Teorie funkcí: 9 úplných rychlých faktů

ÚVOD

Co je to matematika? Je to výpočet? Je to logické? Jsou to symboly? Obrázky? Grafy? Ukázalo se, že je to všechno a ještě mnohem víc. JE TO ALE JAZYK. Univerzální jazyk, který má své symboly, znaky, výrazy, slovní zásobu, gramatiku, vše, co dělá jazyk, vše dokonale odůvodněné, jedinečné a ve svém smyslu jednoznačné. Je to jazyk, ve kterém jsou psány zákony vesmíru. Proto je to jazyk, který se musíme naučit a prozkoumat, abychom rozluštili tajemství přírody. S touto filozofií musíme zahájit diskusi o jednom z nejkrásnějších a nejzákladnějších matematických témat, FUNKČNÍ TEORIE.

CO JSOU VÝRAZY, ROVNICE A IDENTIFIKAČNÍ ČÍSLA?

Stejně jako všechny dobře definované jazyky přichází i matematika s vlastní sadou symbolů a znaků, číselných a abecedních. Výraz v matematice je kombinací takových symbolů a znaků. To vše bude vysvětleno v tomto teorie funkcí diskuse.

5 + 2 / (9-3)

7a + 2b-3c

2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α – β)

To vše jsou matematické výrazy. Bez ohledu na to, zda je lze vyhodnotit nebo ne, jsou smysluplné a dodržují správnou syntaxi, jsou to výrazy.

Když nyní porovnáme dva výrazy se znaménkem '=', máme něco jako ...

(1+x)² = 1+2x+x²

Což je výrazem pro rovnost dvou výrazů napsaných na obou stranách znaku =. Všimněte si, že tato rovnost platí pro všechny hodnoty x. Tyto druhy rovnocennosti se nazývají IDENTITY.

(1+x)² = 2+3x+2x²………… .. (1)

Nebo jako

(1+x)² = 7-3x+2x²………… (2)

Pak nebudou pravdivé pro všechny hodnoty x, spíše budou pravdivé pro některé hodnoty x jako (2) nebo budou pravdivé pro ŽÁDNÉ hodnoty x, jako (1). Nazývají se ROVNICE.

Abychom to shrnuli, rovnosti, které mají pro všechny hodnoty proměnných, jsou IDENTITY. Rovnosti, které platí pro některé nebo žádné hodnoty proměnných, jsou ROVNICE.

PROČ POTŘEBUJEME KONCEPT FUNKCE?

Není to úžasné, že vesmír je tak dokonale vyvážený? Systém takové enormní velikosti vyrobený z tolika menších systémů, z nichž každý má tolik proměnných, které na sebe vzájemně působí, přesto se chová tak dobře. Nezdá se, že všechno se řídí souborem pravidel, která nejsou vidět, ale existují všude? Vezměte si příklad gravitační síly. Je to nepřímo úměrné vzdálenosti mezi těly a podle tohoto pravidla se řídí všechny záležitosti všude ve vesmíru. Musíme tedy mít způsob, jak vyjádřit taková pravidla, například spojení mezi proměnnými.

Jsme obklopeni takovými proměnnými, které závisí na jiných proměnných. Délka stínu budovy závisí na její výšce a denní době. Vzdálenost ujetá autem závisí na točivém momentu generovaném jeho motorem. Je to koncept teorie funkcí, který nám umožňuje vyjádřit tyto vztahy matematicky.

CO JE TO FUNKCE V MATHU?

Pravidlo funkce nebo FUNKCE jako pravidlo

Jednoduše řečeno, funkce je pravidlo, které váže dvě nebo více proměnných. Pokud je proměnným povoleno přijímat pouze skutečné hodnoty, pak je to jednoduše výraz, který definuje pravidlo nebo sadu pravidel, která každému z určitých reálných čísel přiřadí reálné číslo.

