Jak najít hybnost ve vlnové mechanice: Komplexní průvodce

Ve vlnové mechanice hraje hybnost významnou roli v pochopení chování vln. Momentum je základní koncept, který nám pomáhá analyzovat pohyb objektů, včetně vln. V tomto příspěvku na blogu prozkoumáme, jak najít hybnost ve vlnové mechanice, ponoříme se do vzorce vlnové hybnosti a prodiskutujeme její aplikace. Probereme také, jak vypočítat hybnost v různých scénářích a prozkoumáme koncept úhlové hybnosti v kvantové mechanice. Pojďme se tedy ponořit!

Vzorec Wave Momentum

Vysvětlení vzorce Wave Momentum

Vzorec hybnosti vlny nám umožňuje vypočítat hybnost vlny na základě jejích vlastností. Ve vlnové mechanice je hybnost spojena s pohybem energie prostředím. Vzorec pro vlnovou hybnost, označený jako p, je dán takto:

$p = \frac{h}{\lambda}$

Kde:
– p je hybnost vlny,
– h je Planckova konstanta $přibližně \(6.62607015 × 10^{-34}$ J·s),
- $\ lambda$ je vlnová délka vlny.

Tento vzorec nám ukazuje, že hybnost vlny je nepřímo úměrná její vlnové délce. Vlny s kratšími vlnovými délkami mají vyšší hybnost ve srovnání s vlnami s delšími vlnovými délkami.

Aplikace vzorce Wave Momentum

Vzorec vlnové hybnosti nachází uplatnění v různých oblastech vlnové mechaniky. Jednou z takových aplikací je pochopení chování částic spojených s vlnami, například v kvantové mechanice. De Broglieho hypotéza tvrdí, že částice, stejně jako elektrony, mají vlnové vlastnosti a jejich hybnost lze vypočítat pomocí vzorce vlnové hybnosti.

Vypracovaný příklad s použitím vzorce Wave Momentum

Uvažujme elektromagnetickou vlnu o vlnové délce 500 nm (nanometrů). K nalezení jeho hybnosti můžeme použít vzorec hybnosti vlny:

$p = \frac{h}{\lambda}$

Dosazením zadaných hodnot máme:

$p = \frac{6.62607015 × 10^{-34} \, \text{J·s}}{500 \krát 10^{-9} \, \text{m}}$

Zjednodušením výrazu zjistíme:

$p \cca 1.32521403 × 10^{-27} \, \text{kg·m/s}$

Proto je hybnost elektromagnetické vlny přibližně $1.32521403 × 10^{-27}$ kg·m/s.

Jak vypočítat hybnost

Hledání hybnosti dané síle a času

Hybnost lze vypočítat pomocí vzorce:

$p = F \cdot t$

Kde:
– p je hybnost objektu,
– F je síla působící na předmět,
– t je časový interval, během kterého působí síla.

Tento vzorec nám umožňuje určit hybnost objektu, když známe sílu působící na něj a dobu trvání působení síly.

Viz také 19 Příklady úhlové hybnosti: Podrobné vysvětlení

Určení rychlosti při dané hybnosti a hmotnosti

Hybnost objektu lze také vypočítat pomocí vzorce:

$p = m \cdot v$

Kde:
– p je hybnost objektu,
– m je hmotnost předmětu,
– v je rychlost předmětu.

Tento vzorec nám pomáhá najít rychlost objektu, když známe jeho hybnost a hmotnost.

Výpočet hybnosti vlnových funkcí

Ve vlnové mechanice vlnová funkce popisuje chování vlny. Pro výpočet hybnosti vlnové funkce můžeme použít operátor pro hybnost, označovaný jako $\hat{p}$ , aplikovaný na vlnovou funkci $\Psi$ :

$\hat{p}\Psi = -i\hbar\frac{\částečný \Psi}{\částečný x}$

Kde:
- $\hat{p}$ je operátorem hybnosti,
- $\Psi$ je vlnová funkce,
- $\hbar$ je redukovaná Planckova konstanta $přibližně \(1.05457182 × 10^{-34}$ J·s).

Tato rovnice nám poskytuje matematický výraz pro výpočet hybnosti spojené s vlnovou funkcí.

Vypracované příklady pro výpočet hybnosti

Pojďme si projít několik příkladů, které ilustrují, jak vypočítat hybnost v různých scénářích.

Příklad 1:
Koule o hmotnosti 0.5 kg se pohybuje rychlostí 10 m/s. Jaká je jeho hybnost?

