Obsah
- Společně distribuované náhodné proměnné
- Společná distribuční funkce Společná funkce rozdělení kumulativní pravděpodobnosti společná pravděpodobnostní hmotnostní funkce | funkce hustoty pravděpodobnosti kloubu
- Příklady společné distribuce
- Nezávislé náhodné proměnné a společné rozdělení
- Příklad nezávislé společné distribuce
- SUMS NEZÁVISLÝCH NÁHODNÝCH PREMENNÝCH PODLE SPOLEČNÉ DISTRIBUCE
- součet nezávislých exponenciálních náhodných proměnných
- součet nezávislých náhodných proměnných gama
- součet nezávislých exponenciálních náhodných proměnných
- Součet nezávislé normální náhodné proměnné | součet nezávislého normálního rozdělení
- Součty nezávislých Poissonových náhodných proměnných
- Součty nezávislých binomických náhodných proměnných
Společně distribuované náhodné proměnné
Společně distribuované náhodné proměnné jsou náhodnou proměnnou více než jednou s pravděpodobností společně distribuovanou pro tyto náhodné proměnné, jinými slovy v experimentech, kde je odlišný výsledek s jejich společnou pravděpodobností známý jako společně distribuovaná náhodná proměnná nebo společné distribuce, takový typ situace nastává často při řešení problémů šancí.
Společná distribuční funkce Společná funkce rozdělení kumulativní pravděpodobnosti společná pravděpodobnostní hmotnostní funkce | funkce hustoty pravděpodobnosti kloubu
Pro náhodné proměnné X a Y je distribuční funkce nebo funkce společné kumulativní distribuce
kde povaha společné pravděpodobnosti závisí na povaze náhodných proměnných X a Y buď diskrétních nebo spojitých, a jednotlivé distribuční funkce pro X a Y lze získat pomocí této společné kumulativní distribuční funkce jako
podobně pro Y jako
tyto jednotlivé distribuční funkce X a Y jsou známé jako marginální distribuční funkce, když se uvažuje o společném rozdělení. Tyto distribuce jsou velmi užitečné pro získání pravděpodobností
a navíc společná pravděpodobnostní hmotnostní funkce pro náhodné proměnné X a Y je definována jako
jednotlivé funkce hmotnosti nebo hustoty pravděpodobnosti pro X a Y lze získat pomocí takové společné pravděpodobnostní funkce hmotnosti nebo hustoty jako diskrétní náhodné proměnné as
a pokud jde o spojitá náhodná veličina společná funkce hustoty pravděpodobnosti bude
kde C je jakákoli dvourozměrná rovina a funkce společné distribuce pro spojitou náhodnou proměnnou bude
funkci hustoty pravděpodobnosti z této distribuční funkce lze získat diferenciací
a mezní pravděpodobnost ze společné funkce hustoty pravděpodobnosti
as
a
vzhledem k náhodným proměnným X, respektive Y.
Příklady společné distribuce
- Společné pravděpodobnosti pro náhodné proměnné X a Y představující počet knih matematiky a statistiky ze sady knih, která obsahuje 3 knihy matematiky, 4 statistiky a 5 knih fyziky, pokud jsou 3 knihy náhodně odebrány
- Najděte kloub pravděpodobnostní hmotnostní funkce pro vzorek rodin, které mají 15 % bezdětné, 20 % 1 dítě, 35 % 2 dítě a 30 % 3 dítě, pokud rodinu náhodně vybereme z tohoto vzorku jako dítě chlapec nebo dívka?
Společnou pravděpodobnost zjistíme pomocí definice jako
a to můžeme ilustrovat v tabulkové formě následovně
- Vypočítejte pravděpodobnosti
jestliže pro náhodné proměnné X a Y je funkce hustoty společné pravděpodobnosti dána vztahem
pomocí definice společné pravděpodobnosti pro spojitou náhodnou veličinu
a danou funkcí hustoty kloubu bude první pravděpodobnost pro daný rozsah
podobným způsobem pravděpodobnost
a nakonec
- Najděte funkci hustoty kloubu pro kvocient X / Y náhodných proměnných X a Y, pokud je jejich funkce hustoty pravděpodobnosti kloubu
Abychom našli funkci hustoty pravděpodobnosti pro funkci X / Y, nejdříve najdeme funkci distribuce kloubů, pak budeme diferencovat získaný výsledek,
takže podle definice funkce společného rozdělení a dané funkce hustoty pravděpodobnosti máme
tedy diferenciací této distribuční funkce vzhledem k a získáme funkci hustoty jako
kde a je v rozmezí nula až nekonečno.
Nezávislé náhodné proměnné a společné rozdělení
v společná distribuce pravděpodobnost dvou náhodných proměnných X a Y se říká nezávislá, pokud
kde A a B jsou skutečné množiny. Jako již z hlediska událostí víme, že nezávislé náhodné proměnné jsou náhodné proměnné, jejichž události jsou nezávislé.
Tedy pro jakékoli hodnoty a a b
a funkce společného rozdělení nebo kumulativního rozdělení pro nezávislé náhodné proměnné X a Y bude
vezmeme-li v úvahu diskrétní náhodné proměnné X a Y
od
podobně i pro spojitou náhodnou proměnnou
Příklad nezávislé společné distribuce
- Pokud jsou pro konkrétní den v nemocnici zadaní pacienti rozděleni poissonově s parametrem λ a pravděpodobnost mužského pacienta jako p a pravděpodobnost ženského pacienta jako (1-p), pak ukazují, že počet mužských pacientů a pacientek zadaných do nemocnice jsou nezávislé poissonovo náhodné proměnné s parametry λp a λ (1-p)?
poté zvažte počet pacientů mužského a ženského pohlaví náhodnou proměnnou X a Y.
jako X + Y je celkový počet pacientů zadaných do nemocnice, který je poissonově distribuován tak
protože pravděpodobnost mužského pacienta je p a ženského pacienta je (1-p), tak přesně z celkového počtu oprav jsou muži nebo ženy ukazuje binomickou pravděpodobnost jako
pomocí těchto dvou hodnot dostaneme výše uvedenou společnou pravděpodobnost jako
pravděpodobnost tedy bude u mužů a žen
a
což ukazuje, že obě jsou jedovaté náhodné proměnné s parametry λp a λ (1-p).
2. zjistěte pravděpodobnost, že osoba musí na schůzce s klientem čekat déle než deset minut, jako by každý klient a tato osoba dorazili mezi 12 a 1 hodinou po jednotném rozdělení.
zvažte náhodné proměnné X a Y k označení času pro tuto osobu a klienta mezi 12: 1, takže pravděpodobnost společně pro X a Y bude
vypočítat
kde X, Y a Z jsou uniformní náhodné veličiny v intervalu (0,1).
zde bude pravděpodobnost
pro rovnoměrné rozdělení hustotní funkce
pro daný rozsah ano
SUMS NEZÁVISLÝCH NÁHODNÝCH PREMENNÝCH PODLE SPOLEČNÉ DISTRIBUCE
Součet nezávislých proměnných X a Y s hustotou pravděpodobnosti funguje jako spojité náhodné proměnné, kumulativní distribuční funkce bude
diferenciací této kumulativní distribuční funkce pro funkci hustoty pravděpodobnosti těchto nezávislých součtů jsou
sledováním těchto dvou výsledků uvidíme některé spojité náhodné proměnné a jejich součet jako nezávislé proměnné
součet nezávislých jednotných náhodných proměnných
pro náhodné proměnné X a Y rovnoměrně rozložené v intervalu (0,1) je funkce hustoty pravděpodobnosti pro obě tyto nezávislé proměnné
takže pro součet X + Y máme
pro jakoukoli hodnotu leží mezi nulou a jednou
pokud omezíme mezi jedním a dvěma, bude
to dává funkci hustoty trojúhelníkového tvaru
pokud zobecníme pro n nezávislé uniformní náhodné proměnné 1 až n, pak jejich distribuční funkci
matematickou indukcí bude
součet nezávislých náhodných proměnných gama
Pokud máme dvě nezávislé gama náhodné proměnné s jejich obvyklou hustotní funkcí
poté sleduje hustotu pro součet nezávislých gama náhodných proměnných
toto ukazuje funkci hustoty pro součet náhodných proměnných gama, které jsou nezávislé
součet nezávislých exponenciálních náhodných proměnných
Podobným způsobem jako gama náhodná proměnná, součet nezávislých exponenciálních náhodných proměnných, můžeme získat funkci hustoty a distribuční funkci pouhým konkrétním přiřazením hodnot gama náhodných proměnných.
Součet nezávislé normální náhodné proměnné | součet nezávislého normálního rozdělení
Pokud máme n počet nezávislých normálních náhodných veličin Xi , i=1,2,3,4….n s příslušnými průměry μi a rozptyly σ2i pak jejich součet je také normální náhodná veličina s průměrem jako Σμi a rozptyly Σσ2i
Nejprve ukážeme normálně distribuovaný nezávislý součet pro dvě normální náhodné proměnné X s parametry 0 a σ2 a Y s parametry 0 a 1, najdeme funkci hustoty pravděpodobnosti pro součet X + Y s
ve funkci společné distribuční hustoty
pomocí definice funkce hustoty normálního rozdělení
funkce hustoty tedy bude
což není nic jiného než funkce hustoty a normální distribuce s průměrem 0 a rozptylem (1+σ2) po stejném argumentu, který můžeme říci
s obvyklým průměrem a odchylkami. Vezmeme-li expanzi a pozorujeme, že součet je normálně distribuován se střední hodnotou jako součet příslušných průměrů a rozptylem jako součtem příslušných odchylek,
tedy stejným způsobem bude n-tý součet normálně distribuovaná náhodná proměnná se střední hodnotou Σμi a odchylky Σσ2i
Součty nezávislých Poissonových náhodných proměnných
Pokud máme dvě nezávislé Poissonovo náhodné proměnné X a Y s parametry λ1 a λ2 pak jejich součet X + Y je také Poissonova náhodná proměnná nebo Poissonovo rozdělení
protože X a Y jsou Poissonovy distribuované a můžeme jejich součet zapsat jako spojení disjunktních událostí
pomocí pravděpodobnosti nezávislých náhodných proměnných
dostaneme součet X + Y je také Poissonovo rozdělení se střední hodnotou λ1 + λ2
Součty nezávislých binomických náhodných proměnných
Pokud máme dvě nezávislé binomické náhodné proměnné X a Y s parametry (n, p) a (m, p), pak jejich součet X + Y je také binomická náhodná proměnná nebo binomická distribuovaná s parametrem (n + m, p)
pojďme použít pravděpodobnost součtu s definicí binomické jako
což dává
takže součet X + Y je také binomicky distribuován s parametrem (n + m, p).
Závěr:
Je diskutován koncept společně distribuovaných náhodných proměnných, který dává distribuci srovnatelně pro více než jednu proměnnou v situaci, dále základní koncept nezávislé náhodné proměnné pomocí společného rozdělení a součet nezávislých proměnných s nějakým příkladem rozdělení je uveden s jejich parametry, pokud budete potřebovat další čtení, projděte si uvedené knihy. Další příspěvek k matematice prosím klikněte zde.
První kurz pravděpodobnosti od Sheldona Rosse
Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky
Úvod do pravděpodobnosti a statistik od ROHATGI a SALEH
Jsem DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Dokončil jsem Ph.D. v matematice a pracuje jako odborný asistent v matematice. Má 12 let praxe v pedagogické činnosti. Mít rozsáhlé znalosti v čisté matematice, přesně v algebře. Mít obrovskou schopnost navrhovat a řešit problémy. Schopný motivovat kandidáty ke zvýšení jejich výkonu.
Rád přispívám do Lambdageeks, aby byla matematika jednoduchá, zajímavá a samovysvětlující pro začátečníky i odborníky.