Jak najít úhlovou rychlost v rotační dynamice: Komplexní průvodce

by

Úhlová rychlost je základní koncept v rotační dynamice, který nám pomáhá pochopit, jak se objekty otáčejí a mění svou orientaci. Je to míra rychlosti, kterou se objekt otáčí kolem pevné osy. V tomto blogovém příspěvku prozkoumáme různé metody výpočtu úhlové rychlosti v rotační dynamice, probereme faktory, které ji ovlivňují, a poskytneme praktické příklady k prohloubení našeho porozumění.

Jak vypočítat úhlovou rychlost v rotační dynamice

A. Zjištění úhlové rychlosti z momentu setrvačnosti

Moment setrvačnosti, označený I, je vlastnost objektu, která kvantifikuje jeho odpor vůči změnám rotačního pohybu. Pro výpočet úhlové rychlosti (omega) pomocí momentu setrvačnosti můžeme použít následující vzorec:

omega = frac{L}{I}

kde L je moment hybnosti objektu. Moment hybnosti (L) je součin momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti:

L = I cdot omega

Přeskupením těchto rovnic můžeme najít úhlovou rychlost, pokud je znám moment setrvačnosti a moment hybnosti.

B. Výpočet úhlové rychlosti rotujícího objektu

Dalším způsobem, jak zjistit úhlovou rychlost rotujícího objektu, je výpočet úhlového posunutí (theta) a čas (t) pro dokončení rotace. Vzorec pro úhlovou rychlost je:

omega = frac{theta}{t}

kde omega je úhlová rychlost, theta je úhlové posunutí v radiánech a t je čas v sekundách.

C. Určení úhlové rychlosti z RPM

V některých případech je úhlová rychlost udávána v otáčkách za minutu (RPM). K převodu RPM na radiány za sekundu můžeme použít následující vzorec:

omega = frac{2pi cdot text{RPM}}{60}

kde omega je úhlová rychlost v radiánech za sekundu a RPM jsou otáčky za minutu.

Faktory ovlivňující úhlovou rychlost

A. Vztah mezi úhlovou rychlostí a poloměrem

Úhlová rychlost objektu je ovlivněna jeho poloměrem. S rostoucí vzdáleností od osy rotace klesá úhlová rychlost. Tento vztah lze vyjádřit pomocí vzorce:

omega = frac{v}{r}

kde omega je úhlová rychlost, v je lineární rychlost a r je poloměr.

B. Role rotačního pohybu v úhlové rychlosti

Rotační pohyb hraje významnou roli při určování úhlové rychlosti objektu. Když je na objekt aplikován vnější krouticí moment, způsobí to změnu úhlové rychlosti. Tuto změnu lze popsat pomocí rovnice:

tau = I cdot alfa

kde Váš je točivý moment působící na předmět, I je moment setrvačnosti a alfa je úhlové zrychlení.

Praktické příklady výpočtu úhlové rychlosti

A. Příklad výpočtu úhlové rychlosti: Rotující kolo

Uvažujme příklad výpočtu úhlové rychlosti pro rotující kolo. Předpokládejme, že máme kolo o poloměru 0.5 metru. Pokud kolo dokončí celou otáčku za 2 sekundy, můžeme zjistit úhlovou rychlost pomocí vzorce:

omega = frac{theta}{t}

Protože kolo dokončí jednu otáčku, úhlové posunutí (theta) je 2pi radiány. Zabraný čas (t) jsou 2 sekundy. Zapojením těchto hodnot do vzorce dostaneme:

omega = frac{2pi}{2} = pi , text{rad/s}

Proto je úhlová rychlost rotačního kola pi radiány za sekundu.

