Jak najít energii v efektu Quantum Hall: Zkoumání tajemství kvantové fyziky

by

V oblasti kvantové fyziky je kvantový Hallův efekt (QHE) fascinujícím jevem, který se vyskytuje ve dvourozměrných elektronových systémech vystavených magnetickému poli. Jedním z důležitých aspektů studia QHE je pochopení toho, jak vypočítat energii zapojenou do tohoto efektu. V tomto příspěvku na blogu prozkoumáme různé metody, jak najít energii v kvantovém Hallově jevu, včetně výpočtu energie orbitalu, určení energie elektronu a výpočtu přenesené energie v joulech.

Jak vypočítat energii v kvantovém Hallově jevu

Nalezení energie orbitalu

energie v kvantovém hall efektu 2

V kvantové mechanice zaujímají elektrony v magnetickém poli specifické energetické úrovně známé jako Landauovy úrovně. Energie orbitalu v těchto Landauových hladinách je dána rovnicí:

E = (n + \frac{1}{2}) \times \hbar \omega_c

Kde:
- E představuje energii orbitalu,
- n je hlavní kvantové číslo, které určuje Landauovu hladinu,
- \hbar je redukovaná Planckova konstanta a
- \omega_c je frekvence cyklotronu.

Řekněme například, že máme elektron ve třetí Landauově hladině \(n = 2) s cyklotronovou frekvencí 10 9 ^ radiány za sekundu. Energii tohoto orbitalu lze vypočítat takto:

E = (2 + \frac{1}{2}) \times \hbar \times 10^9

Určení energie elektronu

Abychom určili energii elektronu v kvantovém Hallově jevu, musíme vzít v úvahu jak energii orbitalu, tak Zeemanovu energii. Zeemanova energie vzniká interakcí mezi magnetickým momentem elektronu a vnějším magnetickým polem. Lze jej vypočítat pomocí rovnice:

E_Z = g\mu_B B

Kde:
- E_Z je Zeemanova energie,
- g je g-faktor elektronu (bezrozměrná konstanta),
- \mu_B je Bohrův magneton a
- B je síla magnetického pole.

Přidáním Zeemanovy energie k orbitální energii získáme celkovou energii elektronu:

E_{\text{total}} = E_{\text{orbital}} + E_Z

Předpokládejme například, že g-faktor je 2, Bohrův magneton ano 9.27 \krát 10^{-24} J/T a síla magnetického pole je 0.5 T. Celkovou energii elektronu můžeme vypočítat dosazením těchto hodnot do rovnice.

Výpočet energie přenesené v joulech

V experimentálních nastaveních se přenos energie často měří v joulech. Pro výpočet energie přenesené, když se elektron pohybuje mezi Landauovými úrovněmi v kvantovém Hallově jevu, používáme rovnici:

E_{\text{transfer}} = \Delta E \times e

Kde:
- E_{\text{transfer}} je energie přenesená v joulech,
- \Delta E je změna energie mezi dvěma Landauovými úrovněmi a
- e je elementární náboj.

Máme-li například situaci, kdy se elektron přesune z druhé Landauovy hladiny do třetí Landauovy hladiny, můžeme vypočítat přenesenou energii tak, že najdeme rozdíl v energii mezi těmito dvěma hladinami a vynásobíme jej elementárním nábojem.

Praktické aplikace energetických výpočtů v kvantovém Hallově jevu

Jak určit hladinu kvantové energie

Výpočtem energie elektronu v konkrétní Landauově hladině můžeme určit kvantovou energetickou hladinu. Tyto informace jsou zásadní pro pochopení chování elektronů v přítomnosti magnetického pole a lze je použít k předpovědi různých kvantových jevů Hallova jevu.

Výpočet energie ve vlně

V kvantovém Hallově jevu elektrony vykazují vlnové chování. Energii elektronu ve vlně lze vypočítat pomocí rovnice:

E = \hbar \omega

Kde:
- E je energie elektronu,
- \hbar je redukovaná Planckova konstanta a
- \ omega je úhlová frekvence vlny.

Tato rovnice nám umožňuje kvantifikovat energetické stavy elektronů ve vlně a poskytuje cenné poznatky o chování elektronů v kvantovém Hallově jevu.

Měření energie v joulech

Pro měření energie elektronů zapojených do kvantového Hallova jevu v joulech můžeme použít rovnici:

E = \frac{1}{2} mv^2

Kde:
- E je energie elektronu,
- m je hmotnost elektronu a
- v je rychlost elektronu.

Tento vzorec nám umožňuje vztáhnout kinetickou energii elektronu na jeho hmotnost a rychlost, což umožňuje přesné měření energie v joulech.

Pokročilé koncepty energetických výpočtů v kvantovém Hallově jevu

Energie se rovná h krát Frekvence

V kvantové mechanice je energie fotonu přímo úměrná jeho frekvenci. Tento vztah je popsán rovnicí:

E = h \nu

Kde:
- E je energie fotonu,
- h je Planckova konstanta a
- \ nu je frekvence fotonu.

