Společně distribuované náhodné proměnné: 11 důležitých faktů

Obsah

Společně distribuované náhodné proměnné

     Společně distribuované náhodné proměnné jsou náhodnou proměnnou více než jednou s pravděpodobností společně distribuovanou pro tyto náhodné proměnné, jinými slovy v experimentech, kde je odlišný výsledek s jejich společnou pravděpodobností známý jako společně distribuovaná náhodná proměnná nebo společné distribuce, takový typ situace nastává často při řešení problémů šancí.

Společná distribuční funkce Společná funkce rozdělení kumulativní pravděpodobnosti společná pravděpodobnostní hmotnostní funkce | funkce hustoty pravděpodobnosti kloubu

    Pro náhodné proměnné X a Y je distribuční funkce nebo funkce společné kumulativní distribuce

gif

kde povaha společné pravděpodobnosti závisí na povaze náhodných proměnných X a Y buď diskrétních nebo spojitých, a jednotlivé distribuční funkce pro X a Y lze získat pomocí této společné kumulativní distribuční funkce jako

gif

podobně pro Y jako

gif

tyto jednotlivé distribuční funkce X a Y jsou známé jako marginální distribuční funkce, když se uvažuje o společném rozdělení. Tyto distribuce jsou velmi užitečné pro získání pravděpodobností

a navíc společná pravděpodobnostní hmotnostní funkce pro náhodné proměnné X a Y je definována jako

gif

jednotlivé funkce hmotnosti nebo hustoty pravděpodobnosti pro X a Y lze získat pomocí takové společné pravděpodobnostní funkce hmotnosti nebo hustoty jako diskrétní náhodné proměnné as

gif

a pokud jde o spojitá náhodná veličina společná funkce hustoty pravděpodobnosti bude

gif

kde C je jakákoli dvourozměrná rovina a funkce společné distribuce pro spojitou náhodnou proměnnou bude

obrázek 60

funkci hustoty pravděpodobnosti z této distribuční funkce lze získat diferenciací

gif

a mezní pravděpodobnost ze společné funkce hustoty pravděpodobnosti

gif

as

gif

a

gif

vzhledem k náhodným proměnným X, respektive Y.

Příklady společné distribuce

  1. Společné pravděpodobnosti pro náhodné proměnné X a Y představující počet knih matematiky a statistiky ze sady knih, která obsahuje 3 knihy matematiky, 4 statistiky a 5 knih fyziky, pokud jsou 3 knihy náhodně odebrány
%5Cbinom%7B12%7D%7B3%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B220%7D
  • Najděte kloub pravděpodobnostní hmotnostní funkce pro vzorek rodin, které mají 15 % bezdětné, 20 % 1 dítě, 35 % 2 dítě a 30 % 3 dítě, pokud rodinu náhodně vybereme z tohoto vzorku jako dítě chlapec nebo dívka?

Společnou pravděpodobnost zjistíme pomocí definice jako

Společně distribuované náhodné proměnné
Společně distribuované náhodné proměnné: Příklad

a to můžeme ilustrovat v tabulkové formě následovně

Společně distribuované náhodné proměnné
Společně distribuované náhodné proměnné: Příklad společného rozdělení
  • Vypočítejte pravděpodobnosti
gif

jestliže pro náhodné proměnné X a Y je funkce hustoty společné pravděpodobnosti dána vztahem

gif

pomocí definice společné pravděpodobnosti pro spojitou náhodnou veličinu

gif

a danou funkcí hustoty kloubu bude první pravděpodobnost pro daný rozsah

gif
gif
gif
gif

podobným způsobem pravděpodobnost

gif
gif
gif
gif

a nakonec

gif
gif
gif
  • Najděte funkci hustoty kloubu pro kvocient X / Y náhodných proměnných X a Y, pokud je jejich funkce hustoty pravděpodobnosti kloubu
gif

Abychom našli funkci hustoty pravděpodobnosti pro funkci X / Y, nejdříve najdeme funkci distribuce kloubů, pak budeme diferencovat získaný výsledek,

takže podle definice funkce společného rozdělení a dané funkce hustoty pravděpodobnosti máme

%7BY%7D%28a%29%3DP%20%7B%20%5Cfrac%7BX%7D%7BY%7D%5Cleq%20a%20%7D
gif
gif
gif
gif

tedy diferenciací této distribuční funkce vzhledem k a získáme funkci hustoty jako

gif

kde a je v rozmezí nula až nekonečno.

