Inverzní rozdělení gama: 21 důležitých faktů

Inverzní distribuce gama a funkce generování momentů distribuce gama

      V pokračování distribuce gama uvidíme koncept inverzní distribuce gama a funkce generování momentů, míru střední hodnoty centrálních tendencí, režim a medián distribuce gama sledováním některých základních vlastností distribuce gama.

vlastnosti distribuce gama

Některé důležité vlastnosti gama distribuce jsou zařazeni následovně

Funkce hustoty pravděpodobnosti pro rozdělení gama je

or

kde je funkce gama

2. Kumulativní distribuční funkce pro gama distribuci je

kde f (x) je funkce hustoty pravděpodobnosti, jak je uvedeno výše, zejména cdf je

• Projekt průměr a rozptyl gama distribuce is

a

respektive nebo

E [X] = α * β

a

• Funkce generující moment M (t) pro rozdělení gama je

or

• Křivka pro pdf a cdf je

• Inverzní rozdělení gama lze definovat převrácením funkce hustoty pravděpodobnosti rozdělení gama jako

• Součet nezávislého rozdělení gama je opět rozdělení gama se součtem parametrů.

inverzní rozdělení gama | normální inverzní rozdělení gama

                Pokud v rozdělení gama ve funkci hustoty pravděpodobnosti

or

vezmeme proměnnou reciproční nebo inverzní, pak bude funkce hustoty pravděpodobnosti

Je tedy známo, že náhodná proměnná s touto funkcí hustoty pravděpodobnosti je inverzní gama náhodná proměnná nebo inverzní gama distribuce nebo inverzní gama distribuce.

Výše uvedená funkce hustoty pravděpodobnosti v jakémkoli parametru, kterou můžeme vzít buď ve formě lambda nebo theta, je funkce hustoty pravděpodobnosti, která je převrácená hodnota rozdělení gama, funkcí hustoty pravděpodobnosti inverzního rozdělení gama.

Funkce kumulativní distribuce nebo cdf inverzní distribuce gama

                Kumulativní distribuční funkce pro inverzní gama distribuci je distribuční funkce

ve kterém f (x) je funkce hustoty pravděpodobnosti inverzní distribuce gama jako

Průměr a rozptyl inverzní distribuce gama

  Průměr a rozptyl inverzní distribuce gama podle obvyklé definice očekávání a rozptylu budou

a

Průměr a rozptyl důkazu inverzní gama distribuce

        Získat průměr a rozptyl inverzní distribuce gama pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti

a definice očekávání, nejprve najdeme očekávání pro jakoukoli mocninu x as

ve výše uvedeném integrálu jsme použili funkci hustoty jako

nyní pro hodnotu α větší než jedna an jako jedna

podobně hodnota pro n = 2 je pro alfa větší než 2

použití těchto očekávání nám dá hodnotu rozptylu jako

Graf inverze gama distribuce Graf inverzní distribuce gama

                Inverzní distribuce gama je převrácená hodnota distribuce gama, takže při pozorování distribuce gama je dobré pozorovat povahu křivek inverzní distribuce gama s funkcí hustoty pravděpodobnosti jako

a kumulativní distribuční funkce následováním

Popis: grafy pro funkci hustoty pravděpodobnosti a kumulativní distribuční funkce stanovením hodnoty a jako 1 a změnou hodnoty p.

Popis: grafy pro funkci hustoty pravděpodobnosti a funkci kumulativního rozdělení fixací hodnoty α jako 2 a změnou hodnoty β

Popis: grafy pro funkci hustoty pravděpodobnosti a funkci kumulativního rozdělení stanovením hodnoty α jako 3 a změnou hodnoty β.

Popis: grafy pro funkci hustoty pravděpodobnosti a funkci kumulativního rozdělení stanovením hodnoty β jako 1 a změnou hodnoty α.

Popis: grafy pro funkci hustoty pravděpodobnosti a funkci kumulativního rozdělení stanovením hodnoty β jako 2 a změnou hodnoty α

Popis: grafy pro funkci hustoty pravděpodobnosti a funkci kumulativního rozdělení stanovením hodnoty β jako 3 a změnou hodnoty α.

funkce generování momentů distribuce gama

Než pochopíme koncept funkce generování momentů pro distribuci gama, připomeňme si nějaký koncept funkce generování momentů

Momenty

    Okamžik toho náhodná proměnná je definována pomocí očekávání jako

toto je známé jako r-tý okamžik náhodné veličiny X, je to okamžik o počátku a běžně se nazývá surový moment.

     Vezmeme-li r-tý okamžik náhodné proměnné o průměru μ as

tento moment o průměru je znám jako centrální moment a očekávání bude podle povahy náhodné proměnné jako

v centrálním okamžiku, pokud dáme hodnoty r, dostaneme nějaké počáteční momenty jako

Pokud vezmeme binomickou expanzi v centrálních momentech, můžeme snadno získat vztah mezi centrálními a surovými momenty jako

některé počáteční vztahy jsou následující

Funkce generující moment

   Okamžiky, které můžeme generovat pomocí funkce, která je známá jako funkce generující momenty a je definována jako

tato funkce generuje momenty pomocí rozšíření exponenciální funkce v kterékoli formě

pomocí Taylorova formuláře jako

diferenciace této rozšířené funkce s ohledem na t dává různé momenty jako

jiným způsobem, pokud vezmeme derivaci přímo jako

protože pro oba diskrétní

a nepřetržitě máme

takže pro t = 0 dostaneme

rovněž

as

a obecně

pro funkce generující moment existují dva důležité vztahy

funkce generování momentů distribuce gama mgf distribuce gama | funkce generování momentů pro distribuci gama

Nyní k gama distribuce funkce generující moment M(t) pro pdf

is

a pro pdf

funkce generující moment je

funkce generující moment gama distribučního momentu | mgf gama distribuce důkaz

    Nyní nejprve vezměte podobu funkce hustoty pravděpodobnosti jako

a pomocí definice funkce generování momentů M (t) máme

můžeme najít průměr a rozptyl rozdělení gama pomocí funkce generování momentů jako diferenciační s ohledem na t dvojnásobek této funkce dostaneme

dáme-li t = 0, bude první hodnota

a

Nyní vkládáme hodnotu těchto očekávání

střídavě pro pdf formuláře

funkce generující moment bude

a diferenciace a uvedení t = 0 dá průměr a rozptyl následovně

2. moment distribuce gama

   Druhý moment distribuce gama rozdělením funkce generování momentu dvakrát a vložením hodnoty t = 0 do druhé derivace této funkce získáme

třetí okamžik distribuce gama

                Třetí moment distribuce gama můžeme najít trojnásobnou diferenciací funkce generující moment a zadáním hodnoty t = 0 do třetí derivace mgf, kterou získáme

nebo přímo integrací jako

 sigma pro distribuci gama

   sigma nebo směrodatná odchylka rozdělení gama můžeme najít tak, že vezmeme druhou odmocninu rozptylu rozdělení gama typu

or

pro jakoukoli definovanou hodnotu alfa, beta a lambda.

charakteristická funkce distribuce gama charakteristická funkce distribuce gama

      Pokud je proměnná t ve funkci generující moment čistě imaginární číslo jako t = iω, pak je funkce známá jako charakteristická funkce distribuce gama označená a vyjádřená jako

stejně jako u jakékoli náhodné proměnné bude charakteristická funkce

Pro distribuci gama je tedy charakteristická funkce podle pdf gama distribuce

následující

Existuje i další forma této charakteristiky funkce, pokud

pak

součet rozdělení gama součet exponenciálního rozdělení gama

  Abychom poznali výsledek součtu gama rozdělení, musíme nejprve rozumět součtu nezávislé náhodné veličiny pro spojitá náhodná veličina, k tomu mějme funkce hustoty pravděpodobnosti pro spojitá náhodná veličinas X a Y pak bude kumulativní distribuční funkce pro součet náhodných veličin

diferenciace této konvoluce integrálu pro funkce hustoty pravděpodobnosti X a Y dá funkci hustoty pravděpodobnosti pro součet náhodných proměnných jako