Nyní tato definice jistě vyžaduje určité vysvětlení, které jsou uvedeny v příkladech, jako je

1. Pravidlo, které přiřadí kostku tohoto čísla každému číslu.

f (x) = x³

2. Pravidlo, které přiděluje (x²-x-1)/x³ ke každému x

f(x) = (x²-x-1)/x³

3. Pravidlo, které přiřazuje (x²-x-1)/(x²+ x + 1) na všechna x, která se nerovnají 1 a číslu 0 až 1

f(x) = (x2-x-1)/(x2+x+1) pro x ≠ 1

                                                 = 0 pro x = 1

• f (x) = x²   pro -1 <x <π / 3

• Pravidlo, které přiřazuje

  2 až číslo 5

  3 na číslo 8/3

  π / 2 na číslo 1

  a  ke zbytku

• Pravidlo, které přiřadí číslu x, počet 1 s v jeho desítkové expanzi, pokud je počet konečný, a 0, pokud je v expanzi nekonečně mnoho 1 s.

Tyto příklady by měly jasně objasnit, že funkce je jakékoli pravidlo, které přiřazuje čísla konkrétním jiným číslům. Tato pravidla nemusí být vždy vyjádřitelná algebraickou formulací. Ty nemusí ani poukazovat na jednu jedinečnou podmínku, která platí pro všechna čísla. A nemusí to být pravidlo, které lze najít v praxi nebo v reálném světě, jako je to v pravidle 6. Nikdo nemůže říct, jaké číslo toto pravidlo přiřadí číslu π nebo √2. Pravidlo také nemusí platit pro některá čísla. Například pravidlo 2 neplatí pro x=0. Množina čísel, na kterou se pravidlo vztahuje, se nazývá DOMÉNA funkce.

CO CO ZNAMENÁ y = f (x)?

Všimněte si, že k zápisu funkce používáme výraz y=f(x). Kdykoli začneme výraz 'f(x) = y', znamená to, že se chystáme definovat funkci, která dává do vztahu množinu čísel s množinou hodnot proměnné x.

FUNKCE jako vztah

Jinými slovy, a možná v obecnějším smyslu, je tedy funkce vztahem mezi dvěma množinami A a B, kde všechny prvky v množině A mají přiřazený prvek z množiny B. Prvky z množiny B se nazývají OBRÁZKY a prvky množiny A se nazývají PŘEDOBRÁZKY.

Proces přiřazování prvků se nazývá MAPOVÁNÍ. Samozřejmě může existovat mnoho způsobů, jak lze tato mapování provést, ale neříkali bychom všechny jako funkce. Pouze ta mapování, která se vztahují k prvkům takovým způsobem, že každý prvek v sadě A má právě jeden obraz v sadě B, se nazývají funkce. Někdy se píše jako f: A–> B. Toto se čte jako „f je funkce od A do B“.

Souprava A se nazývá DOMÉNA funkce a množina B se nazývá CO-DOMÉNA funkce. Pokud je f takové, že obrazem jednoho prvku a množiny A je prvek b ze množiny B, napíšeme f (a) = b, čteme jako „f a se rovná b“, nebo „b je hodnota of f at ', or' b is the image of a under f '.

TYPY FUNKCÍ

Funkce lze klasifikovat podle způsobu, jakým se vztahují k těmto dvěma sadám.

Jedna - jedna nebo injekční funkce

Obrázek říká všechno. Je to, když funkce spojuje každý prvek sady s jedinečným prvkem jiné sady, je to funkce jedna k jedné nebo injektivní funkce.

Mnoho - jedna funkce

Obrázek je opět zcela vysvětlující. Je zřejmé, že ke konkrétnímu obrázku existuje více než jeden předobraz. Proto je mapování mnoho k jedné. Všimněte si, že to neporušuje definici funkce, protože žádný prvek ze sady A nemá v sadě B více než jeden obrázek.

Funkce ONTO nebo SURJECTIVE

Když všechny prvky sady B mají alespoň jeden předobraz, pak se funkce nazývá Onto nebo surjective. Mapování může být jedna ku jedné nebo více ku jedné. Ten, který je zobrazen výše, je evidentně mnoho k jednomu na mapování. Všimněte si, že obrázek použitý dříve pro zobrazení mapování jeden na jednoho je také na mapování. Tento druh jednoho na jednoho na mapování je také známý jako CÍL mapování.

Do funkce

Pokud existuje alespoň jeden obrázek bez předobrazu, jedná se o funkci INTO. Funkce může být jedna ku jedné nebo více ku jedné. Ten, který je zobrazen výše, je zjevně jedna ku jedné.

GRAF FUNKCE

Jak již bylo řečeno dříve, že funkce přiřazuje reálná čísla určitým reálným číslům, je docela možné a pohodlné vykreslit dvojici čísel na kartézské rovině XY. Stopa získaná spojením bodů je grafem funkce.

Uvažujme funkci f(x) = x + 3. Pak bychom mohli vyhodnotit f(x) na x=1,2,3 a získat tři páry x a f(x) jako (1,4) , ( 3,6) a (5,8). Vynesení těchto bodů a jejich spojení ukazuje, že funkce sleduje přímku v rovině xy. Tato čára je grafem funkce.

Zjevně se povaha stopy bude lišit podle výrazu pro funkci. Získáme tak řadu grafů pro různé druhy výrazů. Několik jich je uvedeno.

Grafy f(x) = sin x, f(x) = x² a f(x) = e^x zleva doprava

V tomto bodě můžeme vidět, že výraz pro funkci ve skutečnosti vypadá jako výraz rovnice. A je pravda, že například y = x + 3 je skutečně rovnice i definice funkce. To nám přináší otázku, jsou všechny rovnice funkcemi? Pokud ne, tak

Jak zjistit, zda je rovnice funkcí?

Všechny rovnice zobrazené v grafech výše jsou ve skutečnosti funkce, protože pro všechny existuje právě jedna hodnota f(x) nebo y pro nějakou hodnotu x. To znamená, že výraz pro f(x) by měl při vyhodnocení pro jakoukoli hodnotu x poskytnout pouze jednu hodnotu. To platí pro jakoukoli lineární rovnici. Ale pokud vezmeme v úvahu rovnici y² = 1-x², zjistíme, že vždy existují dvě řešení pro všechna x v rozmezí 0 až 1, jinými slovy, ke každé hodnotě x v jejím rozsahu jsou přiřazeny dva obrázky. To porušuje definici funkce, a proto ji nelze nazvat funkcí.

Z grafu by to mělo vypadat jasněji, protože existují přesně dva obrázky každého x, protože svislá čára nakreslená v libovolném bodě na ose x graf ořízne přesně ve dvou bodech.

Tím se dostáváme k jednomu důležitému závěru ne všechny rovnice jsou funkce. A zda je rovnice funkcí, lze ověřit pomocí test svislé čáry, který si jednoduše představuje proměnnou svislou čáru v každém bodě na ose x a vidí, zda splňuje graf v jednom bodě.

To také odpovídá na další důležitou otázku, kterou je, jak zjistit, zda je funkce jedna k jedné? Tato odpověď je jistě také v grafu a lze ji ověřit testem svislé čáry.

Nyní bychom se mohli zeptat, zda existuje způsob, jak totéž říci bez získání grafu, nebo zda by se to dalo říci algebraicky, protože není vždy snadné kreslit grafy funkcí. Odpověď je ano, lze to provést jednoduše testováním f(a)=f(b) implikuje a=b. To znamená, že i když f(x) nabývá stejné hodnoty pro dvě hodnoty x, pak se tyto dvě hodnoty x nemohou lišit. Vezměme si příklad funkce

y = (x-1) / (x-2)

Jak by si člověk všiml, je obtížné vykreslit graf této funkce, protože je nelineární povahy a neodpovídá popisu žádné známé křivky a navíc není definován na x = 2. Tento problém tedy určitě vyžaduje odlišný přístup od testu vertikální čáry.

