Jak najít tangenciální zrychlení: 7 případů použití a problémů

Ve světě fyziky a matematiky je pochopení pojmu tečné zrychlení zásadní. Hraje významnou roli při analýze pohybu objektů v kruhovém nebo rotačním pohybu. V tomto blogovém příspěvku podrobně prozkoumáme koncept tečného zrychlení, včetně jeho definice, důležitosti a způsobu jeho výpočtu v různých scénářích. Takže, pojďme se ponořit!

Jak najít tangenciální zrychlení

Definice tangenciálního zrychlení

tangenciální zrychlení se týká rychlosti, kterou se tangenciální rychlost objektu mění v průběhu času v kruhovém nebo rotačním pohybu. Je to míra toho, jak rychle se mění rychlost nebo směr objektu podél kruhové dráhy, kterou sleduje. Jednoduše řečeno, představuje zrychlení objektu pohybujícího se v kruhu.

Význam tangenciálního zrychlení ve fyzice a matematice

tangenciální zrychlení je zásadní pro pochopení dynamiky rotačního pohybu. Pomáhá nám analyzovat a předpovídat, jak se objekty pohybují po kruhových drahách, jako jsou planety obíhající kolem Slunce, auta, která se střídají na závodní dráze, nebo dokonce pohyb káči. Uvažováním tečného zrychlení můžeme určit síly působící na objekt, jeho rychlost a jak reaguje na vnější vlivy.

Vzorec pro nalezení tangenciálního zrychlení

Vzorec pro výpočet tečného zrychlení závisí na různých faktorech, včetně úhlového zrychlení, času a lineární rychlosti. Dá se vyjádřit jako:

a_t = r \cdot \alpha

Kde:
- (na) představuje tangenciální zrychlení
- (R) je poloměr kruhové dráhy
- (\alpha) označuje úhlové zrychlení

Nyní, když jasně rozumíme tečnému zrychlení, pojďme prozkoumat, jak jej vypočítat v různých scénářích.

Jak vypočítat tangenciální zrychlení

jak najít tečné zrychlení
Obrázek by Waglione – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, licencováno pod CC BY-SA 3.0.

Výpočet tangenciálního zrychlení z úhlového zrychlení

Tangenciální zrychlení z úhlového zrychlení

Pro výpočet tangenciálního zrychlení z úhlového zrychlení můžeme použít vzorec uvedený výše: (a_t = r \cdot \alpha). Podívejme se na příklad, který to ilustruje:

Příklad 1:
Předpokládejme, že se částice pohybuje po kruhové dráze o poloměru 3 metry a zažívá úhlové zrychlení 2 rad/s². Abychom našli tečné zrychlení, můžeme použít vzorec:

a_t = 3 \cdot 2

a_t = 6 \, \text{m/s²}

Tangenciální zrychlení je tedy 6 m/s².

Nalezení tangenciálního zrychlení v daném čase

tangenciální zrychlení 2

Někdy můžeme potřebovat vypočítat tečné zrychlení, když je dán čas. V takových případech můžeme použít jiný vzorec na základě počáteční úhlové rychlosti, úhlového zrychlení a času. Vzorec je:

a_t = \omega_0 + \alpha \cdot t

Kde:
– (a_t) představuje tečné zrychlení
– (\omega_0) je počáteční úhlová rychlost
– (\alpha) označuje úhlové zrychlení
– (t) je čas

Příklad 2:
Uvažujme scénář, kdy objekt začíná z klidu a zažívá úhlové zrychlení 5 rad/s² po dobu 2 sekund. Počáteční úhlová rychlost omega_0 je 0. Dosazením uvedených hodnot můžeme vypočítat tečné zrychlení:

 

a_t = 0 + 5 \cdot 2

a_t = 10 \, \text{m/s²}

Tangenciální zrychlení je tedy 10 m/s².

Určení tangenciálního zrychlení bez času

V některých případech můžeme potřebovat určit tečné zrychlení, aniž bychom znali dobu trvání. V takových situacích můžeme použít rovnice, které zahrnují úhlovou rychlost omega, poloměr (r) a tečné zrychlení (at). Jedna taková rovnice je:

 

a_t = \omega^2 \cdot r

Příklad 3:
Předpokládejme, že se objekt pohybuje po kruhové dráze o poloměru 2 metry a má úhlovou rychlost 3 rad/s. Pro zjištění tečného zrychlení můžeme použít vzorec:

a_t = 3^2 \cdot 2

a_t = 18 \, \text{m/s²}

Proto je tangenciální zrychlení 18 m/s².

Nyní, když jsme probrali základy výpočtu tečného zrychlení, pojďme prozkoumat, jak jej vyřešit v různých scénářích.