Nyní dokážme, zda X a Y jsou gama náhodné proměnné s příslušnými hustotními funkcemi, pak zde bude součet také gama rozdělení se součtem stejných parametrů

vzhledem k funkci hustoty pravděpodobnosti formy

pro náhodnou proměnnou X vezměte alfa jako s a pro náhodnou proměnnou Y vezměte alfa jako t, takže pomocí hustoty pravděpodobnosti pro součet náhodných proměnných máme

zde C je nezávislý na a, nyní bude hodnota

které představují funkci hustoty pravděpodobnosti součtu X a Y a které mají rozdělení gama, tedy součet rozdělení gama také představuje rozdělení gama příslušným součtem parametrů.

způsob distribuce gama

    Abychom našli způsob rozdělení gama, zvažte funkci hustoty pravděpodobnosti jako

nyní rozlište tento pdf s ohledem na x, dostaneme rozlišení jako

toto bude nula pro x = 0 nebo x = (α -1) / λ

tak jsou pouze tyto kritické body při kterém naše první derivace bude nula, pokud je alfa větší nebo rovno nule, pak x=0 nebude režim, protože to dělá pdf nulu, takže režim bude (α -1)/λ

a pro alfa přísně menší než jedna se derivace snižuje z nekonečna na nulu, protože x se zvyšuje z nuly na nekonečno, takže to není možné, proto je režim distribuce gama

medián distribuce gama

Medián distribuce gama lze zjistit pomocí inverzní distribuce gama jako

or

pokud

což dává

tvar distribuce gama

     Distribuce gama má různý tvar v závislosti na parametru tvaru, když je parametrem tvaru jedna distribuce gama se rovná exponenciální distribuci, ale když měníme parametr tvaru, šikmost křivky distribuce gama klesá s nárůstem parametru tvaru, jinými slovy tvar křivky rozdělení gama se mění podle směrodatné odchylky.

krutost distribuce gama

    šikmost libovolného rozdělení lze pozorovat sledováním funkce hustoty pravděpodobnosti tohoto rozdělení a koeficientu šikmosti

pro distribuci gama, kterou máme

so

to ukazuje, že šikmost závisí na alfa pouze v případě, že alfa zvýší křivku nekonečna bude symetrickější a ostřejší a když alfa klesne na nulu, křivka hustoty distribuce gama pozitivně vychýlí, což lze pozorovat v grafech hustoty.

zobecněná distribuce gama parametr tvaru a měřítka v distribuci gama | tříparametrová gama distribuce | multivariační distribuce gama

kde γ, μ a β jsou parametry tvaru, umístění a měřítka, přiřazením konkrétních hodnot k těmto parametrům můžeme získat rozdělení dvou parametrů gama konkrétně, pokud dáme μ = 0, β = 1, pak získáme standardní rozdělení gama jako

pomocí této 3parametrické funkce hustoty pravděpodobnosti rozdělení gama můžeme najít očekávání a rozptyl podle následující definice.

Závěr:

Koncept reciproční distribuce gama, který je inverzní rozdělení gama ve srovnání s distribucí gama a mírou centrálních tendencí distribuce gama pomocí funkce generování momentů se zaměřil tento článek, pokud potřebujete další čtení, projděte si doporučené knihy a odkazy. Další příspěvek z matematiky naleznete na naší stránce stránka matematiky.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

První kurz pravděpodobnosti od Sheldona Rosse

Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky

Úvod do pravděpodobnosti a statistik od ROHATGI a SALEH

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Jsem DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Dokončil jsem Ph.D. v matematice a pracuje jako odborný asistent v matematice. Má 12 let praxe v pedagogické činnosti. Mít rozsáhlé znalosti v čisté matematice, přesně v algebře. Mít obrovskou schopnost navrhovat a řešit problémy. Schopný motivovat kandidáty ke zvýšení jejich výkonu.
Rád přispívám do Lambdageeks, aby byla matematika jednoduchá, zajímavá a samovysvětlující pro začátečníky i odborníky.