Takže začneme tím, že to necháme 

f (a) = f (b)

=> (a-1) / (a-2) = (b-1) / (b-2)

=> (a-1) (b-2) = (b-1) (a-2)

=> ab-2a-b + 2 = ab-2b-a + 2

=> 2a + b = 2b + a

=> 2 (ab) = (ab)             

To je možné pouze pro a-b=0 nebo a=b

Funkce je tedy skutečně jedna ku jedné a my jsme to dokázali bez grafů.

Nyní bychom chtěli zjistit, kdy některá funkce v tomto testu selže. Možná budeme chtít otestovat rovnici kruhu, který jsme testovali dříve. Začínáme psaním

f (a) = f (b)

f (x) = x²

=> a²=b²

a² =b²

=> a = b nebo a = -b

Což jednoduše znamená, že existují i ​​jiná řešení než a = b, proto f (x) není funkce.

JE TO TĚŽKÉ PLOTOVAT y = (x-1) / (x-2)?

V následujících článcích se budeme grafům funkce věnovat mnohem podrobněji, ale zde je nutné se seznámit se základy grafů, které nesmírně pomáhají při řešení problémů. Vizuální interpretace problému s kalkulem často problém velmi usnadňuje a znalost grafické funkce je klíčem k dobré vizuální interpretaci.

Takže, pro vykreslení grafu (x-1) / (x-2), začneme provedením několika kritických pozorování, jako např

1. Funkce se stane 0 při x = 1.

2. Funkce se stane nedefinovanou při x = 2.

3. Funkce je kladná všude kromě 1

Protože v tomto intervalu (x-1) je kladné a (x-2) je záporné, je jejich poměr záporný.

4. Protože x jde do -∞, funkce se blíží jednotě ze spodní strany, což znamená, že se blíží 1, ale vždy je menší než 1.

Protože pro x <0, (x-1) / (x-2) = (| x | +1) / (| x | +2) <1 as | x | +2> | x | +1

5. Protože x jde do + ∞, funkce se blíží jednotě z horní strany, což znamená, že se blíží k 1, ale je vždy větší než 1.

6. Protože x jde na 2 z levé strany, funkce jde na -∞.

7. Protože x jde na 2 z pravé strany, funkce jde na + ∞.

8. Funkce se pro x> 2 vždy snižuje.

DŮKAZ:

Vezmeme dvě blízké hodnoty x jako (a, b) tak, že (a, b)> 2 a b> a

nyní f (b) - f (a)

= (b-1) / (b-2) - (a-1) / (a-2)

={(b-1)(a-2)-(a-1)(b-2)}/(a-2)(b-2)

= (ab) / {(a-2) (b-2)}

<0 as (ab) <0 pro b> a

a (a-2) (b-2)> 0 jako (a, b)> 2

To znamená f (b) 2, jinými slovy f (x) striktně klesá pro x> 2

• 9. Funkce se pro x <2 vždy snižuje
• DŮKAZ: stejné jako dříve. Necháme to na vás, abyste to vyzkoušeli.

Kombinace těchto pozorování umožňuje vytváření grafů docela snadno. Kombinací 4,9 a 6 můžeme říci, že jak x přechází z -∞ na 2, stopa začíná od jednoty a klesá postupně, aby se dotkla 0 při x = 1 a klesá dále k -∞ při x = 2. Opět při kombinaci 7,5 a 8 je snadné vidět, že jak x přechází z 2 na + ∞, stopa začíná klesat z + ∞ a stále se přibližuje k jednotě a nikdy se jí opravdu nedotkne.

Celý graf tak vypadá

Nyní je zřejmé, že funkce je skutečně jedna k jedné.

ZÁVĚR

Dosud jsme probírali základy teorie funkcí. Nyní bychom měli mít jasno v definicích a typech funkcí. Měli jsme také malou představu o grafické interpretaci funkcí. Další článek pojednává o mnohem více podrobnostech o pojmech jako rozsah a doména, inverzní funkce, různé funkce a jejich grafy a mnoho vypracovaných problémů. Abyste se dostali hlouběji do studia, doporučujeme vám číst

Kalkul od Michaela Spivaka.

Algebra od Michaela Artina.

Další článek o matematice prosím klikněte zde.