Jak najít úhlové zrychlení kola: Problém a příklady

V tomto článku se naučíme, jak najít úhlové zrychlení kola, a vyřešit některé problémy související s úhlovým zrychlením kola.

Úhlové zrychlení je změna úhlové rychlosti způsobená změnami v úhlovém pohybu kola při působení točivého momentu ekvivalentního momentu setrvačnosti kola a síly implikované tečné ke kolu.

Úhlové zrychlení kola od úhlové rychlosti

Úhlové zrychlení je jednoduše poměr změny úhlové rychlosti kola při rotaci s ohledem na čas. To je dáno rovnicí, jak je uvedeno níže: -

α = ω₂ - ω₁ /t₂-t₁

Kde α je a úhlové zrychlení,

ω₁ a ω₂ jsou konečné a počáteční úhlové rychlosti respektive a

t₁ at₂ jsou konečným a počátečním časem, během kterého ke změně došlo.

Přečtěte si více o Jak najít úhlové zrychlení z úhlové rychlosti: Problém a příklady.

Příklad 1: Vypočítejte úhlové zrychlení kola automobilu při pohybu s vědomím, že úhlová rychlost automobilu byla 30 rad/s, která se zvýší na 80 rad/s za 40 sekund.

Řešení: Máme, ω₂ = 80 rad/s

ω₁= 30 rad/s

T = 40 sekund

Proto,

α = ω₂ - ω₁ /t₂-t₁

α = 80 – 30/ 40 = 1.25 rad/s²

Úhlové zrychlení kola automobilu je 1.25 rad/s².

Vztah mezi úhlovým zrychlením a tangenciálním zrychlením

Víme, že tangenciální rychlost tělesa v an úhlový pohyb souvisí s úhlovou rychlostí podle následující rovnice

v = ωr — (2)

Tangenciální zrychlení objektu je změna v tečné rychlosti s ohledem na měnící se čas.

a = dv/dt

Nahrazení eqn(2) zde

a=r dω/dt

Proto,

a=rα — (3)

Kde α je úhlové zrychlení.

α =a/r —(4)

Úhlové zrychlení kola je přímo úměrné tečnému zrychlení kola a nepřímo úměrné poloměru kola. Pokud se poloměr kola zvětší, budou změny pozorované v θ minimalizovány.

Přečtěte si více o Jak najít tangenciální zrychlení: Problémy a příklady.

Příklad 2: Objekt pohybující se po kruhové dráze o poloměru 12 m zrychluje rychlostí 4 m/s². Vypočítejte úhlové zrychlení objektu.

Zadáno: a=4 m/s²,

r = 12 m

My máme,

a=a/r=4/12=0.33 rad/s

Úhlové zrychlení objektu je 0.33 rad/s.

Zrychlení díky točivému momentu

Na kolo je třeba vyvinout sílu, aby se dalo do pohybu. Aplikovaná síla musí být tangenciální ke kolu, aby se kolo uvedlo do translačního pohybu.

Točivý moment na kole je určen aplikovanou silou a délkou posunutí kola v důsledku síly. Točivý moment na kole odpovídá hmotnosti kola. Čím větší hmotnost, tím větší síla bude zapotřebí, a proto bude produkovaný točivý moment větší.

Zážitek točivého momentu na kole je dán

𝜏 =F* výtlak

𝜏 =Ma* R

Dosazením eqn(3) do výše uvedené rovnice dostaneme

𝜏 = MR²α

Tendence tělesa odolávat úhlovému zrychlení v důsledku jeho hmotnosti se nazývá moment setrvačnosti a je součinem celkové hmotnosti předmětu a druhé mocniny jeho vzdálenosti od osy rotace.

I = MR²

Proto,

𝜏 =Já α — (5)

Proto,

α =𝜏/I — (6)

Úhlové zrychlení je poměr točivého momentu působícího na těleso k jeho momentu setrvačnosti.

Přečtěte si více o Jak zjistit napětí točivý moment.

