Jak najít sklon grafu: vyčerpávající postřehy a fakta

Pochopení toho, jak najít sklon grafu, je základní dovedností v matematice a fyzice. Sklon grafu představuje rychlost, kterou se závislá proměnná mění vzhledem k nezávislé proměnné. Říká nám, jak strmá nebo mělká je čára nebo křivka. V tomto příspěvku na blogu prozkoumáme různé metody, jak najít sklon grafu, včetně přímých čar a křivek. Pojďme se tedy ponořit!

Jak najít sklon grafu

Identifikace vzestupu a běhu na grafu

Než budeme moci vypočítat sklon grafu, musíme nejprve porozumět konceptům stoupání a běhu. Rise označuje vertikální změnu mezi dvěma body v grafu, zatímco run představuje horizontální změnu. Sklon je pak definován jako poměr stoupání k běhu.

Chcete-li identifikovat vzestup a spustit na grafu, vyberte dva body na čáře nebo křivce. Podívejme se na následující příklad:

Předpokládejme, že máme graf se dvěma body, A(x₁, y₁) a B(x₂, y₂). Vzestup mezi těmito body je dán rozdílem souřadnic y: vzestup = y₂ – y₁. Podobně je běh určen rozdílem v souřadnicích x: běh = x₂ – x₁.

Výpočet sklonu přímkového grafu

Výpočet sklonu přímkového grafu je poměrně jednoduchý. Můžeme použít vzorec:

$text{Sklon} = frac{text{rise}}{text{run}} = frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}$

Pojďme si to ilustrovat na příkladu:

Příklad: Najděte sklon přímky procházející body (-2, 5) a (4, 9).

Řešení: Hodnoty můžeme zapojit do vzorce sklonu:

$text{Sklon} = frac{9 - 5}{4 - (-2)} = frac{4}{6} = frac{2}{3}$

Proto je sklon čáry $ocas{2}{3}$ .

Vypracované příklady na nalezení sklonu přímkového grafu

Pojďme si procvičit nalezení sklonu přímkového grafu na několika dalších příkladech:

Příklad 1: Najděte sklon přímky procházející body (-3, 2) a (1, 8).

Viz také Jak najít graf sklonu polohy a času: vyčerpávající postřehy a fakta

Řešení: Pomocí vzorce sklonu máme:

$text{Sklon} = frac{8 - 2}{1 - (-3)} = frac{6}{4} = frac{3}{2}$

Proto je sklon čáry $ocas{3}{2}$ .

Příklad 2: Najděte sklon přímky procházející body (2, 7) a (2, -3).

Řešení: Zde můžeme pozorovat, že x-ové souřadnice obou bodů jsou stejné. V takových případech je sklon nedefinovaný, protože běh je nulový. Čára je tedy svislá a její sklon není definován.

Nalezení sklonu křivky

Pochopení konceptu sklonu pro zakřivené čáry

Nalezení sklonu křivky vyžaduje mírně odlišný přístup ve srovnání s přímkami. V případě křivky je sklon v libovolném bodě dán tečnou ke křivce v tomto konkrétním bodě. Tečna představuje okamžitou rychlost změny v tomto bodě.

Techniky pro výpočet sklonu křivky

Obrázek by David Eppstein – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, licencováno pod CC0.

Pro výpočet sklonu křivky můžeme použít kalkul a derivovat rovnici křivky vzhledem k nezávislé proměnné. Derivace v jakémkoli daném bodě představuje sklon.

Podívejme se na jednoduchý příklad, který to ilustruje:

Příklad: Najděte sklon křivky reprezentované rovnicí y = x² v bodě (2, 4).

Řešení: Abychom našli sklon v bodě křivky, musíme rovnici derivovat vzhledem k x. V tomto případě derivování y = x² nám dává:

$frac{dy}{dx} = 2x$

Dosazení x = 2 do derivace:

$frac{dy}{dx} bigg|_{x=2} = 2(2) = 4$

Proto je sklon křivky v bodě (2, 4) 4.

Vypracované příklady hledání sklonu křivky

Pojďme vyřešit několik dalších příkladů, abychom upevnili naše chápání hledání sklonu křivky:

Příklad 1: Najděte sklon křivky reprezentované rovnicí y = 3x³ + 2x² – 5x + 6 v bodě (1, 6).

Řešení: Derivováním rovnice y = 3x³ + 2x² – 5x + 6 vzhledem k x, dostaneme:

$frac{dy}{dx} = 9x² + 4x - 5$

Dosazení x = 1 do derivace:

$frac{dy}{dx} bigg|_{x=1} = 9(1)² + 4(1) – 5 = 8$

Proto je sklon křivky v bodě (1, 6) 8.

Viz také Jak najít hybnost po srážce: elastické, nepružné, vzorec a problémy

Příklad 2: Najděte sklon křivky reprezentované rovnicí y = sin(x) v bodě (π/2, 1).