B. Jak najít úhlovou rychlost ve fyzice: Scénář ze skutečného světa

Předpokládejme, že máme kolotoč o poloměru 3 metry. Kolotoč zvládne 10 otáček za 20 sekund. Pro zjištění úhlové rychlosti můžeme použít vzorec:

omega = frac{theta}{t}

Vzhledem k tomu, že kolotoč dokončí 10 otáček, úhlový posun (theta) je 10 cdot 2pi = 20pi radiány. Zabraný čas (t) jsou 20 sekundy. Zapojením těchto hodnot do vzorce dostaneme:

omega = frac{20pi}{20} = pi , text{rad/s}

Proto je úhlová rychlost kolotoče pi radiány za sekundu.

Tyto příklady ukazují, jak vypočítat úhlovou rychlost pomocí různých metod a vzorců, a poskytují praktické pochopení její aplikace v reálných scénářích.

Pamatujte, že úhlová rychlost je zásadní v rotační dynamice a je ovlivněna faktory, jako je poloměr a rotační pohyb. Pochopení toho, jak jej vypočítat, nám umožňuje analyzovat a řešit problémy související s rotačním pohybem v různých oblastech vědy a techniky.

Takže až příště narazíte na rotační dynamiku, budete přesně vědět, jak zjistit úhlovou rychlost!

Numerické úlohy, jak najít úhlovou rychlost v rotační dynamice

1 problém:

Kolo o poloměru 0.5 m se otáčí s konstantním úhlovým zrychlením 2 rad/s^2. Startuje z klidu a po otáčení po dobu 12 sekund dosáhne úhlové rychlosti 6 rad/s. Vypočítejte počáteční úhlovou rychlost kola.

Řešení:
Zadáno:
Poloměr kola, r = 0.5 m
Úhlové zrychlení, α = 2 rad/s^2
Čas, t = 6 s
Konečná úhlová rychlost, ω = 12 rad/s

Můžeme použít rovnici úhlový pohyb:

kde,
omega_0 je počáteční úhlová rychlost

Dosazením zadaných hodnot máme:
12 = omega_0 + 2 cdot 6

Zjednodušením rovnice dostaneme:
omega_0 = 12-12
omega_0 = 0 , text{rad/s}

Počáteční úhlová rychlost kola je tedy 0 rad/s.

2 problém:

Disk se otáčí konstantní úhlovou rychlostí 10 rad/s. Po 5 sekundách otáčení se zastaví s konstantním úhlovým zpomalením. Najděte úhlové zpomalení.

Řešení:
Zadáno:
Počáteční úhlová rychlost, omega_0 = 10 rad / s
Čas, t = 5 s
Konečná úhlová rychlost, omega = 0 rad / s

Můžeme použít rovnici úhlového pohybu:
omega = omega_0 + alfa t

Přeuspořádáním rovnice máme:
alfa = frac{omega - omega_0}{t}

Dosazením zadaných hodnot dostaneme:
alfa = frac{0–10}{5}

Pro zjednodušení rovnice máme:
alfa = frac{-10}{5}
alfa = -2 , text{rad/s}^2

Proto je úhlové zpomalení -2 rad/s^2.

3 problém:

Setrvačník zpočátku v klidu zrychluje s konstantním úhlovým zrychlením 4 rad/s^2 po dobu 3 sekund. Najděte změnu úhlové rychlosti během tohoto časového intervalu.

Řešení:
Zadáno:
Počáteční úhlová rychlost, omega_0 = 0 rad / s
Úhlové zrychlení, α = 4 rad/s^2
Čas, t = 3 s

Můžeme použít rovnici úhlového pohybu:
omega = omega_0 + alfa t

Dosazením zadaných hodnot máme:
omega = 0 + 4 cdot 3

Zjednodušením rovnice dostaneme:
omega = 12 , text{rad/s}

Změna úhlové rychlosti je dána:
Delta omega = omega - omega_0

Nahrazením hodnot máme:
Delta omega = 12 - 0
Delta omega = 12 , text{rad/s}

Proto je změna úhlové rychlosti během časového intervalu 12 rad/s.

Také čtení: