Jak najít zrychlení na nakloněné rovině: Komplexní průvodce

Pochopení toho, jak najít zrychlení na nakloněné rovině, je ve fyzice a mechanice zásadní. Nakloněná rovina označuje nakloněnou plochu, kde se objekt pohybuje pod vlivem gravitace. Zrychlení na nakloněné rovině závisí na různých faktorech, jako je úhel sklonu, přítomnost tření a hmotnost předmětu. V tomto příspěvku na blogu prozkoumáme metody výpočtu zrychlení na nakloněné rovině, a to jak bez tření, tak s třením, spolu s vypracovanými příklady.

Výpočet zrychlení na nakloněné rovině bez tření

Teoretické vysvětlení

Když se objekt pohybuje po nakloněné rovině bez jakéhokoli tření, čistá síla působící na objekt se rovná složce gravitační síly rovnoběžné s rovinou. Tato čistá síla způsobuje zrychlení objektu. Zrychlení lze vypočítat pomocí vzorce:

$a = \frac{g \sin(\theta)}{1 + \frac{m}{M}}$

Kde:
- $a$ je zrychlení
- $g$ je gravitační zrychlení (přibližně 9.8 m/s^2)
- $\ theta$ je úhel sklonu roviny
- $m$ je hmotnost objektu
- $M$ je hmotnost letadla (pokud existuje)

Matematický vzorec

Pro výpočet zrychlení na nakloněné rovině bez tření můžeme použít výše uvedený vzorec:

$a = \frac{g \sin(\theta)}{1 + \frac{m}{M}}$

Vypracovaný příklad

Podívejme se na příklad, abychom pochopili, jak vypočítat zrychlení na nakloněné rovině bez tření.

Příklad:
Předmět o hmotnosti 5 kg je umístěn na nakloněné rovině s úhlem sklonu 30 stupňů. Hmotnost letadla je zanedbatelná. Vypočítejte zrychlení objektu.

Řešení:
Použití vzorce pro zrychlení na nakloněné rovině bez tření:

$a = \frac{g \sin(\theta)}{1 + \frac{m}{M}}$

Dosazením zadaných hodnot:

$a = \frac{(9.8 \, m/s^2) \times \sin(30^\circ)}{1 + \frac{5}{0}}$

Zjednodušení rovnice:

$a = (9.8 \, m/s^2) \times \sin(30^\circ)$

$a = (9.8 \, m/s^2) \krát 0.5$

$a = 4.9 \, m/s^2$

Proto je zrychlení objektu na nakloněné rovině bez tření 4.9 m/s^2.

Určení zrychlení na nakloněné rovině s třením

Pochopení dopadu tření

V reálných scénářích hraje tření významnou roli při určování zrychlení objektu na nakloněné rovině. Tření brání pohybu předmětu, což má za následek snížení zrychlení. Sílu tření lze vypočítat pomocí rovnice:

$f = \mu \cdot N$

Kde:
- $f$ je síla tření
- $\ mu$ je koeficient tření
- $N$ je normálová síla, kterou na předmět působí nakloněná rovina

Úprava vzorce tak, aby zahrnoval tření

Abychom určili zrychlení na nakloněné rovině s třením, musíme upravit vzorec použitý pro případ bez tření:

$a = \frac{g \sin(\theta) - f}{1 + \frac{m}{M}}$

Kde:
- $a$ je zrychlení
- $g$ je gravitační zrychlení (přibližně 9.8 m/s^2)
- $\ theta$ je úhel sklonu roviny
- $f$ je síla tření
- $m$ je hmotnost objektu
- $M$ je hmotnost letadla (pokud existuje)

Vypracovaný příklad

Podívejme se na příklad, abychom pochopili, jak vypočítat zrychlení na nakloněné rovině s třením.

Viz také Jak najít největší zrychlení: Fakta, která neznáte!

Příklad:
Předmět o hmotnosti 10 kg je umístěn na nakloněné rovině s úhlem sklonu 45 stupňů. Součinitel tření mezi předmětem a rovinou je 0.3. Vypočítejte zrychlení objektu.

