Locus v 2D souřadnicové geometrii
Locus je latinské slovo. Je odvozen od slova „místo“ nebo „místo“. Množné číslo lokusu je Loci.
Definice Locus:
V geometrii je „Locus“ sada bodů, které splňují jednu nebo více specifikovaných podmínek postavy nebo tvaru. V moderní matematice se umístění nebo dráha, po které se bod pohybuje v rovině splňující dané geometrické podmínky, nazývá lokus bodu.
Lokalizace je definována pro úsečku, úsečku a pravidelné nebo nepravidelné zakřivené tvary, kromě tvarů, které mají v Geometrii vrchol nebo úhly. https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system
Příklady Locusu:
čáry, kruhy, elipsa, parabola, hyperbola atd. všechny tyto geometrické tvary jsou definovány lokusem bodů.
Rovnice Locusu:
Algebraická forma geometrických vlastností nebo podmínek, které jsou splněny souřadnicemi všech bodů v Locusu, je známá jako rovnice místa těchto bodů.
Způsob získání rovnice Locusu:
Chcete-li najít rovnici místa pohybujícího se bodu v rovině, postupujte podle níže popsaného postupu
(i) Nejprve předpokládejme souřadnice pohybujícího se bodu v rovině (h, k).
(ii) Zadruhé, odvodit algebraickou rovnici s h a k z daných geometrických podmínek nebo vlastností.
(iii) Zatřetí, ve výše uvedené rovnici nahraďte h a k za x a y. Nyní se tato rovnice nazývá rovnice lokusu pohybujícího se bodu v rovině. (x, y) jsou aktuální souřadnice pohybujícího se bodu a rovnice místa musí být vždy odvozena ve formě xay, tj. aktuální souřadnice.
Zde je několik příkladů, které objasňují koncepci lokusu.
4 + různé typy řešených problémů na Locusu:
1 problém: If P být libovolný bod v rovině XY, který je ve stejné vzdálenosti od dvou daných bodů A (3,2) a B (2, -1) ve stejné rovině pak najděte lokus a rovnici lokusu bodu P pomocí grafu.
Řešení:
Předpokládejme, že souřadnice libovolného bodu v místě P na rovině XY jsou (h,k).
Protože P je ve stejné vzdálenosti od A a B, můžeme psát
Vzdálenost P od A = Vzdálenost P od B
Nebo |PA|=|PB|
Nebo (h2 -6h + 9 + k2 -4k + 4) = (h2 -4h + 4 + k2 + 2k + 1) ——– přičemž náměstí na obě strany.
Nebo h2 -6h + 13 + k2 -4k -h2+ 4h-5-k2 -2k = 0
Nebo -2h -6k + 8 = 0
Nebo h + 3k -4 = 0
Nebo h + 3k = 4 ——– (1)
Toto je rovnice prvního stupně h a k.
Nyní, když jsou h a k nahrazeny xay, pak se rovnice (1) stane rovnicí prvního stupně xay ve tvaru x + 3y = 4, což představuje přímku.
Proto je lokus bodu P (h, k) na rovině XY přímka a rovnice lokusu je x + 3y = 4. (Odpověď)
2 problém: Pokud bod R se pohybuje v rovině XY tak, že RA: RB = 3: 2 kde jsou souřadnice bodů A a B jsou (-5,3) a (2,4) ve stejné rovině, pak najděte místo bodu R.
Jaký typ křivky označuje rovnice lokusu R?
Řešení: Předpokládejme, že souřadnice libovolného bodu v místě daného bodu R na rovině XY být (m, n).
Asper daný stav RA: RB = 3: 2,
my máme,
(Vzdálenost R od A) / (Vzdálenost R od B) = 3/2
Nebo, (m2 + 10 m + 34 + n2 -6n) / (m2 -4m + n2 -8n + 20) = 9/4 ———– přičemž čtverce na obě strany.
Nebo 4 (m2 + 10 m + 34 + n2 -6n) = 9 (m2 -4m + n2 -8n + 20)
Nebo 4 m2 + 40m + 136 + 4n2 -24n = 9 m2 -36m + 9n2 -72n + 180)
Nebo 4 m2 + 40m + 136 + 4n2 -24n - 9m2 + 36 m-9 n2 + 72 n-180 = 0
Nebo -5 m2 + 76 m-5 n2+ 48 n-44 = 0
Nebo 5 (m2+n2) -76m + 48n + 44 = 0 ———- (1)
Toto je rovnice druhého stupně m a n.
Nyní, když jsou m a n nahrazeny x a y, se rovnice (1) stane rovnicí druhého stupně x a y ve formě 5 (x2+y2) -76x + 48y + 44 = 0, kde jsou koeficienty x2 a y2 jsou stejné a koeficient xy je nula. Tato rovnice představuje kruh.
Proto je lokus bodu R (m, n) na rovině XY kruh a rovnice lokusu je
5 (x.)2+y2) -76x + 48y + 44 = 0 (Odpověď)
3 problém: Pro všechny hodnoty (θ,aCosθ,bSinθ) jsou souřadnicemi bod P, který se pohybuje v rovině XY. Najděte rovnici lokusu P.
Řešení: nechť (h, k) jsou souřadnice libovolného bodu ležícího na místě P v rovině XY.
Pak položte otázku, můžeme říci
h = a CosXNUMX
Nebo h/a = Cosθ —————(1)
A k = b Sinθ
Nebo k/b = Sinθ —————(2)
Nyní vezmeme druhou mocninu obou rovnic (1) a (2) a poté přidáme, máme rovnici
h2/a2 +k2/b2 = Cos2θ + Sin2θ
Nebo h2/a2 +k2/b2 = 1 (Od Cos2θ + Sin2θ = 1 v trigonometrii)
Rovnice lokusu bodu P je tedy x2/a2 + a2/b2 = 1. (Odpověď)
Problém 4: Najděte rovnici lokusu bodu Q pohybujícího se v rovině XY, pokud jsou souřadnice Q
kde u je parametr proměnné.
Řešení: Nechte souřadnice libovolného bodu na místě daného bodu Q při pohybu v rovině XY být (h, k).
Pak h = a k =
tj. h (3u + 2) = 7u-2 ak (u-1) = 4u + 5
tj. (3h-7) u = -2h-2 a (k-4) u = 5 + k
tj. u = ————— (1)
a u = ————— (2)
Nyní rovnice rovnic (1) a (2), dostaneme,
Nebo, (-2h-2) (k-4) = (3h-7) (5 + k)
Or, -2hk+8h-2k+8 = 15h+3hk-35-7k
Or, -2hk+8h-2k-15h-3hk+7k = -35-8
Nebo -5hk-7h + 5k = -43
Nebo 5hk + 7h-5k = 43
Proto je rovnice lokusu Q 5xy + 7x-5y = 43.
Další příklady Locusu s vlastními odpověďmi na cvičení:
Problémy 5: Jestliže θ je proměnná a u je konstanta, pak najděte rovnici místa průsečíku dvou přímek x Cosθ + y Sinθ = u a x Sinθ- y Cosθ = u. (Odpověď x2+y2 = 2u2 )
Problémy 6: Najděte rovnici místa středu úsečky přímky x Sinθ + y Cosθ = t mezi osami. (Odpověď 1 / x2+ 1 /y2 = 4 / t2 )
Problémy 7: Pokud se bod P pohybuje takovým způsobem v rovině XY, že oblast trojúhelníku vytvořená bodem se dvěma body (2, -1) a (3,4). (Odpověď 5x-y = 11)
Základní příklady vzorců „Těžiště trojúhelníku“ v 2D souřadnicové geometrii
Těžiště: Tři mediány trojúhelníku se vždy protínají v bodě, který se nachází ve vnitřní oblasti trojúhelníku, a dělí medián v poměru 2: 1 od jakéhokoli vrcholu ke středu opačné strany. Tento bod se nazývá těžiště trojúhelníku.
Úkoly 1: Najděte těžiště trojúhelníku s vrcholy (-1,0), (0,4) a (5,0).
Řešení: Už víme,
If Sekera1,y1) B (x2,y2) a C (x3,y3) být vrcholy trojúhelníku a G (x, y) být těžištěm trojúhelníku, pak souřadnice G jsou
a
Pomocí tohoto vzorce máme,
(x1,y1) ≌ (-1,0) tj x1= -1, y1=0;
(x2,y2) ≌ (0,4) tj x2= 0, y2= 4 a
(x3,y3) ≌ (5,0) tj x3= 5, y3=0
Takže souřadnice x těžiště G,
tj.
tj. x=4/3
a
souřadnice y těžiště G,
tj
tj. y=4/3
Proto jsou souřadnice těžiště daného trojúhelníku . (Odpověď)
Další zodpovězené problémy jsou uvedeny níže pro další procvičování pomocí postupu popsaného ve výše uvedené úloze 1: -
Problémy 2: Najděte souřadnice těžiště trojúhelníku s vrcholy v bodech (-3, -1), (-1,3)) a (1,1).
Ans. (-1,1)
Problémy 3: Jaká je souřadnice x těžiště trojúhelníku s vrcholy (5,2), (10,4) a (6, -1)?
Ans. 7
Problémy 4: Tři vrcholy trojúhelníku jsou (5,9), (2,15) a (11,12). Najděte těžiště tohoto trojúhelníku.
Ans. (6,12)
Přesunutí původu / Překlad os - 2D souřadnicová geometrie
Posunutí počátku znamená posunutí počátku do nového bodu při zachování orientace os beze změny, tj. Nové osy zůstávají rovnoběžné s původními osami ve stejné rovině. Tímto překladem os nebo procesem posunutí počátku se zjednoduší a snadno vyřeší mnoho problémů na algebraické rovnici geometrického tvaru.
Vzorec „Posunutí počátku“ nebo „Posun os“ je popsán níže s grafickým znázorněním.
Vzorec:
Pokud O je počátek, P (x, y) je libovolný bod v rovině XY a O se posune do jiného bodu O '(a, b), proti kterému se stanou souřadnice bodu P (x1,y1) ve stejné rovině s novými osami X1Y1 , Pak jsou nové souřadnice P
x1 = x-a
y1 = y- b
Grafické znázornění pro vysvětlení: Postupujte podle grafů
Málo vyřešených Problémy se vzorcem „Posunutí původu“:
Problém 1: Pokud jsou ve stejné rovině dva body (3,1) a (5,4) a počátek je posunut do bodu (3,1), přičemž nové osy jsou rovnoběžné s původními osami, najděte souřadnice bod (5,4) vzhledem k novému počátku a osám.
Řešení: Ve srovnání s výše popsaným vzorcem „Posunutí původu“ máme nový počátek, O ′ (a, b) ≌ (3,1) tj. A = 3, b = 1 a požadovaný bod P, (x, y) ≌ (5,4) tj. X = 5, y = 4
Nyní pokud (x1,y1) být nové souřadnice bodu P (5,4), pak asper vzorec x1 = xa a y1 = yb,
dostaneme, x1 = 5-3 a y1 = 4-1
tj. x1 = 2 a y1 =3
Proto jsou požadované nové souřadnice bodu (5,4) (2,3). (Odpověď)
Problém 2: Po posunutí Počátku do bodu ve stejné rovině, přičemž zůstanou osy navzájem rovnoběžné, se souřadnice bodu (5, -4) stanou (4, -5). Najděte souřadnice nového Počátku.
Řešení: Zde pomocí vzorce „Posunutí počátku“ nebo „Překlad os“ můžeme říci, že souřadnice bodu P vzhledem ke starému a novému počátku a osám jsou (x, y) ≌ (5, -4) tj. x = 5, y = -4 a (x1,y1) ≌ (4, -5) tj x1= 4, r1= -5
Nyní musíme najít souřadnice nového Počátku O '(a, b) tj. a = ?, b =?
Asperův vzorec,
x1 = x- a
y1 = y- b
tj. a= xx1 a b= yy1
Nebo, a=5-4 a b= -4 - (- 5)
Nebo, a=1 a b= -4 + 5
Nebo, a=1 a b= 1
Proto O '(1,1) je nový počátek, tj. Souřadnice nového počátku jsou (1,1). (Odpověď)
Základní příklady vzorců „Kollinearita bodů (tři body)“ v 2D souřadnicové geometrii
Problémy 1: Zkontrolujte, zda jsou body (1,0), (0,0) a (-1,0) kolineární nebo ne.
Řešení: Už víme,
If Sekera1,y1) B (x2,y2) a C (x3,y3) být libovolné tři kolineární body, pak plocha jimi vytvořeného trojúhelníku musí být nulová, tj oblast trojúhelníku je ½ [x1 (y2- y3) + x2 (y3- y1) + x3 (y1-y2)] =0
Pomocí tohoto vzorce máme,
(x1,y1) ≌ (-1,0) tj x1= -1, y1= 0;
(x2,y2) ≌ (0,0) tj x2= 0, y2= 0;
(x3,y3) ≌ (1,0) tj x3= 1, y3= 0
Takže plocha trojúhelníku je = | ½ [x1 (y2- y3) + x2 (y3- y1) + x3 (y1-y2)] | tj.