Jak řešit tangenciální zrychlení v různých scénářích

Nalezení tangenciálního zrychlení v kruhovém pohybu

Tangenciální zrychlení v kruhovém pohybu

Při kruhovém pohybu je důležitým parametrem tangenciální zrychlení. Pomáhá nám to pochopit, jak se objekty zrychlují po kruhové dráze. Při kruhovém pohybu směřuje tečné zrychlení vždy ke středu kruhu. Velikost tečného zrychlení závisí na faktorech, jako je úhlové zrychlení, poloměr a lineární rychlost.

Určení tangenciálního zrychlení kyvadla

tečné zrychlení kyvadla

Kyvadlo je vynikajícím příkladem, kdy do hry vstupuje tangenciální zrychlení. Když se kyvadlo houpe tam a zpět, bob zažije tečné zrychlení. Velikost tečného zrychlení je dána délkou kyvadla, úhlem, pod kterým se kýve, a gravitačním zrychlením.

Výpočet tangenciálního zrychlení při vertikálním kruhovém pohybu

Tangenciální zrychlení ve vertikálním kruhovém pohybu

Při vertikálním kruhovém pohybu nám tečné zrychlení pomáhá pochopit, jak se objekty zrychlují nebo zpomalují, když se pohybují nahoru nebo dolů po kruhové dráze. Tangenciální zrychlení při vertikálním kruhovém pohybu se mění v závislosti na umístění objektu v kruhové dráze. V nejvyšším bodě směřuje tečné zrychlení dolů, zatímco v nejspodnějším bodě směřuje nahoru.

Jak najít tangenciální rychlost a rychlost pomocí dostředivého zrychlení

jak najít tečné zrychlení
Obrázek by Stannered – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, licencováno pod CC0.

Nalezení tangenciální rychlosti pomocí dostředivého zrychlení a poloměru

tangenciální rychlost představuje lineární rychlost objektu pohybujícího se po kruhové dráze. Souvisí s dostředivým zrychlením (zrychlení směrem ke středu kruhu) a poloměrem kruhové dráhy. Vzorec pro výpočet tangenciální rychlosti je:

v_t = a_c \cdot r

Kde:
- (v_t) představuje tangenciální rychlost
- (a_c) je dostředivé zrychlení
- (R) označuje poloměr

Výpočet tangenciální rychlosti s dostředivým zrychlením

tangenciální rychlost se vztahuje k velikosti tečné rychlosti. Představuje, jak rychle se objekt pohybuje po kruhové dráze. Pro výpočet tečné rychlosti potřebujeme znát tečné zrychlení a dobu, kterou objekt potřebuje k dokončení jedné otáčky po kružnici. Vzorec pro tangenciální rychlost je:

 

s_t = a_t \cdot t

Kde:
- (Svatý) představuje tangenciální rychlost
- (na) je tečné zrychlení
- (t) označuje čas

Jak najít tangenciální složku lineárního zrychlení

jak najít tečné zrychlení
Obrázek by Uživatel: Stannered – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, licencováno pod CC BY-SA 3.0.

Nalezení tangenciálního zrychlení z radiálního zrychlení

V určitých případech můžeme potřebovat určit tečné zrychlení z radiálního zrychlení. Radiální zrychlení je složka zrychlení směřující ke středu kruhu nebo od něj. Je kolmá na tečné zrychlení. Pro zjištění tečného zrychlení z radiálního zrychlení můžeme použít následující vzorec:

 

a_t = \sqrt{a^2 - a_r^2}

Kde:
- (na) představuje tangenciální zrychlení
- (a_r) je radiální zrychlení

Výpočet tangenciálního zrychlení z tangenciální rychlosti

V některých scénářích možná budeme muset najít tečné zrychlení pomocí tečné rychlosti a času potřebného ke změně rychlosti. Vzorec pro výpočet tečného zrychlení v takových případech je:

 

a_t = \frac{{v_f - v_i}}{t}

Kde:
- (na) představuje tangenciální zrychlení
- (VF) je konečná tečná rychlost
- (v_i) označuje počáteční tečnou rychlost
- (t) je čas

Určení tangenciálního zrychlení z rychlosti

Někdy můžeme potřebovat najít tečné zrychlení, když je známa pouze rychlost objektu. V takových případech můžeme použít následující vzorec:

 

a_t = \frac{{v^2}}{r}

Kde:
- (na) představuje tangenciální zrychlení
- (V) je tangenciální rychlost
- (R) označuje poloměr

Jak najít zrychlení tangenciální a normální

Když se objekt pohybuje po kruhové dráze, zažívá dva typy zrychlení: tečné zrychlení a radiální nebo dostředivé zrychlení. tangenciální zrychlení je zodpovědné za změnu rychlosti nebo směru objektu podél kruhové dráhy, zatímco radiální zrychlení udržuje objekt v pohybu směrem ke středu kruhu. Součet těchto dvou zrychlení udává celkové zrychlení objektu.