Pomocí vzorce $p = m \cdot v$ , můžeme vypočítat hybnost jako:

$p = 0.5 \, \text{kg} \krát 10 \, \text{m/s} = 5 \, \text{kg·m/s}$

Proto je hybnost koule 5 kg·m/s.

Příklad 2:
Automobil působí konstantní silou 100 N po dobu 5 sekund. Jaká je jeho hybnost?

Pomocí vzorce $p = F \cdot t$ , můžeme vypočítat hybnost jako:

$p = 100 \, \text{N} \krát 5 \, \text{s} = 500 \, \text{N·s}$

Proto je hybnost vozu 500 N·s.

Úhlová hybnost v kvantové mechanice

Pochopení úhlové hybnosti v kvantové mechanice

Moment hybnosti je pojem v kvantové mechanice, který se vztahuje k rotaci nebo rotaci částic. Ve vlnové mechanice je moment hybnosti kvantován, což znamená, že může nabývat pouze určitých diskrétních hodnot. Moment hybnosti je označen symbolem J a lze jej vypočítat pomocí vzorce:

$J = \hbar \sqrt{j(j+1)}$

Kde:
– J je moment hybnosti,
- $\hbar$ je redukovaná Planckova konstanta,
– j je kvantové číslo spojené s momentem hybnosti.

Výpočet celkové úhlové hybnosti v kvantové mechanice

V kvantové mechanice je celkový moment hybnosti součtem orbitálního momentu hybnosti a rotačního momentu hybnosti. Vzorec pro výpočet celkového momentu hybnosti je:

$J = L + S$

Kde:
– J je celkový moment hybnosti,
– L je orbitální moment hybnosti,
– S je spinový moment hybnosti.

Viz také Zachování hybnosti: Hluboký ponor do základního principu fyziky

Hledání úhlové hybnosti v kvantové mechanice

Operátor momentu hybnosti, označovaný jako $\hat{J}$ , působící na vlnovou funkci $\Psi$ , nám umožňuje najít moment hybnosti v kvantové mechanice. Vzorec pro operátor momentu hybnosti je:

$\hat{J}\Psi = -i\hbar\left(\mathbf{r} \times \nabla\right)\Psi$

Kde:
- $\hat{J}$ je operátor momentu hybnosti,
- $\Psi$ je vlnová funkce,
- $\mathbf{r}$ je polohový vektor,
- $\nabla$ je operátor gradientu.

Vypracované příklady úhlové hybnosti v kvantové mechanice

Pojďme si projít několik příkladů, abychom demonstrovali, jak vypočítat moment hybnosti v kvantové mechanice.

Příklad 1:
Uvažujme elektron v orbitalu 2p. Vypočítejte jeho moment hybnosti.

Pomocí vzorce $J = \hbar \sqrt{j(j+1$ }), můžeme vypočítat moment hybnosti jako:

$J = \hbar \sqrt{\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}+1\right)} = \hbar \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac {5}{2}} = \hbar \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}\hbar$

Proto je moment hybnosti elektronu v orbitalu 2p $\frac{\sqrt{15}}{2}\hbar$ .

Příklad 2:
Elektron má orbitální moment hybnosti $\frac{\sqrt{6}}{2}\hbar$ a rotační moment hybnosti $\frac{\sqrt{3}}{2}\hbar$ . Vypočítejte jeho celkový moment hybnosti.

Pomocí vzorce $J = L + S$ , můžeme vypočítat celkový moment hybnosti jako:

$J = \frac{\sqrt{6}}{2}\hbar + \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{2} \hbar$

Proto je celkový moment hybnosti elektronu $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{2}\hbar$ .

V tomto blogovém příspěvku jsme prozkoumali, jak najít hybnost ve vlnové mechanice. Diskutovali jsme vzorec vlnové hybnosti a jeho aplikace, stejně jako různé metody pro výpočet hybnosti v různých scénářích. Kromě toho jsme se ponořili do konceptu momentu hybnosti v kvantové mechanice a poskytli jsme vzorce pro výpočet a určení momentu hybnosti. Pochopením těchto pojmů můžeme získat hlubší vhled do chování vln a částic s nimi spojených.

Numerické úlohy o tom, jak najít hybnost ve vlnové mechanice

1 problém:

Částice v jednorozměrném systému je popsána vlnovou funkcí:

$\psi(x) = A \sin(kx + \phi)$

kde A, k a $\phi$ jsou konstanty. Vypočítejte hybnost částice.