Nezávislé náhodné proměnné a společné rozdělení

     v společná distribuce pravděpodobnost dvou náhodných proměnných X a Y se říká nezávislá, pokud

gif

kde A a B jsou skutečné množiny. Jako již z hlediska událostí víme, že nezávislé náhodné proměnné jsou náhodné proměnné, jejichž události jsou nezávislé.

Tedy pro jakékoli hodnoty a a b

gif

a funkce společného rozdělení nebo kumulativního rozdělení pro nezávislé náhodné proměnné X a Y bude

gif

vezmeme-li v úvahu diskrétní náhodné proměnné X a Y

gif

od

gif
gif
gif
gif

podobně i pro spojitou náhodnou proměnnou

gif

Příklad nezávislé společné distribuce

  1. Pokud jsou pro konkrétní den v nemocnici zadaní pacienti rozděleni poissonově s parametrem λ a pravděpodobnost mužského pacienta jako p a pravděpodobnost ženského pacienta jako (1-p), pak ukazují, že počet mužských pacientů a pacientek zadaných do nemocnice jsou nezávislé poissonovo náhodné proměnné s parametry λp a λ (1-p)?

poté zvažte počet pacientů mužského a ženského pohlaví náhodnou proměnnou X a Y.

gif
gif

jako X + Y je celkový počet pacientů zadaných do nemocnice, který je poissonově distribuován tak

gif

protože pravděpodobnost mužského pacienta je p a ženského pacienta je (1-p), tak přesně z celkového počtu oprav jsou muži nebo ženy ukazuje binomickou pravděpodobnost jako

gif

pomocí těchto dvou hodnot dostaneme výše uvedenou společnou pravděpodobnost jako

gif
gif
gif

pravděpodobnost tedy bude u mužů a žen

gif
gif

a

gif

což ukazuje, že obě jsou jedovaté náhodné proměnné s parametry λp a λ (1-p).

2. zjistěte pravděpodobnost, že osoba musí na schůzce s klientem čekat déle než deset minut, jako by každý klient a tato osoba dorazili mezi 12 a 1 hodinou po jednotném rozdělení.

zvažte náhodné proměnné X a Y k označení času pro tuto osobu a klienta mezi 12: 1, takže pravděpodobnost společně pro X a Y bude

obrázek 61
gif
gif
gif
gif

vypočítat

gif

kde X, Y a Z jsou uniformní náhodné veličiny v intervalu (0,1).

zde bude pravděpodobnost

gif

pro rovnoměrné rozdělení hustotní funkce

gif

pro daný rozsah ano

gif
gif
gif
gif

SUMS NEZÁVISLÝCH NÁHODNÝCH PREMENNÝCH PODLE SPOLEČNÉ DISTRIBUCE

  Součet nezávislých proměnných X a Y s hustotou pravděpodobnosti funguje jako spojité náhodné proměnné, kumulativní distribuční funkce bude

gif
gif
gif
gif

diferenciací této kumulativní distribuční funkce pro funkci hustoty pravděpodobnosti těchto nezávislých součtů jsou

latex%5Dfty%7D%20F %7BX%7D%20%28a y%29%20f %7BY%7D%28y%29dy
gif
gif

sledováním těchto dvou výsledků uvidíme některé spojité náhodné proměnné a jejich součet jako nezávislé proměnné

součet nezávislých jednotných náhodných proměnných

   pro náhodné proměnné X a Y rovnoměrně rozložené v intervalu (0,1) je funkce hustoty pravděpodobnosti pro obě tyto nezávislé proměnné

gif

takže pro součet X + Y máme

gif

pro jakoukoli hodnotu leží mezi nulou a jednou

gif

pokud omezíme mezi jedním a dvěma, bude

gif

to dává funkci hustoty trojúhelníkového tvaru

gif

pokud zobecníme pro n nezávislé uniformní náhodné proměnné 1 až n, pak jejich distribuční funkci

matematickou indukcí bude

gif

součet nezávislých náhodných proměnných gama

    Pokud máme dvě nezávislé gama náhodné proměnné s jejich obvyklou hustotní funkcí

gif

poté sleduje hustotu pro součet nezávislých gama náhodných proměnných

gif
gif
gif
gif
gif

toto ukazuje funkci hustoty pro součet náhodných proměnných gama, které jsou nezávislé

součet nezávislých exponenciálních náhodných proměnných

    Podobným způsobem jako gama náhodná proměnná, součet nezávislých exponenciálních náhodných proměnných, můžeme získat funkci hustoty a distribuční funkci pouhým konkrétním přiřazením hodnot gama náhodných proměnných.

Součet nezávislé normální náhodné proměnné | součet nezávislého normálního rozdělení

                Pokud máme n počet nezávislých normálních náhodných veličin Xi , i=1,2,3,4….n s příslušnými průměry μi a rozptyly σ2i pak jejich součet je také normální náhodná veličina s průměrem jako Σμi a rozptyly Σσ2i

    Nejprve ukážeme normálně distribuovaný nezávislý součet pro dvě normální náhodné proměnné X s parametry 0 a σ2 a Y s parametry 0 a 1, najdeme funkci hustoty pravděpodobnosti pro součet X + Y s

gif

ve funkci společné distribuční hustoty

gif

pomocí definice funkce hustoty normálního rozdělení

gif
gif

funkce hustoty tedy bude

gif
gif
gif

což není nic jiného než funkce hustoty a normální distribuce s průměrem 0 a rozptylem (1+σ2) po stejném argumentu, který můžeme říci

em%3E%7B2%7D

s obvyklým průměrem a odchylkami. Vezmeme-li expanzi a pozorujeme, že součet je normálně distribuován se střední hodnotou jako součet příslušných průměrů a rozptylem jako součtem příslušných odchylek,

tedy stejným způsobem bude n-tý součet normálně distribuovaná náhodná proměnná se střední hodnotou Σμi  a odchylky Σσ2i

Součty nezávislých Poissonových náhodných proměnných

Pokud máme dvě nezávislé Poissonovo náhodné proměnné X a Y s parametry λ1 a λ2 pak jejich součet X + Y je také Poissonova náhodná proměnná nebo Poissonovo rozdělení

protože X a Y jsou Poissonovy distribuované a můžeme jejich součet zapsat jako spojení disjunktních událostí

gif
gif
em%3E%7B2%7D%5E%7Bn k%7D%7D%7B%28n k%29%21%7D

pomocí pravděpodobnosti nezávislých náhodných proměnných

em%3E%7B2%7D%5E%7Bn k%7D%7D%7Bk%21%28n k%29%21%7D
em%3E%7B2%7D%5E%7Bn k%7D
em%3E%7B2%7D%29%5E%7Bn%7D

dostaneme součet X + Y je také Poissonovo rozdělení se střední hodnotou λ1 + λ2

Součty nezávislých binomických náhodných proměnných

                Pokud máme dvě nezávislé binomické náhodné proměnné X a Y s parametry (n, p) a (m, p), pak jejich součet X + Y je také binomická náhodná proměnná nebo binomická distribuovaná s parametrem (n + m, p)

pojďme použít pravděpodobnost součtu s definicí binomické jako

gif
gif
gif
gif
gif

což dává

gif

takže součet X + Y je také binomicky distribuován s parametrem (n + m, p).

Závěr:

Je diskutován koncept společně distribuovaných náhodných proměnných, který dává distribuci srovnatelně pro více než jednu proměnnou v situaci, dále základní koncept nezávislé náhodné proměnné pomocí společného rozdělení a součet nezávislých proměnných s nějakým příkladem rozdělení je uveden s jejich parametry, pokud budete potřebovat další čtení, projděte si uvedené knihy. Další příspěvek k matematice prosím klikněte zde.

https://en.wikipedia.org

První kurz pravděpodobnosti od Sheldona Rosse

Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky

Úvod do pravděpodobnosti a statistik od ROHATGI a SALEH