Tato rovnice zdůrazňuje spojení mezi energií a frekvencí v kvantovém Hallově jevu a poskytuje základ pro další energetické výpočty.

Jak vypočítat energii v joulech při dané vlnové délce

energie v kvantovém hall efektu 1

Energii fotonu lze také vypočítat v joulech pomocí rovnice:

E = \frac{hc}{\lambda}

Kde:
- E je energie fotonu,
- h je Planckova konstanta,
- c je rychlost světla a
- \ lambda je vlnová délka fotonu.

Tato rovnice nám umožňuje určit energii fotonů zapojených do kvantového Hallova jevu, když je známa jejich vlnová délka.

Zjištění celkového energetického vstupu

Abychom našli celkový energetický vstup v kvantovém systému s Hallovým jevem, musíme zvážit energetické příspěvky všech zúčastněných elektronů. Sečtením energií jednotlivých elektronů můžeme vypočítat celkový energetický příkon a získat komplexní pochopení energetické dynamiky v systému.

Prozkoumáním těchto pokročilých konceptů energetických výpočtů se můžeme ponořit hlouběji do složitého fungování kvantového Hallova jevu a odhalit nové pohledy na tento fascinující fenomén.

Numerické úlohy o tom, jak najít energii v kvantovém hall efektu

Jak najít energii v kvantovém hall efektu
Obrázek by Complexica – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, licencováno pod CC BY-SA 3.0.

1 problém:

energie v kvantovém hall efektu 3

Uvažujme elektron v kvantovém Hallově systému s magnetickým polem o síle B = 1.5 T. Pokud má elektron náboj e = 1.6 × 10^(-19) C a pohybuje se v rovnoměrném elektrickém poli o síle E = 5 V /m, zjistěte energii elektronu.

Řešení:
Zadáno:
Síla magnetického pole, B = 1.5 T
Náboj elektronu, e = 1.6 × 10^(-19) C
Intenzita elektrického pole, E = 5 V/m

Energie elektronu pohybujícího se v magnetickém poli a elektrickém poli je dána vzorcem:

E = e \cdot B \cdot v + e \cdot E \cdot d

kde v je rychlost elektronu a d je ujetá vzdálenost.

Abychom našli energii, musíme určit rychlost a ujetou vzdálenost.

Předpokládejme, že se elektron pohybuje rychlostí v = 2 m/sa urazí vzdálenost d = 10 m.

Dosazením hodnot do rovnice dostaneme:

E = (1.6 \krát 10^(-19) C) \cdot (1.5 T) \cdot (2 m/s) + (1.6 \krát 10^(-19) C) \cdot (5 V/m) \ cdot (10 m)

Zjednodušením výrazu zjistíme:

E = 2.4 \krát 10^(-19) J + 8 \krát 10^(-19) J

Energie elektronu je tedy 10.4 × 10^(-19) J.

2 problém:

V kvantovém Hallově systému se elektron s nábojem e = 1.6 × 10^(-19) C pohybuje v magnetickém poli o síle B = 0.8 T. Elektron má rychlost v = 4 m/s a pohybuje se a vzdálenost d = 6 m. Najděte energii elektronu.

Řešení:
Zadáno:
Náboj elektronu, e = 1.6 × 10^(-19) C
Síla magnetického pole, B = 0.8 T
Rychlost elektronu, v = 4 m/s
Ujetá vzdálenost, d = 6 m

Energie elektronu pohybujícího se v magnetickém poli je dána vzorcem:

E = e \cdot B \cdot v

Abychom našli energii, dosadíme dané hodnoty do vzorce:

E = (1.6 \krát 10^(-19) C) \cdot (0.8 T) \cdot (4 m/s)

Zjednodušením výrazu dostaneme:

E = 6.4 \ krát 10^(-19) J

Energie elektronu je tedy 6.4 × 10^(-19) J.

3 problém:

Elektron s nábojem e = 1.6 × 10^(-19) C se pohybuje v kvantovém Hallově systému s magnetickým polem o síle B = 1 T. Je-li energie elektronu E = 3 × 10^(-19 ) J, zjistěte rychlost elektronu.

Řešení:
Zadáno:
Náboj elektronu, e = 1.6 × 10^(-19) C
Síla magnetického pole, B = 1 T
Energie elektronu, E = 3 × 10^(-19) J

Energie elektronu pohybujícího se v magnetickém poli je dána vzorcem:

E = e \cdot B \cdot v

Abychom našli rychlost, uspořádáme vzorec:

v = \frac{E}{e \cdot B}

Dosazením zadaných hodnot máme:

v = \frac{3 \times 10^(-19) J}{1.6 \times 10^(-19) C \cdot 1 T}

Zjednodušením výrazu dostaneme:

v = 1.875 m/s

Proto je rychlost elektronu 1.875 m/s.

Také čtení: