2D geometrie souřadnic: 11 důležitých faktů

Locus v 2D souřadnicové geometrii

Locus je latinské slovo. Je odvozen od slova „místo“ nebo „místo“. Množné číslo lokusu je Loci.

Definice Locus:

V geometrii je „Locus“ sada bodů, které splňují jednu nebo více specifikovaných podmínek postavy nebo tvaru. V moderní matematice se umístění nebo dráha, po které se bod pohybuje v rovině splňující dané geometrické podmínky, nazývá lokus bodu.

Lokalizace je definována pro úsečku, úsečku a pravidelné nebo nepravidelné zakřivené tvary, kromě tvarů, které mají v Geometrii vrchol nebo úhly. https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

Příklady Locusu:

čáry, kruhy, elipsa, parabola, hyperbola atd. všechny tyto geometrické tvary jsou definovány lokusem bodů.

Rovnice Locusu:

Algebraická forma geometrických vlastností nebo podmínek, které jsou splněny souřadnicemi všech bodů v Locusu, je známá jako rovnice místa těchto bodů.

Způsob získání rovnice Locusu:

Chcete-li najít rovnici místa pohybujícího se bodu v rovině, postupujte podle níže popsaného postupu

(i) Nejprve předpokládejme souřadnice pohybujícího se bodu v rovině (h, k).

(ii) Zadruhé, odvodit algebraickou rovnici s h a k z daných geometrických podmínek nebo vlastností.

(iii) Zatřetí, ve výše uvedené rovnici nahraďte h a k za x a y. Nyní se tato rovnice nazývá rovnice lokusu pohybujícího se bodu v rovině. (x, y) jsou aktuální souřadnice pohybujícího se bodu a rovnice místa musí být vždy odvozena ve formě xay, tj. aktuální souřadnice.

Zde je několik příkladů, které objasňují koncepci lokusu.

4 + různé typy řešených problémů na Locusu:

1 problém: If P být libovolný bod v rovině XY, který je ve stejné vzdálenosti od dvou daných bodů A (3,2) a B (2, -1) ve stejné rovině pak najděte lokus a rovnici lokusu bodu P pomocí grafu.

Řešení: 

Místo
Grafické znázornění

Předpokládejme, že souřadnice libovolného bodu v místě P na rovině XY jsou (h,k).

Protože P je ve stejné vzdálenosti od A a B, můžeme psát

Vzdálenost P od A = Vzdálenost P od B

Nebo |PA|=|PB|

Lagrida latexový editor 51
Lagrida latexový editor 46

Nebo (h2 -6h + 9 + k2 -4k + 4) = (h2 -4h + 4 + k2 + 2k + 1) ——– přičemž náměstí na obě strany.

Nebo h2 -6h + 13 + k2 -4k -h2+ 4h-5-k2 -2k = 0

Nebo -2h -6k + 8 = 0

Nebo h + 3k -4 = 0

Nebo h + 3k = 4 ——– (1)

Toto je rovnice prvního stupně h a k.

Nyní, když jsou h a k nahrazeny xay, pak se rovnice (1) stane rovnicí prvního stupně xay ve tvaru x + 3y = 4, což představuje přímku.

Proto je lokus bodu P (h, k) na rovině XY přímka a rovnice lokusu je x + 3y = 4. (Odpověď)


2 problém: Pokud bod R se pohybuje v rovině XY tak, že RA: RB = 3: 2 kde jsou souřadnice bodů A a B jsou (-5,3) a (2,4) ve stejné rovině, pak najděte místo bodu R.

Jaký typ křivky označuje rovnice lokusu R?

Řešení: Předpokládejme, že souřadnice libovolného bodu v místě daného bodu R na rovině XY být (m, n).

Asper daný stav RA: RB = 3: 2,

my máme,

(Vzdálenost R od A) / (Vzdálenost R od B) = 3/2

Lagrida latexový editor 47

Nebo, (m2 + 10 m + 34 + n2 -6n) / (m2 -4m + n2 -8n + 20) = 9/4 ———– přičemž čtverce na obě strany.

Nebo 4 (m2 + 10 m + 34 + n2 -6n) = 9 (m2 -4m + n2 -8n + 20)

Nebo 4 m2 + 40m + 136 + 4n2 -24n = 9 m2 -36m + 9n2 -72n + 180)

Nebo 4 m2 + 40m + 136 + 4n2 -24n - 9m2 + 36 m-9 n2 + 72 n-180 = 0

Nebo -5 m2 + 76 m-5 n2+ 48 n-44 = 0

Nebo 5 (m2+n2) -76m + 48n + 44 = 0 ———- (1)

Toto je rovnice druhého stupně m a n.

Nyní, když jsou m a n nahrazeny x a y, se rovnice (1) stane rovnicí druhého stupně x a y ve formě 5 (x2+y2) -76x + 48y + 44 = 0, kde jsou koeficienty x2 a y2 jsou stejné a koeficient xy je nula. Tato rovnice představuje kruh.

Proto je lokus bodu R (m, n) na rovině XY kruh a rovnice lokusu je

5 (x.)2+y2) -76x + 48y + 44 = 0 (Odpověď)


3 problém: Pro všechny hodnoty (θ,aCosθ,bSinθ) jsou souřadnicemi bod P, který se pohybuje v rovině XY. Najděte rovnici lokusu P.

Řešení: nechť (h, k) jsou souřadnice libovolného bodu ležícího na místě P v rovině XY.

Pak položte otázku, můžeme říci

h = a CosXNUMX

Nebo h/a = Cosθ —————(1)

A k = b Sinθ

Nebo k/b = Sinθ —————(2)

Nyní vezmeme druhou mocninu obou rovnic (1) a (2) a poté přidáme, máme rovnici

h2/a2 +k2/b2 = Cos2θ + Sin2θ

Nebo h2/a2 +k2/b2 = 1 (Od Cos2θ + Sin2θ = 1 v trigonometrii)

Rovnice lokusu bodu P je tedy x2/a2 + a2/b2 = 1. (Odpověď)


Problém 4: Najděte rovnici lokusu bodu Q pohybujícího se v rovině XY, pokud jsou souřadnice Q

Lagrida latexový editor 1 1

kde u je parametr proměnné.

Řešení: Nechte souřadnice libovolného bodu na místě daného bodu Q při pohybu v rovině XY být (h, k).

Pak h = Lagrida latexový editor 3a k = Lagrida latexový editor 2

tj. h (3u + 2) = 7u-2 ak (u-1) = 4u + 5

tj. (3h-7) u = -2h-2 a (k-4) u = 5 + k

tj. u =Lagrida latexový editor 4 ————— (1)

a u = Lagrida latexový editor 5 ————— (2)

Nyní rovnice rovnic (1) a (2), dostaneme, Lagrida latexový editor 6

Nebo, (-2h-2) (k-4) = (3h-7) (5 + k)

Or, -2hk+8h-2k+8 = 15h+3hk-35-7k

Or, -2hk+8h-2k-15h-3hk+7k = -35-8

Nebo -5hk-7h + 5k = -43

Nebo 5hk + 7h-5k = 43

Proto je rovnice lokusu Q 5xy + 7x-5y = 43.


Další příklady Locusu s vlastními odpověďmi na cvičení:

Problémy 5: Jestliže θ je proměnná a u je konstanta, pak najděte rovnici místa průsečíku dvou přímek x Cosθ + y Sinθ = u a x Sinθ- y Cosθ = u. (Odpověď x2+y2 = 2u2 )

Problémy 6: Najděte rovnici místa středu úsečky přímky x Sinθ + y Cosθ = t mezi osami. (Odpověď 1 / x2+ 1 /y2 = 4 / t2 )

Problémy 7: Pokud se bod P pohybuje takovým způsobem v rovině XY, že oblast trojúhelníku vytvořená bodem se dvěma body (2, -1) a (3,4). (Odpověď 5x-y = 11)


Základní příklady vzorců „Těžiště trojúhelníku“  v 2D souřadnicové geometrii

Těžiště: Tři mediány trojúhelníku se vždy protínají v bodě, který se nachází ve vnitřní oblasti trojúhelníku, a dělí medián v poměru 2: 1 od jakéhokoli vrcholu ke středu opačné strany. Tento bod se nazývá těžiště trojúhelníku.   

Úkoly 1: Najděte těžiště trojúhelníku s vrcholy (-1,0), (0,4) a (5,0).

Řešení:  Už víme,

                                             If  Sekera1,y1) B (x2,y2) a C (x3,y3) být vrcholy trojúhelníku a G (x, y) být těžištěm trojúhelníku, pak souřadnice G jsou

Lagrida latexový editor 7

a

Lagrida latexový editor 8 1

Pomocí tohoto vzorce máme, 

(x1,y1) ≌ (-1,0) tj x1= -1, y1=0;

(x2,y2) ≌ (0,4) tj   x2= 0, y2= 4 a

(x3,y3) ≌ (5,0) tj   x3= 5, y3=0

(Viz tabulka vzorců)

Screenshot 17
Grafické znázornění

Takže souřadnice x těžiště G,   Lagrida latexový editor 9

tj. Lagrida latexový editor 10

tj. x=4/3

                   a  

souřadnice y těžiště G,  Lagrida latexový editor 11

tj Lagrida latexový editor 12

tj. y=4/3

Proto jsou souřadnice těžiště daného trojúhelníku Lagrida latexový editor 13 . (Odpověď)

Další zodpovězené problémy jsou uvedeny níže pro další procvičování pomocí postupu popsaného ve výše uvedené úloze 1: -

Problémy 2: Najděte souřadnice těžiště trojúhelníku s vrcholy v bodech (-3, -1), (-1,3)) a (1,1).

Ans. (-1,1)

Problémy 3: Jaká je souřadnice x těžiště trojúhelníku s vrcholy (5,2), (10,4) a (6, -1)?

Ans.

Problémy 4: Tři vrcholy trojúhelníku jsou (5,9), (2,15) a (11,12). Najděte těžiště tohoto trojúhelníku.

Ans. (6,12)


Přesunutí původu / Překlad os - 2D souřadnicová geometrie

Posunutí počátku znamená posunutí počátku do nového bodu při zachování orientace os beze změny, tj. Nové osy zůstávají rovnoběžné s původními osami ve stejné rovině. Tímto překladem os nebo procesem posunutí počátku se zjednoduší a snadno vyřeší mnoho problémů na algebraické rovnici geometrického tvaru.

Vzorec „Posunutí počátku“ nebo „Posun os“ je popsán níže s grafickým znázorněním.

Vzorec:

Pokud O je počátek, P (x, y) je libovolný bod v rovině XY a O se posune do jiného bodu O '(a, b), proti kterému se stanou souřadnice bodu P (x1,y1) ve stejné rovině s novými osami X1Y1  , Pak jsou nové souřadnice P

x1 = x-a

y1 = y- b

Grafické znázornění pro vysvětlení: Postupujte podle grafů

Screenshot 45
Screenshot 46

Málo vyřešených Problémy se vzorcem „Posunutí původu“:

Problém 1: Pokud jsou ve stejné rovině dva body (3,1) a (5,4) a počátek je posunut do bodu (3,1), přičemž nové osy jsou rovnoběžné s původními osami, najděte souřadnice bod (5,4) vzhledem k novému počátku a osám.

Řešení: Ve srovnání s výše popsaným vzorcem „Posunutí původu“ máme nový počátek, O ′ (a, b) ≌ (3,1) tj. A = 3, b = 1 a požadovaný bod P, (x, y) ≌ (5,4) tj. X = 5, y = 4

Screenshot 52

Nyní pokud (x1,y1) být nové souřadnice bodu P (5,4), pak asper vzorec x1 = xa a y1 = yb,

dostaneme, x1 = 5-3 a y1 = 4-1

tj. x1 = 2 a y1 =3

Proto jsou požadované nové souřadnice bodu (5,4) (2,3). (Odpověď)

Problém 2: Po posunutí Počátku do bodu ve stejné rovině, přičemž zůstanou osy navzájem rovnoběžné, se souřadnice bodu (5, -4) stanou (4, -5). Najděte souřadnice nového Počátku.

Řešení: Zde pomocí vzorce „Posunutí počátku“ nebo „Překlad os“ můžeme říci, že souřadnice bodu P vzhledem ke starému a novému počátku a osám jsou (x, y) ≌ (5, -4) tj. x = 5, y = -4 a (x1,y1) ≌ (4, -5) tj  x1= 4, r1= -5

Screenshot 50

Nyní musíme najít souřadnice nového Počátku O '(a, b) tj. a = ?, b =?

Asperův vzorec,

x1 = x- a

y1 = y- b

tj. a= xx1 a b= yy1

Nebo, a=5-4 a b= -4 - (- 5)

Nebo, a=1 a b= -4 + 5

Nebo, a=1 a b= 1

Proto O '(1,1) je nový počátek, tj. Souřadnice nového počátku jsou (1,1). (Odpověď)

Základní příklady vzorců „Kollinearita bodů (tři body)“ v 2D souřadnicové geometrii

Problémy 1:  Zkontrolujte, zda jsou body (1,0), (0,0) a (-1,0) kolineární nebo ne.

Řešení:  Už víme,

                                            If  Sekera1,y1) B (x2,y2) a C (x3,y3) být libovolné tři kolineární body, pak plocha jimi vytvořeného trojúhelníku musí být nulová, tj oblast trojúhelníku je ½ [x1 (y2- y3) + x2 (y3- y1) + x3 (y1-y2)] =0

(Viz tabulka vzorců)

Pomocí tohoto vzorce máme,

(x1,y1) ≌ (-1,0) tj   x1= -1, y1= 0;

(x2,y2) ≌ (0,0) tj   x2= 0, y2= 0;

(x3,y3) ≌ (1,0) tj    x3= 1, y3= 0

Screenshot 14
Grafické znázornění

Takže plocha trojúhelníku je = | ½ [x1 (y2-  y3) + x2 (y3-  y1) + x3 (y1-y2)] | tj.