Řešení: Vezmeme-li derivaci y = sin(x) vzhledem k x, máme:

$frac{dy}{dx} = cos(x)$

Dosazením x = π/2 do derivace:

$frac{dy}{dx} bigg|_{x=pi/2} = cos(pi/2) = 0$

Sklon křivky v bodě (π/2, 1) je tedy 0.

Zvláštní případy při hledání sklonu grafu

jak zjistit sklon grafu — Obrázek by TentativeTypist – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, licencováno pod CC BY-SA 4.0.

Určení sklonu vodorovné čáry

Vodorovná čára má v každém bodě stejnou souřadnici y, což znamená, že nedochází k žádné vertikální změně (vzestupu). Proto je sklon vodorovné čáry vždy 0.

Určení sklonu svislé čáry

Svislá čára má v každém bodě stejnou souřadnici x, takže nedochází k žádné horizontální změně (běhu). V tomto případě je sklon nedefinovaný.

Jak zvládnout nedefinované a nulové svahy

Není-li sklon definován, znamená to, že křivka nebo čára je vertikální. Když je sklon nula, znamená to vodorovnou čáru. Tyto speciální případy je důležité vzít v úvahu při analýze grafu.

Jak souvisí nalezení sklonu grafu s nalezením průměrné rychlosti ve fyzice?

Při studiu pojmů počtu a pohybu ve fyzice hraje důležitou roli jak zjištění sklonu grafu, tak výpočet průměrné rychlosti. Určením sklonu grafu můžeme pochopit rychlost změny proměnné v daném intervalu. Tento koncept úzce souvisí s rychlostí, která představuje rychlost, kterou objekt mění svou polohu. Ve fyzice se průměrná rychlost vypočítá vydělením změny polohy časem. Pochopením toho, jak najít sklon grafu, můžeme získat náhled na hledání průměrné rychlosti ve fyzice. Chcete-li se dozvědět více o výpočtu průměrné rychlosti, přečtěte si článek o Hledání průměrné rychlosti ve fyzice.

Numerické úlohy o tom, jak najít sklon grafu

problém 1

Najděte sklon přímky procházející body (2, 4) a (5, 10).

Viz také 17 Příklady koncových rychlostí: a příklady problémů

Řešení:

K nalezení sklonu přímky procházející dvěma body můžeme použít vzorec:

$text{Sklon} = frac{{text{změna v} y}}{{text{změna v}x}}$

Vzhledem k bodům (2, 4) a (5, 10) můžeme vypočítat změnu y a změnu x takto:

$text{změna v} y = 10 - 4 = 6$

$text{změna v} x = 5 - 2 = 3$

Dosazením těchto hodnot do vzorce sklonu:

$text{Sklon} = frac{6}{3} = 2$

Proto je sklon přímky procházející body (2, 4) a (5, 10) 2.

problém 2

Určete sklon přímky, která prochází body (3, -1) a (7, 5).

Řešení:

Pomocí vzorce sklonu:

$text{Sklon} = frac{{text{změna v} y}}{{text{změna v}x}}$

Můžeme vypočítat změnu v y a změnu v x:

$text{změna v} y = 5 - (-1) = 6$

$text{změna v} x = 7 - 3 = 4$

Dosazením těchto hodnot do vzorce sklonu:

$text{Sklon} = frac{6}{4} = frac{3}{2}$

Tedy sklon čáry procházející body $3, -1) a (7, 5) je (frac{3}{2}$ .

problém 3

Najděte sklon přímky, která prochází body (-2, -3) a (4, 1).

Řešení:

Pomocí vzorce sklonu:

$text{Sklon} = frac{{text{změna v} y}}{{text{změna v}x}}$

Můžeme vypočítat změnu v y a změnu v x:

$text{změna v} y = 1 - (-3) = 4$

$text{změna v} x = 4 - (-2) = 6$

Dosazením těchto hodnot do vzorce sklonu:

$text{Sklon} = frac{4}{6} = frac{2}{3}$

Proto sklon přímky procházející body $-2, -3) a (4, 1) je (frac{2}{3}$ .

Také čtení:

Rabiya Khalid

Dobrý den,
Jsem Rabiya Khalid, dokončil jsem své magisterské studium v matematice. Psaní článků je moje vášeň a profesionálně se psaní věnuji již více než rok. Jako student přírodních věd mám talent číst a psát o vědě a všem, co s ní souvisí.
Ve volném čase se věnuji své kreativní stránce na plátně.

Jak najít sklon grafu

Identifikace vzestupu a běhu na grafu

Výpočet sklonu přímkového grafu

Vypracované příklady na nalezení sklonu přímkového grafu

Nalezení sklonu křivky

Pochopení konceptu sklonu pro zakřivené čáry

Techniky pro výpočet sklonu křivky

Vypracované příklady hledání sklonu křivky

Zvláštní případy při hledání sklonu grafu

Určení sklonu vodorovné čáry

Určení sklonu svislé čáry

Jak zvládnout nedefinované a nulové svahy

Jak souvisí nalezení sklonu grafu s nalezením průměrné rychlosti ve fyzice?

Numerické úlohy o tom, jak najít sklon grafu

problém 1

problém 2

problém 3

Ahoj kolego čtenáři,