Jak vypočítat moment setrvačnosti kola?

Čím méně momentu setrvačnosti, tím menší bude točivý moment na těle.

Předpokládejme, že kolo má hmotnost „M“ a poloměr kola je „R“, potom se moment setrvačnosti kola rovná celkovému momentu setrvačnosti způsobeného ráfkem a všemi paprsky.

Na níže uvedeném diagramu je 8 paprsků kola a hmotnost každého paprsku je jedna třetina hmotnosti kola.

já=já_lem+I_Vystoupil

= MR²+8 (1/3 MR² )

Délka paprsku se rovná poloměru kola, takže

= MR²+8 (1/3 MR²)

= 1+1/3 MR²

= 11/3 MR² - (7)

Nyní tedy máme moment setrvačnosti kola.

Dosazením Eqn(7) do Eqn(5) vznikne úhlové zrychlení kola je

α =3𝜏/11 MR²

Příklad 3: Uvažujme kolo o poloměru 20 cm a hmotnosti 2 kg. Na kolo působí síla 20N a kolo urazí vzdálenost 20 metrů. Poté vypočítejte úhlové zrychlení kola.

Zadáno: r = 20 cm,

m=2kg,

x = 20 m,

F = 20 N.

Točivý moment na kole je

𝜏 =F*x=20N* 20m=400Nm

Tedy úhlové zrychlení kola je

α=3𝜏/ 11MR²

=3*400N/11*2kg*(0.2m)²

= 1.36 rad/s²

Projekt úhlové zrychlení kola je 1.36 rad/s2.

Přečtěte si více o Úhlové zrychlení.

Často kladené otázky

Q1. Uvažujme obří kolo o hmotnosti 5 kg a poloměru 120 cm rotující rychlostí 2 otáčky za sekundu zrychluje a dosahuje úhlové rychlosti 5 ot./min. za 25 sekund. Vypočítejte tangenciální zrychlení kola a kroutící moment tečně ke kolu.

Zadáno: M=5kg, r=120cm=1.2m

ω_i=2rpm=2*2π/60=π/15rad/s

ωf=5ot/min=5*2π*60=π/6 rad/s

t = 25 sekund

Úhlové zrychlení kola je

α = ω_f- ω_i /t₂-t₁

=π/6-π/15*25=π/ 250 rad/s²

Tangenciální zrychlení kola je

a=rα

=1.2 m*π/250 rad/s²= 0.015 m/s²

Moment setrvačnosti kola je

I = 11/3 MR²

= 11/3 * 5* (1.2)²= 26.4 kg.m²

Tedy točivý moment na kole je

α =𝜏/I

𝜏 =α I

π rad/s²*26.4 kgm²= 0.33 Nm

Q2. Pokud je na kole 12 paprsků, vypočítejte moment setrvačnosti kola.

Moment setrvačnosti kvůli paprskům bude

I_Vystoupil= 12 (1/3 MR²) = 4MR²

Moment setrvačnosti ráfku je

I_lem= MR²

Proto je moment setrvačnosti kola

já = já_lem + I_Vystoupil= 4MR²+ MR²= 5MR²

Stručně popište pohyb kola.

Kolo vykazuje rotační a translační pohyb. Při spojení s nápravou ukáže pouze rotační pohyb.

Jedno otočení kola se rovná úhlu 4π. Při translačním pohybu se délka, kterou kolo urazí za jednu otáčku při rotaci, rovná obvodu kola.

Pokud se poloměr kola zvětší 10krát, jaký to bude mít vliv na tečné a úhlové zrychlení kola?

Projekt úhlové zrychlení a tečné zrychlení souvisí na poloměr kola podle rovnice a=rα

Pokud se poloměr kola zvětší 10krát, pak se tečné zrychlení zvýší 10krát, zatímco úhlové zrychlení zůstane nedotčeno, ale točivý moment potřebný k posunutí úhlu θ bude větší.