(LHS) = | ½ [-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)] |

= | ½ [(- 1) x0 + 0x0 + 1 × 0] |

= | ½ [0 + 0 + 0] |

= | ½ x 0 |

= 0 (RHS)

Proto se oblast trojúhelníku vytvořená těmito danými body stane nulovou, což znamená, že leží na stejné linii.

Dané body jsou tedy kolineární body. (Odpověď)

Další zodpovězené problémy jsou uvedeny níže pro další procvičování pomocí postupu popsaného výše problém 1: -

Problémy 2: Zkontrolujte, zda jsou body (-1, -1), (0,0) a (1,1) kolineární nebo ne.

Ans. Ano

Problémy 3: Je možné nakreslit jednu čáru třemi body (-3,2), (5, -3) a (2,2)?

Ans.Ne

Problémy 4: Zkontrolujte, zda body (1,2), (3,2) a (-5,2) spojené čarami mohou tvořit trojúhelník v rovině souřadnic.

Ans. Ne

______________________________

Základní příklady vzorců „Incenter of a Triangle“ v 2D souřadnicové geometrii

Centrum:Je středem největšího trojúhelníku trojúhelníku, který se vejde do trojúhelníku, a je také průsečíkem tří půlen vnitřních úhlů trojúhelníku.

Problémy 1: Vrcholy trojúhelníku se stranami jsou (-2,0), (0,5) a (6,0). Najděte stimulátor trojúhelníku.

Řešení: Už víme,

If  Sekera1,y1) B (x2,y2) a C (x3,y3) být vrcholy, BC = a, CA = ba AB = c, G ′ (x, y) být podnětem trojúhelníku,

Souřadnice G' jsou

Lagrida latexový editor 14 1

a          

Lagrida latexový editor 15 1

(Viz tabulka vzorců)

Screenshot 56

Asper vzorec máme,

(x1,y1) ≌ (-4,0) tj  x1= -4, y1=0;

(x2,y2) ≌ (0,3) tj  x2= 0, y2= 3;

(x3,y3) ≌ (0,0) tj   x3= 0, y3=0

Teď máme

a = √ [(x2-x1)2+ (r2-y1)2 ]

Nebo a = √ [(0 + 4)2+ (3-0)2 ]

Nebo a = √ [(4)2+ (3)2 ]

Nebo a = √ (16 + 9)

Nebo a = √25

Nebo, a = 5 —————— (1)

b = √ [(x1-x3)2+ (r1-y3)2 ]

Nebo b = √ [(-4-0)2+ (0-0)2 ]

Nebo b = √ [(-4)2+ (0)2 ]

Nebo b = √ (16 + 0)

Nebo b = √16

Nebo, b = 4 ——————– (2)

c = √ [(x3-x2)2+ (r3-y2)2 ]

Nebo c = √ [(0-0)2+ (0-3)2 ]

Nebo c = √ [(0)2+ (- 3)2 ]

Nebo, c = √ (0 + 9)

Nebo c = √9

Nebo, c = 3 ——————– (3)

ax1+ bx2 +cx3 = (5 X (-4)) + (4 X 0) + (3 X 6)

= -20 + 0 + 18

Nebo, ax1+ bx2 +cx3 = -2 ——————- (4)

ay1+ by2+ cy3 = (5 x 0) + (4 x 3) + (3 x 0)

= 0 + 12 + 0

Nebo, ay1+ od2+ cy3 = 12 ——————– (5)

a + b + c = 5 + 4 + 3

Nebo, a + b + c = 12 —————— (6)

Pomocí výše uvedených rovnic (1), (2), (3), (4), (5) a (6) můžeme vypočítat hodnotu x a y od

Lagrida latexový editor 16 1

Nebo x = -2/12

Nebo x = -1/6

a

Lagrida latexový editor 17 1

Nebo y = 12/12

Nebo y = 1

Proto jsou požadované souřadnice stimulátoru daného trojúhelníku (-1/6, 1). (Odpověď)

Další zodpovězené problémy jsou uvedeny níže pro další procvičování pomocí postupu popsaného ve výše uvedené úloze 1: -

Problémy 2: Najděte souřadnice stimulátoru trojúhelníku s vrcholy v bodech (-3, -1), (-1,3)) a (1,1).

Problémy 3: Jaká je souřadnice x motivu trojúhelníku s vrcholy (0,2), (0,0) a (0, -1)?

Problémy 4: Tři vrcholy trojúhelníku jsou (1,1), (2,2) a (3,3). Najděte motiv tohoto trojúhelníku.