Řešení:

Hybnost částice ve vlnové mechanice je dána rovnicí:

$p = \hbar k$

kde $\hbar$ je redukovaná Planckova konstanta a k je vlnové číslo. V tomto případě je vlnové číslo dáno výrazem:

$k = \frac{2\pi}{\lambda}$

kde $\ lambda$ je vlnová délka. Protože máme výraz vlnové funkce, můžeme najít vlnovou délku pomocí vzorce:

$\lambda = \frac{2\pi}{k}$

Dosazením dané vlnové funkce do výrazu pro k máme:

$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{2\pi/k} = k$

Proto je hybnost částice:

$p = \hbar k$

2 problém:

Obrázek by Kraaiennest – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, licencováno pod CC BY-SA 4.0.

Částice je popsána vlnovou funkcí:

Viz také Jak najít výkon: Průvodce výpočtem napětí a proudu

$\psi(x) = A \cos(kx + \phi)$

kde A, k a $\phi$ jsou konstanty. Vypočítejte hybnost částice.

Řešení:

Podobně jako v problému 1 je hybnost částice dána rovnicí:

$p = \hbar k$

kde $\hbar$ je redukovaná Planckova konstanta a k je vlnové číslo. V tomto případě je vlnové číslo dáno výrazem:

$k = \frac{2\pi}{\lambda}$

kde $\ lambda$ je vlnová délka. Pomocí dané vlnové funkce můžeme určit vlnovou délku následovně:

$kx + \phi = \cos^{-1}\left(\frac{\psi(x)}{A}\right)$

Zjednodušením výrazu zjistíme:

$kx + \phi = \cos^{-1}\left(\frac{\cos(kx + \phi)}{A}\right)$

Protože funkce kosinus je inverzní funkce kosinus, obě se navzájem vyruší, což má za následek:

$kx + \phi = kx + \phi$

Proto je hybnost částice:

$p = \hbar k$

3 problém:

Částice je popsána vlnovou funkcí:

$\psi(x) = A \sin(kx) \cos(\omega t)$

kde A, k a $\ omega$ jsou konstanty. Vypočítejte hybnost částice.

Řešení:

Hybnost částice ve vlnové mechanice je dána rovnicí:

$p = \hbar k$

kde $\hbar$ je redukovaná Planckova konstanta a k je vlnové číslo. V tomto případě je vlnové číslo dáno výrazem:

$k = \frac{2\pi}{\lambda}$

kde $\ lambda$ je vlnová délka. Pro zjištění vlnové délky můžeme použít vzorec:

$\lambda = \frac{2\pi}{k}$

Dosazením dané vlnové funkce do výrazu pro k máme:

$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{2\pi/k} = k$

Proto je hybnost částice:

$p = \hbar k$

Také čtení:

TechieScience Core SME

Základní tým TechieScience pro malé a střední podniky je skupina zkušených odborníků z různých vědeckých a technických oborů včetně fyziky, chemie, technologie, elektroniky a elektrotechniky, automobilového průmyslu a strojního inženýrství. Náš tým spolupracuje na vytváření vysoce kvalitních, dobře prozkoumaných článků o široké škále vědeckých a technologických témat pro web TechieScience.com.

Všechny naše senior SME mají více než 7 let zkušeností v příslušných oborech. Jsou to buď profesionálové z pracovního průmyslu, nebo jsou spojeni s různými univerzitami. Odkazovat Naši autoři Stránka, kde se dozvíte o našich základních malých a středních podnicích.

techiescience.com

Vzorec Wave Momentum

Vysvětlení vzorce Wave Momentum

Aplikace vzorce Wave Momentum

Vypracovaný příklad s použitím vzorce Wave Momentum

Jak vypočítat hybnost

Hledání hybnosti dané síle a času

Určení rychlosti při dané hybnosti a hmotnosti

Výpočet hybnosti vlnových funkcí

Vypracované příklady pro výpočet hybnosti

Úhlová hybnost v kvantové mechanice

Pochopení úhlové hybnosti v kvantové mechanice

Výpočet celkové úhlové hybnosti v kvantové mechanice

Hledání úhlové hybnosti v kvantové mechanice

Vypracované příklady úhlové hybnosti v kvantové mechanice

Numerické úlohy o tom, jak najít hybnost ve vlnové mechanice

1 problém:

Řešení:

2 problém:

Řešení:

3 problém:

Řešení:

Ahoj kolego čtenáři,