Řešení:
Použití vzorce pro zrychlení na nakloněné rovině s třením:

$a = \frac{g \sin(\theta) - f}{1 + \frac{m}{M}}$

Nejprve vypočítejme třecí sílu pomocí rovnice $f = \mu \cdot N$ .

Normální síla, $N$ , lze vypočítat jako $N = m \cdot g \cdot \cos(\theta$ ).

Dosazením zadaných hodnot:

$N = (10 \, kg) \cdot (9.8 \, m/s^2) \cdot \cos(45^\circ)$

$N = 10 \, kg \cdot 9.8 \, m/s^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$N = 49 \, N$

Nyní nahraďte hodnoty $g$ , $\ theta$ , $\ mu$ , $m$ , a $N$ do vzorce pro zrychlení:

$a = \frac{(9.8 \, m/s^2) \cdot \sin(45^\circ) - (0.3 \cdot 49 \, N)}{1 + \frac{10}{0}}$

Zjednodušení rovnice:

$a = \frac{(9.8 \, m/s^2) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - (0.3 \cdot 49 \, N)}{1}$

$a = \frac{(9.8 \, m/s^2) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 14.7 \, N}{1}$

$a \přibližně 2.55 \, m/s^2$

Proto je zrychlení objektu na nakloněné rovině s třením přibližně 2.55 m/s^2.

Hledání zrychlení různých objektů na nakloněné rovině

Obrázek by Pfd_plan_incline_avec_frottement.svg – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, licencováno pod CC BY-SA 3.0.

Zrychlení krabice na nakloněné rovině

Zrychlení krabice na nakloněné rovině lze určit pomocí stejných vzorců, o kterých jsme hovořili dříve. Je však důležité vzít v úvahu hmotnost krabice, úhel sklonu a přítomnost tření. Dosazením příslušných hodnot do vzorců lze vypočítat zrychlení boxu.

Zrychlení a rychlost objektu pohybujícího se na nakloněné rovině

Když se objekt pohybuje po nakloněné rovině, jak zrychlení, tak rychlost jsou ovlivněny faktory, jako je úhel sklonu a přítomnost tření. Zrychlení lze vypočítat pomocí výše uvedených vzorců. Kromě toho lze rychlost objektu určit pomocí rovnice:

$v = u + at$

Kde:
- $v$ je konečná rychlost objektu
- $u$ je počáteční rychlost objektu
- $a$ je zrychlení objektu
- $t$ je doba potřebná k tomu, aby objekt dosáhl konečné rychlosti

Vypracované příklady

Podívejme se na několik příkladů, abychom lépe pochopili koncepty zrychlení a rychlosti na nakloněné rovině.

Příklad 1:
Krabice o hmotnosti 2 kg je umístěna na nakloněné rovině s úhlem sklonu 60 stupňů. Součinitel tření mezi krabicí a rovinou je 0.2. Box startuje z klidu a po 5 sekundách je jeho rychlost 10 m/s. Vypočítejte zrychlení krabice.

Řešení:
Pomocí vzorce pro zrychlení na nakloněné rovině s třením, jak bylo uvedeno výše, můžeme vypočítat zrychlení:

$a = \frac{g \sin(\theta) - f}{1 + \frac{m}{M}}$

Dosazením zadaných hodnot:

$a = \frac{(9.8 \, m/s^2) \cdot \sin(60^\circ) - (0.2 \cdot N)}{1 + \frac{2}{0}}$

Pro výpočet normálové síly můžeme použít rovnici $N = m \cdot g \cdot \cos(\theta$ ).

Po zjištění zrychlení můžeme použít rovnici pro rychlost uvedenou dříve k výpočtu počáteční rychlosti:

$v = u + at$

Dosazením zadaných hodnot:

$10 \, m/s = 0 + a \cdot 5 \, s$

Zjednodušení rovnice:

$a = \frac{10 \, m/s}{5 \, s}$

$a = 2 \, m/s^2$

Proto je zrychlení krabice na nakloněné rovině 2 m/s^2.

Příklad 2:
Předmět o hmotnosti 4 kg je umístěn na nakloněné rovině s úhlem sklonu 30 stupňů. Součinitel tření mezi předmětem a rovinou je 0.4. Objekt začíná počáteční rychlostí 5 m/s. Vypočítejte konečnou rychlost předmětu po 6 sekundách.