(LHS) = | ½ [-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)] |
= | ½ [(- 1) x0 + 0x0 + 1 × 0] |
= | ½ [0 + 0 + 0] |
= | ½ x 0 |
= 0 (RHS)
Proto se oblast trojúhelníku vytvořená těmito danými body stane nulovou, což znamená, že leží na stejné linii.
Dané body jsou tedy kolineární body. (Odpověď)
Další zodpovězené problémy jsou uvedeny níže pro další procvičování pomocí postupu popsaného výše problém 1: -
Problémy 2: Zkontrolujte, zda jsou body (-1, -1), (0,0) a (1,1) kolineární nebo ne.
Ans. Ano
Problémy 3: Je možné nakreslit jednu čáru třemi body (-3,2), (5, -3) a (2,2)?
Ans.Ne
Problémy 4: Zkontrolujte, zda body (1,2), (3,2) a (-5,2) spojené čarami mohou tvořit trojúhelník v rovině souřadnic.
Ans. Ne
______________________________
Základní příklady vzorců „Incenter of a Triangle“ v 2D souřadnicové geometrii
Centrum:Je středem největšího trojúhelníku trojúhelníku, který se vejde do trojúhelníku, a je také průsečíkem tří půlen vnitřních úhlů trojúhelníku.
Problémy 1: Vrcholy trojúhelníku se stranami jsou (-2,0), (0,5) a (6,0). Najděte stimulátor trojúhelníku.
Řešení: Už víme,
If Sekera1,y1) B (x2,y2) a C (x3,y3) být vrcholy, BC = a, CA = ba AB = c, G ′ (x, y) být podnětem trojúhelníku,
Souřadnice G' jsou
a
Asper vzorec máme,
(x1,y1) ≌ (-4,0) tj x1= -4, y1=0;
(x2,y2) ≌ (0,3) tj x2= 0, y2= 3;
(x3,y3) ≌ (0,0) tj x3= 0, y3=0
Teď máme
a = √ [(x2-x1)2+ (r2-y1)2 ]
Nebo a = √ [(0 + 4)2+ (3-0)2 ]
Nebo a = √ [(4)2+ (3)2 ]
Nebo a = √ (16 + 9)
Nebo a = √25
Nebo, a = 5 —————— (1)
b = √ [(x1-x3)2+ (r1-y3)2 ]
Nebo b = √ [(-4-0)2+ (0-0)2 ]
Nebo b = √ [(-4)2+ (0)2 ]
Nebo b = √ (16 + 0)
Nebo b = √16
Nebo, b = 4 ——————– (2)
c = √ [(x3-x2)2+ (r3-y2)2 ]
Nebo c = √ [(0-0)2+ (0-3)2 ]
Nebo c = √ [(0)2+ (- 3)2 ]
Nebo, c = √ (0 + 9)
Nebo c = √9
Nebo, c = 3 ——————– (3)
ax1+ bx2 +cx3 = (5 X (-4)) + (4 X 0) + (3 X 6)
= -20 + 0 + 18
Nebo, ax1+ bx2 +cx3 = -2 ——————- (4)
ay1+ by2+ cy3 = (5 x 0) + (4 x 3) + (3 x 0)
= 0 + 12 + 0
Nebo, ay1+ od2+ cy3 = 12 ——————– (5)
a + b + c = 5 + 4 + 3
Nebo, a + b + c = 12 —————— (6)
Pomocí výše uvedených rovnic (1), (2), (3), (4), (5) a (6) můžeme vypočítat hodnotu x a y od
Nebo x = -2/12
Nebo x = -1/6
a
Nebo y = 12/12
Nebo y = 1
Proto jsou požadované souřadnice stimulátoru daného trojúhelníku (-1/6, 1). (Odpověď)
Další zodpovězené problémy jsou uvedeny níže pro další procvičování pomocí postupu popsaného ve výše uvedené úloze 1: -
Problémy 2: Najděte souřadnice stimulátoru trojúhelníku s vrcholy v bodech (-3, -1), (-1,3)) a (1,1).
Problémy 3: Jaká je souřadnice x motivu trojúhelníku s vrcholy (0,2), (0,0) a (0, -1)?
Problémy 4: Tři vrcholy trojúhelníku jsou (1,1), (2,2) a (3,3). Najděte motiv tohoto trojúhelníku.
Ahoj… já jsem Nasrina Parvin. Vystudoval jsem matematiku a mám 10 let zkušeností s prací na indickém ministerstvu komunikačních a informačních technologií. Ve volném čase rád učím a řeším matematické úlohy. Od dětství je matematika jediný předmět, který mě fascinoval nejvíc.