Jak najít směr tangenciálního zrychlení

Směr tečného zrychlení je určen změnou rychlosti objektu podél kruhové dráhy. Vždy ukazuje tečnu ke kruhové dráze, buď ve stejném směru jako pohyb, nebo v opačném směru, v závislosti na tom, zda objekt zrychluje nebo zpomaluje.

Otázky s více proměnnými o tangenciálním zrychlení

Jak najít tangenciální zrychlení s více proměnnými

Ve složitějších scénářích se můžeme setkat s otázkami, které zahrnují více proměnných k nalezení tečného zrychlení. Abychom tyto problémy vyřešili, musíme dané informace pečlivě analyzovat, identifikovat příslušné vzorce a postupně je aplikovat. Podívejme se na příklad:

Příklad 4:
Předpokládejme, že se objekt pohybuje po kruhové dráze o poloměru 5 metrů. Tangenciální rychlost objektu je 10 m/s a doba potřebná k dokončení jedné otáčky je 4 sekundy. Pro zjištění tečného zrychlení můžeme použít vzorec:

 

a_t = \frac{{v_f - v_i}}{t}

Dosazením zadaných hodnot:

a_t = \frac{{10 - 0}}{4}

a_t = \frac{10}}{4}

a_t = 2.5 \, \text{m/s²}

Tangenciální zrychlení je tedy 2.5 m/s².

Rychlá fakta:

Otázka: Jaký je koncept tečného zrychlení?

A: Koncept tečného zrychlení souvisí se zrychlením objektu pohybujícího se po kruhové dráze. Lze ji chápat jako rychlost změny rychlosti objektu podél jeho tečného směru. Je známé jako tečné zrychlení, protože směr vektoru zrychlení je tečný ke směru vektoru rychlosti v jakémkoli daném bodě.

Otázka: Jaký je vzorec pro tangenciální zrychlení?

Odpověď: Vzorec pro tečné zrychlení je a = r * α, kde 'a' představuje tečné zrychlení, 'r' je poloměr a 'α' představuje úhlové zrychlení objektu. Je součinem poloměru pohybu a úhlového zrychlení.

Otázka: Jak souvisí tečné zrychlení s rovnoměrným kruhovým pohybem?

A: Při rovnoměrném kruhovém pohybu zůstává velikost rychlosti konstantní, ale směr rychlosti se plynule mění. Existuje tedy další zrychlení působící podél poloměru směrem ke středu, známé jako dostředivé zrychlení. Pokud má objekt provádějící kruhový pohyb rovnoměrné zrychlení, pak je tečné zrychlení nulové.

Atribut tangenciálního zrychleníCharakteristické pro rovnoměrný kruhový pohyb
PřítomnostŽádné (tangenciální zrychlení je nulové)
RoleNelze použít (protože rychlost je konstantní)
VedeníŽádný směr (protože neexistuje žádné tečné zrychlení)
Velikost0 m/s² (žádná změna velikosti rychlosti)
Vliv na rychlostŽádný efekt (rychlost je konstantní)
Vliv na trajektoriiŽádný efekt (trajektorie zůstává kruhová s konstantním poloměrem)
Výsledný typ pohybuRovnoměrný kruhový pohyb (konstantní rychlost, konstantní poloměr)
Nezbytné podmínkyŽádná čistá síla v tangenciálním směru
Rovnicea_t = 0

Otázka: Jaký je rozdíl mezi radiálním a tangenciálním zrychlením?

AtributRadiální (centripetální) zrychleníTangenciální zrychlení
Vektor VztahVždy směřuje radiálně dovnitř bez ohledu na směr pohybu objektu.Zarovnáno s okamžitým směrem změny rychlosti, buď vpřed nebo vzad podél cesty.
Závislost na rychlostiZávisí na druhé mocnině tečné rychlosti (rychlosti) a nepřímo na poloměru křivosti.Přímo souvisí s rychlostí změny rychlosti objektu, bez ohledu na zakřivení jeho dráhy.
Role v kruhovém pohybuPoskytuje potřebnou složku síly k udržení objektu v kruhové dráze bez ovlivnění rychlosti objektu.Zodpovědný za změnu rychlosti objektu v kruhovém pohybu, bez ovlivnění poloměru dráhy.
Nezávislost na rychlostiNezávislé na změnách rychlosti objektu; objekt v rovnoměrném kruhovém pohybu má konstantní radiální zrychlení.Přímo závislé na změnách rychlosti; bez změny rychlosti neexistuje tečné zrychlení.
Zastoupeno v rovnicíchNápadně se objevuje v druhém Newtonově zákonu pro rotační pohyb (F=ma_r), když uvažujeme sílu potřebnou pro kruhový pohyb.Vyskytuje se v kinematických pohybových rovnicích, když se mění rychlost objektu.
a) Měření dodržování pokynůMěřeno jako dostředivá síla potřebná na jednotku hmotnosti k udržení kruhové dráhy (N/kg nebo m/s²).Měřeno jako rychlost změny rychlosti udávající, jak rychle se objekt zrychluje nebo zpomaluje (m/s²).
In Rotační dynamikaAnalogicky k síle v lineární dynamice, ale pro rotační systémy představuje radiální sílu na hmotu potřebnou k udržení rotace.Analogicky ke složce síly v lineární dynamice, která způsobuje změnu kinetické energie v důsledku změny rychlosti.
Práce hotovaNefunguje, protože radiální zrychlení je kolmé na posunutí objektu v kruhovém pohybu.Funguje tak, jak je ve směru posunutí, přispívá ke změně kinetické energie objektu.
Vliv na úhlovou hybnostNemění moment hybnosti objektu v uzavřeném systému, protože není zapojen žádný točivý moment.Může změnit moment hybnosti, pokud je spojen s kroutícím momentem, ovlivňujícím rychlost otáčení.
Energetická úvahaProtože nemění rychlost, nepřispívá přímo ke změně kinetické energie; ovlivňuje potenciální energii v gravitačním poli.Přímo ovlivňuje kinetickou energii, když mění rychlost; v gravitačním poli může ovlivnit i potenciální energii.