Viz také Jak najít dostředivé zrychlení pomocí poloměru a času: Komplexní průvodce

Řešení:
Pomocí rovnice pro rychlost na nakloněné rovině, jak bylo zmíněno dříve, můžeme vypočítat konečnou rychlost:

$v = u + at$

Dosazením zadaných hodnot:

$v = 5 \, m/s + a \cdot 6 \, s$

Pro zjištění zrychlení můžeme použít vzorec pro zrychlení na nakloněné rovině s třením:

$a = \frac{g \sin(\theta) - f}{1 + \frac{m}{M}}$

Dosazením zadaných hodnot:

$a = \frac{(9.8 \, m/s^2) \cdot \sin(30^\circ) - (0.4 \cdot N)}{1 + \frac{4}{0}}$

Pro výpočet normálové síly můžeme použít rovnici $N = m \cdot g \cdot \cos(\theta$ ).

Po nalezení zrychlení můžeme hodnoty dosadit zpět do rovnice pro rychlost, abychom našli konečnou rychlost.

Řešením rovnic tedy můžeme vypočítat konečnou rychlost objektu po 6 sekundách.

Pochopení toho, jak najít zrychlení na nakloněné rovině, je nezbytné pro analýzu pohybu objektů na svazích. Zvážením faktorů, jako je tření, hmotnost a úhel sklonu, můžeme vypočítat zrychlení pomocí vhodných vzorců. Kromě toho koncepty zrychlení, rychlosti a vlivu tření na nakloněné rovině poskytují cenný pohled na dynamické chování objektů při pohybu nakloněné roviny. Procvičte si používání uvedených vzorců a příkladů, abyste zlepšili své porozumění a aplikaci těchto pojmů ve scénářích reálného světa.

Numerické úlohy o tom, jak najít zrychlení na nakloněné rovině

problém 1

Blok hmoty $m = 5$ kg je umístěn na nakloněné rovině s úhlem sklonu $\theta = 30^\circ$ . Součinitel tření mezi blokem a rovinou je $\u = 0.2$ . Najděte zrychlení bloku, když klouže po rovině.

Řešení:

Zadáno:
Hmotnost bloku, $m = 5$ kg
Úhel sklonu, $\theta = 30^\circ$
Koeficient tření, $\u = 0.2$

Abychom našli zrychlení bloku, musíme zvážit síly, které na něj působí. Gravitační sílu lze rozdělit na dvě složky: $mg\cos(\theta$ ) působící kolmo k rovině a $mg\sin(\theta$ ) působící rovnoběžně s rovinou.

Sílu tření působící na blok lze vypočítat jako $f = \mu N$ , Kde $N$ je normální síla. Normálovou sílu lze vypočítat jako $N = mg\cos(\theta$ ).

Čistá síla působící na blok rovnoběžný s rovinou je dána vztahem $F_{\text{net}} = mg\sin(\theta$ – f = mgsin $\ theta$ – mu mgcos $\ theta$ ).

Pomocí druhého Newtonova pohybového zákona $F_{\text{net}} = ma$ , Kde $a$ je zrychlení, můžeme pro zrychlení vyřešit:

$mg\sin(\theta) - \mu mg\cos(\theta) = ma$

$a = g(\sin(\theta) - \mu\cos(\theta))$

Dosazením zadaných hodnot máme:

$a = 9.8\, \text{m/s}^2(\sin(30^\circ) - 0.2\cos(30^\circ))$

$a = 9.8\, \text{m/s}^2(0.5–0.2(0.866))$

$a \cca 2.991\, \text{m/s}^2$

Proto je zrychlení bloku při klouzání dolů po nakloněné rovině přibližně $2.991$ m/s².

problém 2

Mramor hmoty $m = 0.2$ kg se uvolní z klidu na nakloněné rovině s úhlem sklonu $\theta = 45^\circ$ . Koeficient tření mezi mramorem a rovinou je $\u = 0.1$ . Najděte zrychlení mramoru, když klouže po rovině.

Řešení:

Zadáno:
Mramorová hmota, $m = 0.2$ kg
Úhel sklonu, $\theta = 45^\circ$
Koeficient tření, $\u = 0.1$

Abychom našli zrychlení mramoru, musíme zvážit síly, které na něj působí. Gravitační sílu lze rozdělit na dvě složky: $mg\cos(\theta$ ) působící kolmo k rovině a $mg\sin(\theta$ ) působící rovnoběžně s rovinou.

Viz také 19+ Příklady jaderných sil: Podrobné vysvětlení

Sílu tření působící na mramor lze vypočítat jako $f = \mu N$ , Kde $N$ je normální síla. Normálovou sílu lze vypočítat jako $N = mg\cos(\theta$ ).

Čistá síla působící na mramor rovnoběžný s rovinou je dána $F_{\text{net}} = mg\sin(\theta$ – f = mgsin $\ theta$ – mu mgcos $\ theta$ ).

Pomocí druhého Newtonova pohybového zákona $F_{\text{net}} = ma$ , Kde $a$ je zrychlení, můžeme pro zrychlení vyřešit:

$mg\sin(\theta) - \mu mg\cos(\theta) = ma$

$a = g(\sin(\theta) - \mu\cos(\theta))$

Dosazením zadaných hodnot máme:

$a = 9.8\, \text{m/s}^2(\sin(45^\circ) - 0.1\cos(45^\circ))$

$a = 9.8\, \text{m/s}^2(0.707–0.1(0.707))$

$a \cca 6.773\, \text{m/s}^2$

Proto je zrychlení mramoru při klouzání po nakloněné rovině přibližně $6.773$ m/s².

problém 3

Obrázek by Reaction_support_avec_et_sans_frottement_alt.svg – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, licencováno pod CC BY-SA 3.0.

Masivní auto $m = 1000$ kg se pohybuje po nakloněné rovině s úhlem sklonu $\theta = 10^\circ$ konstantní rychlostí. Součinitel tření mezi autem a letadlem je $\u = 0.3$ . Najděte sílu vyvíjenou motorem k udržení konstantní rychlosti vozu.

Řešení:

Zadáno:
hmotnost vozu, $m = 1000$ kg
Úhel sklonu, $\theta = 10^\circ$
Koeficient tření, $\u = 0.3$

Abychom našli sílu vyvíjenou motorem k udržení konstantní rychlosti vozu, musíme zvážit síly, které na něj působí. Gravitační sílu lze rozdělit na dvě složky: $mg\cos(\theta$ ) působící kolmo k rovině a $mg\sin(\theta$ ) působící rovnoběžně s rovinou.

Sílu tření působící na vůz lze vypočítat jako $f = \mu N$ , Kde $N$ je normální síla. Normálovou sílu lze vypočítat jako $N = mg\cos(\theta$ ).

Protože se vůz pohybuje konstantní rychlostí, čistá síla působící na vůz podél roviny je nulová. Síla, kterou působí motor, je tedy rovna velikosti a opačného směru než síla tření:

$F_{\text{engine}} = f = \mu mg\cos(\theta)$

Dosazením zadaných hodnot máme:

$F_{\text{engine}} = 0.3(1000\, \text{kg})(9.8\, \text{m/s}^2)\cos(10^\circ)$

$F_{\text{engine}} \cca 285.642\, \text{N}$

Síla vyvíjená motorem k udržení konstantní rychlosti vozu je tedy přibližně $285.642$ N.

Také čtení:

TechieScience Core SME

Základní tým TechieScience pro malé a střední podniky je skupina zkušených odborníků z různých vědeckých a technických oborů včetně fyziky, chemie, technologie, elektroniky a elektrotechniky, automobilového průmyslu a strojního inženýrství. Náš tým spolupracuje na vytváření vysoce kvalitních, dobře prozkoumaných článků o široké škále vědeckých a technologických témat pro web TechieScience.com.

Všechny naše senior SME mají více než 7 let zkušeností v příslušných oborech. Jsou to buď profesionálové z pracovního průmyslu, nebo jsou spojeni s různými univerzitami. Odkazovat Naši autoři Stránka, kde se dozvíte o našich základních malých a středních podnicích.

techiescience.com