovými podmínkami. Mějte na paměti, že podmínky Macaulay jsou integrovány s ohledem na sebe. U výše uvedeného případu (xa), pokud vyjde záporně, je nutné jej ignorovat. Nahrazením koncových podmínek se konvenčním způsobem získají hodnoty integračních konstant, a tudíž požadovaná hodnota sklonů a průhybů.

V tomto případě UDL začíná v bodě B, rovnice ohybového momentu se upraví a rovnoměrně rozložený termín zatížení se stane Macaulayovými závorkami.

Rovnice ohybového momentu pro výše uvedený případ je uvedena níže

$EI \\frac{d^2 y}{dx^2}=R_A xw[(xa)^2/2]- W_1 [(xa)]-W_2 [(xb)]$

Integraci dostaneme,

$EI\\frac{dy}{dx}=R_A(x^2/2)-w[(x-a)^3/6]-W_1 [(x-a)^2/2]-W_2 [(x-b)^2/2]+A$

$EIy=R_A(x^3/6)-w[(x-a)^4/24]-W_1 [(x-a)^3/6]-W_2 [(x-b)^3/6]+Ax+B$

Macaulayova metoda příklad 2: Sklon a průhyb v převislém paprsku

Níže je uveden převislý paprsek na obr. (A), musíme vypočítat

Viz také Polohovač ventilů: Co to je, funguje, typ, nutnost a často kladené otázky

(1) ekvⁿ pro pružnou křivku.

(2) střední hodnoty mezi podpěrami a v bodě E (uveďte, zda jsou všechny nahoru nebo dolů).

Ke stanovení ohybového momentu pro výše uvedený nosník se použije ekvivalentní zatížení, které je uvedeno níže jako obrázek (b). Abychom mohli použít Macaulayovu konzolu v rovnicích ohybového momentu, musíme rozšířit každé rozložené zatížení na pravý konec paprsku. Rozšiřujeme zatížení 800 N/m do bodu E a eliminujeme nepotřebnou část aplikací stejných a opačných zatížení na CE. Globální výraz pro ohybový moment reprezentovaný diagramem volného těla na obrázku (c).

Dosazením M do diferenciální rovnice pro pružnou křivku,

$EI\\frac{d^2 y}{dx^2}=1000x-400(x-1)^2+400(x-4)^2+2600(x-6)$

Integrace to,

$EI\\frac{dy}{dx}=500x^2-400 (x-1)^3/3+400 (x-4)^3/3+1300(x-6)^2+P$

Znovu to integrujeme,

$EIy=500x^3/3 -100 (x-1)^4/3+100 (x-4)^4/3+1300 (x-6)^3/3+Px+Q….[a]$

V bodě A je průhyb omezen kvůli jednoduché podpoře v A. Tudíž v x = 0, y = 0,

$EI*0=500*0^3/3-100 (0-1)^4/3+100 (0-4)^4/3+1300 (0-6)^3/3+P*0+Q\\\\\\\\Q=-85100$

Opět platí, že v bodě D je průhyb omezen kvůli jednoduché podpoře v D. v x = 6 m, y = 0,

$EI*0=500*6^3/3-100 *(6-1)^4/3+100 *(6-4)^4/3+1300*(6-6)^3/3+P*6-85100\\\\\\\\0=500*6^3/3-100 *(5)^4/3+100*(2)^4/3+0+P*6-85100\\\\\\\\P= -69400$

Když dosadíme hodnoty pro P a Q na Eq. (a), dostaneme

$EIy=500 x^3/3-100 (x-1)^4/3+100(x-4)^4/3 +1300 (x-6)^3/3-69400x-85100….[b]$

Toto je zobecněná rovnice pro nalezení průhybu v celém rozpětí převislého paprsku.