Otázka: Co nám říká tečné zrychlení?

A: Tangenciální zrychlení nám dává představu o tom, jak rychle se rychlost objektu mění s časem v tangenciálním směru. Pokud je tečné zrychlení kladné, objekt zrychluje. Pokud je negativní, objekt se zpomaluje.

Otázka: Jak se vzorec tangenciálního zrychlení vztahuje na řešení problémů?

Odpověď: Vzorec tangenciálního zrychlení je užitečný zejména v případech, kdy se objekt pohybuje po kruhové dráze a jeho rychlost se mění rovnoměrně. Pomáhá vypočítat změnu rychlosti v jakémkoli daném okamžiku. Vzorec lze použít přímo nebo integrací rovnice, pokud úhlové zrychlení není konstantní.

Otázka: Mohl byste poskytnout vyřešený příklad pomocí vzorce tangenciálního zrychlení?

A: Jasně. Předpokládejme, že se objekt pohybuje po kruhové dráze o poloměru 4 metry s úhlovým zrychlením 2 rad/s². Tangenciální zrychlení (a) by bylo a = r * α = 4 m * 2 rad/s² = 8 m/s². Zde jsme použili vzorec pro tečné zrychlení k výpočtu zrychlení objektu.

Otázka: Jaký je vztah mezi celkovým zrychlením, dostředivým a tangenciálním zrychlením?

A: Celkové zrychlení objektu pohybujícího se po kruhové dráze je vektorový součet dostředivého a tečného zrychlení. Matematicky, celkové zrychlení = √((centripetální zrychlení)² + (tangenciální zrychlení)²). Dostředivé zrychlení směřuje ke středu kružnice, zatímco tečné zrychlení je v tomto bodě ve směru tečny ke kružnici.

Otázka: Jak souvisí tečné zrychlení a vektor rychlosti?

A: Vektor rychlosti objektu vykonávajícího kruhový pohyb má dvě složky: radiální a tangenciální. A tečné zrychlení má vliv na velikost vektoru rychlosti podél tečného směru. Pokud existuje nějaké tečné zrychlení, znamená to, že se mění velikost vektoru rychlosti.

Jak mohou souviset tečné zrychlení a úhlové zrychlení?

Abychom porozuměli vztahu mezi tečným zrychlením a úhlovým zrychlením, je důležité zvážit koncept Zjištění úhlového zrychlení kola. Úhlové zrychlení se týká rychlosti, kterou se úhlová rychlost rotujícího objektu mění v průběhu času. Na druhou stranu, tečné zrychlení se týká lineárního zrychlení, které zažívá objekt pohybující se po kruhové dráze. Tyto dva pojmy jsou propojeny, protože tečné zrychlení bodu na rotujícím objektu souvisí s úhlovým zrychlením objektu. Pochopením toho, jak jsou tečné zrychlení a úhlové zrychlení propojeny, můžeme získat vhled do dynamiky rotačního pohybu.

Otázka: Jaké jsou aplikace tangenciálního zrychlení v reálném životě?

Tangenciální zrychlení v aplikaci vertikálního kruhového pohybu

A: Tangenciální zrychlení má mnoho praktických aplikací v reálných situacích, jako je zatáčení vozidel, kde se rychlost mění v důsledku tangenciálního zrychlení. Používá se v dynamice rotačních pohybů, jako jsou ozubená kola, řemenice a kola. Je také použitelný v oblasti astronomie pro studium planetárního pohybu nebeských objektů.

Také čtení:

Zanechat komentář