Chcete-li zjistit průhyb ve vzdálenosti 3 m od levého konce A, dosaďte hodnotu x = 3 v rovnici. b),

Takto získaná rovnice elastické křivky je dána vztahem,

$EIy=500*3^3/3 -100*(3-1)^4/3+100*(3-4)^4/3+1300*(3-6)^3/3-69400*3-85100$

$My\\; mít\\; na\\; Poznámka\\; že\\; (3-4)^4=0 \\;a \\;(3-6)^3=0$

$EIy=-289333.33 \\;N.m^3$

Záporné znaménko hodnoty znamená, že vychýlení paprsku je v této oblasti směrem dolů.
Nyní nacházíme průhyb v krajní části paprsku, tj. V bodě E.
Vložte x = 8 m do rovnice. [b]

$EIy=500*8^3/3-100*(8-1)^4/3+100*(8-4)^4/3+1300*(8-6)^3/3-69400*8-85100$

$EIy=-699800 \\;N.m^3$

Záporné znaménko opět znamená vychýlení směrem dolů.

Metoda momentové oblasti

Aby bylo možné určit sklon nebo průhyb paprsku v určitém místě, považuje se metoda momentové plochy za nejúčinnější.

V této metodě momentové oblasti se integrace ohybového momentu provádí nepřímo, s využitím geometrických vlastností oblasti pod diagramem ohybového momentu předpokládáme, že deformace paprsku je pod elastickým rozsahem, což vede k malým sklonům a malým posunům.

Metoda První teorém oblasti momentu se zabývá svahy; druhá věta Metoda Moment Area se zabývá výchylkami. Tyto dvě věty tvoří základy metody Moment Area Area.

Momentová oblast Teorém

Věta o oblasti prvního okamžiku

Zvažte segment paprsku, který je zpočátku rovný. Elastická křivka AB pro uvažovaný segment je znázorněna na obr. (A). Uvažujme dva průřezy paprsku v P a Q a otočme je o úhel dϴ vůči sobě navzájem také oddělené vzdáleností dx.

Předpokládejme, že průřezy zůstávají kolmé k ose nosníku.

dϴ = rozdíl ve sklonu křivky P a Q, jak je znázorněno na obr. (a).

Z dané geometrie vidíme, že dx = R dϴ, kde R je poloměr zakřivení pružné křivky deformovaného prvku. Proto dϴ = dx / R, které při použití vztahu moment-zakřivení.

$\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI} \\;se stává\\;d\\theta=\\frac{M}{EI}dx \\;\\;……… …..[A]$

Integrace rovnice (a) přes výnosy segmentu AB

$\\int_{B}^{A}d\\theta=\\int_{B}^{A}\\frac{M}{EI}dx\\;\\;……………..[b ]$

obrázek 14 — (a) Elastická křivka nosníku (b) BMD pro segment.

Levá strana ekv. (b) je změna sklonu mezi A a B. Pravá strana představuje oblast pod diagramem M / EI mezi A a B, která je na obr. (b) zobrazena jako stínovaná oblast. Pokud zavedeme správnou notaci, rovnice. b) lze vyjádřit ve formě

Viz také Izentropický proces: 5 důležitých faktorů s ním souvisejících

$\\theta_{B/A}=Oblast\\;ohybu \\;Moment\\; Diagram \\;pro\\;sekci\\;A-B$

Toto je první věta o metodě momentové oblasti. Metoda První teorém oblasti momentu se zabývá svahy

Věta o oblasti druhého momentu

Nechť t (B / A) je svislá vzdálenost bodu B od tečny k elastické křivce v A. Tato vzdálenost se nazývá tangenciální odchylka B vzhledem k A. Pro výpočet tangenciální odchylky nejprve určíme příspěvek dt nekonečně malého prvku PQ.

Potom použijeme integraci pro A do B dt = t (B / A) k přidání všech prvků mezi A a B. Jak je znázorněno na obrázku, dt je svislá vzdálenost v B mezi tečnami nakreslenými na pružnou křivku v P a Otázka: Připomínáme, že svahy jsou velmi malé, získáváme z geometrie,

$dt=x'd\\theta$

Kde x 'je vodorovná vzdálenost prvku od B. Proto je tangenciální odchylka

$t_{B/A}=\\int_{B}^{A}dt=\\int_{B}^{A}x' d\\theta$

obrázek 16 — (a) Pružná křivka nosníku. (b) BMD pro segment.

Uvedením hodnoty dϴ v rovnici [a] dostaneme,

$t_{B/A}=\\int_{B}^{A}\\frac{M}{EI}x'dx\\;\\;………………..[c]$

Pravá strana ekv. (c) představuje první okamžik zastíněné oblasti diagramu M / (EI) na obr. (b) kolem bodu B. Označením vzdálenosti mezi B a těžištěm C této oblasti můžeme napsat Eq. (c) jako

$t_{B/A}= Oblast \\;z \\;M/EI \\;diagramu\\; pro\\; sekce\\; A-B* \\bar{x}_B$

$t_{B/A}= Vzdálenost \\;of\\; Centrum\\; z\\; gravitace \\;of\\; B.M.D$

$\\bar{x}_B \\; je\\; \\;Vzdálenost \\;z\\; těžiště \\;těžiště \\;z \\;M/EI \\;od \\;bodu \\;pod\\; úvaha\\; (B).$

Toto je druhá věta o metodě momentové oblasti. Druhá věta Metoda Moment Area se zabývá výchylkami.

Ohybový moment po částech

Pro studium Komplexních aplikací lze vyhodnocení úhlu ϴ (B/A) a tangenciální odchylky zjednodušit nezávislým vyhodnocením účinku každého zatížení působícího na nosník. Oddělený Diagram ohybového momentu se kreslí pro každé zatížení a sklon se získá algebraickým součtem oblastí pod různými BMD. Podobně se průhyb získá přidáním oblasti prvního momentu kolem svislé osy bodem B. Diagram ohybového momentu je vykreslen po částech. Když je ohybový moment nakreslen po částech, různé oblasti definované BMD se skládají z tvarů, jako je plocha pod křivkami 2. stupně, krychlové křivky, obdélníky, trojúhelníky a parabolické křivky atd.

Kroky k nakreslení ohybových momentů podle dílů

Poskytněte vhodnou pevnou podporu na požadovaném místě. Jednoduché podpory jsou obvykle považovány za nejlepší volbu; v závislosti na situaci se však používá jiný typ podpory.
Vypočítejte reakce podpory a předpokládejte, že se použijí zatížení.
Pro každé zatížení nakreslete diagram ohybového momentu. Při kreslení diagramu ohybového momentu dodržujte správné konvence znaménka.
Sklon se získá algebraickým součtem ploch pod různými BMD.
průhyb se získá přidáním oblasti prvního momentu kolem svislé osy bodem B.

Použití metody Moment Area na převislém nosníku s rovnoměrně rozloženým zatížením pro nalezení sklon a průhyb

Zvažte jednoduše podporovaný převislý paprsek s rovnoměrně rozloženým zatížením z A do B a C do D, jak je uvedeno níže [. Najděte sklon a průhyb pomocí metody Moment Area Area.]

převislý paprsek s rovnoměrně rozloženým zatížením pomocí metody Moment Area

Z diagramu volného těla paprsku určíme reakce a poté nakreslíme diagramy smykových a ohybových momentů, protože ohybová tuhost paprsku je konstantní, k výpočtu (M / EI) diagramu musíme rozdělit každou hodnotu M od EI.

$R_B + R_D = 2 * 3 * 200$

$R_B + R_D = 1200$

$Také\\;\\součet M_B=0$

$(200*3*1.5)+(R_D*10)=200*3*11.5$

$R_D = 600 N$

$Tedy \\;R_B=600 N$

Kreslení smykové síly a diagramu ohybového momentu pro daný paprsek

Pro referenční tečnu: protože Nosník je symetrický spolu s jeho zatížením vzhledem k bodu C. Tečna v C bude fungovat jako referenční tečna. Z výše uvedeného diagramu

Viz také Typy bezkomutátorových motorů: S jejich aplikacemi

$výše\\;\\theta_c=0$

Takže tangens v E může být dána,

$\\theta_E=\\theta_c+\\theta_{E/C}=\\theta_{E/C} …………..[1]$

Macaulay 2 — Okruhový diagram momentu s výpočty

Sklon na E: podle M / EI diagramu a použitím metody First Moment area, jak je popsáno výše, dostaneme,

$A_1= \\frac{-(wa^2)}{2EI}*(L/2)$

$A_1=\\frac{-(200*3^2)}{2*20.18*10^3}*5$

$A_1 = -0.2230$

Podobně pro A2

$A_2=(1/3)* \\frac{-(wa^2)}{2EI}*a$

$A_2=(1/3)*\\frac{-(200*3^2)}{2*20.18*10^3}*3$

$A_2 = -0.0446$

Z rovnice [1] dostaneme,

$\\theta_E=A_1+A_2$

$\\theta_E=-0.2230-0.0446=-0.2676$

Průhyb v bodě E lze vypočítat pomocí metody oblasti druhého momentu

$t_ {D / C} = A_1 * [L / 4]$

$t_ {D / C} = (- 0.2230) * [10/4]$

$t_ {D / C} = - 0.5575$

Podobně,

$t_{E/C}=A_1*(a+L/4)+A_2 *(3a/4)$

$t_{E/C}=(-0.2230)*(3+10/4)+(-0.0446)*(3*3/4)$

$t_ {E / C} = - 1.326$

Ale my to víme

$y_E=t_{E/C}-t_{D/C}\\\\y_E=-1.326-(-0.5575)\\\\y_E=-0.7685 m$

Maximální průhyb v důsledku nesymetrického zatížení

Když jednoduše podepřený nosník nese nesymetrické zatížení, k maximálnímu průhybu nedojde ve středu nosníku a je nutné identifikovat K-bod nosníku, kde je tečna vodorovná, aby bylo možné vyhodnotit maximální průhyb nosníku.

Začneme hledáním referenčních tečen na jedné z podpěr nosníku. Nechat .A být sklon tečny na podpoře A.
Vypočítejte tangenciální odchylku t podpory B vzhledem k A.
Vydělte získané množství rozpětím L mezi podpěrami A a B.
Od svahu .K= 0, musíme dostat,

$\\theta_{K/A}= \\theta_K-\\theta_A=-\\theta_A$

Pomocí první věty o momentové oblasti můžeme jednoznačně předpovědět, že bod K lze najít měřením oblasti A

$Oblast\\;A=\\theta_{K/A}=-\\theta_A\\;pod M/EI\\;Diagram$

Pozorováním jsme dospěli k závěru, že maximální výchylka y (max) = tangenciální odchylka t podpory A vzhledem k K (obr. A) a můžeme určit y (max) výpočtem plochy prvního momentu mezi podporou A a bodem K s vzhledem ke svislé ose.

Otázka a odpověď Macaulayovy metody a metody momentové oblasti

Otázka 1) Která metoda je užitečná k určení sklonu a výchylky v bodě na nosníku?

Odpověď: Macaulayova metoda je pro tento případ velmi účinná.

Otázka 2) Co uvádí metoda oblasti druhého okamžiku?

Odpověď: Metoda Oblast druhého momentu uvádí, že „moment diagramu ohybového momentu BMD mezi libovolnými dvěma body na elastické přímce dělený ohybovou tuhostí (EI) se rovná průsečíku pořízenému na svislé referenční přímce tečny v těchto bodech o referenční čáře. “

Q.3) Vypočítejte průhyb paprsku, pokud je sklon 0.00835 radiánů. Vzdálenost od volného konce k těžišti ohybového momentu je 5 m?

Odpověď: Průhyb v kterémkoli bodě pružné křivky se rovná Mx / EI.

Ale víme, že M / EI je sklonová rovnice = 0.00835 rad.

Průhyb = sklon × (Vzdálenost od volného konce k těžišti ohybového momentu

Průhyb = 0.00835 * 5 = 0.04175 m = 41.75 mm.

Chcete-li vědět o pevnosti materiálu (klikněte zde)a diagram ohybového momentu Klikněte zde .

Hakimuddin Bawangaonwala

Jsem Hakimuddin Bawangaonwala, strojní inženýr s odbornými znalostmi v oblasti mechanického návrhu a vývoje. Dokončil jsem M. Tech v konstrukčním inženýrství a mám 2.5 roku zkušeností s výzkumem. Dosud byly publikovány dva výzkumné články o tvrdém soustružení a analýze konečných prvků u zařízení pro tepelné zpracování. Mou oblastí zájmu je konstrukce strojů, pevnost materiálu, přenos tepla, tepelné inženýrství atd. Zběhlý v CATIA a ANSYS softwaru pro CAD a CAE. Kromě výzkumu.

Macaulayova metoda a metoda momentové oblasti: 11 důležitých faktů