Jak najít zrychlení v kladkovém systému: Komplexní průvodce

V kladkovém systému je pochopení a výpočet zrychlení zásadní pro analýzu dynamiky a chování systému. Akcelerace určuje, jak rychle se mění rychlost objektu v průběhu času. Je to základní koncept ve fyzice a inženýrství, zejména při řešení kladkových systémů. V tomto příspěvku na blogu prozkoumáme, jak najít zrychlení v systému kladek, včetně účinků tření a více kladek.

Jak najít zrychlení v kladkovém systému

Význam zrychlení v kladkovém systému

Zrychlení hraje zásadní roli při určování rychlosti rotace, napětí v lanech nebo pásech a sil působících na systém. Díky znalosti zrychlení můžeme analyzovat a předvídat chování systému kladek, což nám umožňuje přijímat informovaná rozhodnutí v oblasti konstrukce a designu.

Podrobný průvodce výpočtem zrychlení v systému kladek

Abychom našli zrychlení v kladkovém systému, musíme postupovat krok za krokem:

Identifikujte předměty a jejich hmotnosti: Určete hmotnosti předmětů zapojených do systému kladek. Označme masy jako $m_1$ a $m_2$ .
Určete působící síly: Určete síly působící na předměty. Hlavní síly působící v kladkovém systému jsou gravitační síla (váha) a tah.
Použijte druhý Newtonův pohybový zákon: Použijte rovnici $F = ma$ , Kde $F$ je čistá síla působící na předmět, $m$ je hmotnost předmětu a $a$ je zrychlení.
Zohledněte směr sil: Při aplikaci druhého Newtonova zákona zvažte směr sil. Velikosti sil závisí na směru zrychlení.
Vyřešte soustavu rovnic: Na základě získaných informací sestavte soustavu rovnic na základě sil a zrychlení. Vyřešte systém, abyste našli zrychlení $\(A$ ).

Vypracované příklady hledání zrychlení v kladkovém systému

Pojďme si projít několik příkladů, které ilustrují, jak najít zrychlení v kladkovém systému.

Příklad 1:

Zvažte systém kladek se dvěma hmotnostmi: $m_1 = 2 \, \text{kg}$ a $m_2 = 3 \, \text{kg}$ . Řemenice je bez tření. Jaké je zrychlení systému?

Krok 1: Identifikujte objekty a jejich hmotnosti. $m_1 = 2 \, \text{kg}$ a $m_2 = 3 \, \text{kg}$ .
Krok 2: Určete použité síly. Máme váhu $\(mg$ ) a napětí $\(T$ ).
Krok 3: Aplikujte druhý Newtonův pohybový zákon. Pro $m_1$ : $m_1a = m_1g - T$ . Forum $m_2$ : $m_2a = T - m_2g$ .
Krok 4: Zohledněte směr sil. Všimněte si, že směr zrychlení určuje směr sil.
Krok 5: Řešte soustavu rovnic. Spojením dvou rovnic dostaneme $a = \frac{{m_1g - m_2g}}{{m_1 + m_2}}$ .

Viz také Tok statické elektřiny: 13 faktů, které většina začátečníků neví

Dosazením daných hodnot máme

*** QuickLaTeX nemůže zkompilovat vzorec: a = \frac{{2(9.8 *** Chybová zpráva: Soubor byl ukončen při skenování pomocí \frac. Nouzové zastavení.

- 3 $9.8)}}{{2 + 3}} = -1.96 \, \text{m/s}^2$ .

Příklad 2:

Nyní uvažujme kladkový systém se dvěma hmotnostmi: $m_1 = 4 \, \text{kg}$ a $m_2 = 6 \, \text{kg}$ . Tentokrát dochází ke tření mezi kladkou a lanem. Jaké je zrychlení systému?

Krok 1: Identifikujte objekty a jejich hmotnosti. $m_1 = 4 \, \text{kg}$ a $m_2 = 6 \, \text{kg}$ .
Krok 2: Určete použité síly. Máme váhu $\(mg$ ), napětí $\(T$ ) a tření $\(F$ ).
Krok 3: Aplikujte druhý Newtonův pohybový zákon. Pro $m_1$ : $m_1a = m_1g - T + f$ . Forum $m_2$ : $m_2a = T - m_2g - f$ .
Krok 4: Zohledněte směr sil. Při zvažování směru sil vezměte v úvahu směr zrychlení.
Krok 5: Řešte soustavu rovnic. Spojením dvou rovnic dostaneme $a = \frac{{m_1g - m_2g}}{{m_1 + m_2}}$ .

Dosazením daných hodnot máme

*** QuickLaTeX nemůže zkompilovat vzorec: a = \frac{{4(9.8 *** Chybová zpráva: Soubor byl ukončen při skenování pomocí \frac. Nouzové zastavení.

- 6 $9.8)}}{{4 + 6}} = -0.98 \, \text{m/s}^2$ .

Řešení tření v kladkovém systému

Jak tření ovlivňuje zrychlení v systému kladek

Tření v systému kladek může významně ovlivnit zrychlení systému. Tření brání pohybu kladky, což způsobuje snížení čisté síly dostupné pro urychlení hmot. V důsledku toho bude zrychlení nižší než u systému bez tření.

Výpočet zrychlení v kladkovém systému s třením

Když se zabýváme třením v kladkovém systému, musíme upravit naše rovnice z dříve. Rovnice pro zrychlení je:

$a = \frac{{m_1g - m_2g - f}}{{m_1 + m_2}}$

Kde $f$ je třecí síla mezi kladkou a lanem.

Výpočet zrychlení v kladkovém systému bez tření

V kladkovém systému bez tření se rovnice pro zrychlení zjednodušuje na:

$a = \frac{{m_1g - m_2g}}{{m_1 + m_2}}$

Pokročilé koncepce: Systémy s více kladkami

Porozumění systémům více kladek

Ve složitějších scénářích se můžeme setkat s kladkovými systémy s více kladkami. Tyto systémy zahrnují více lan nebo pásů, z nichž každý je ovinut kolem různých kladek. Každá další kladka vnáší do systému větší složitost, ale principy zůstávají stejné.

Jak určit zrychlení v systémech s více kladkami

Pro stanovení zrychlení ve více kladkových systémech postupujeme podobnými kroky jako dříve. Musíme však zvážit každé lano nebo řemen samostatně, přičemž musíme vzít v úvahu napětí a síly působící na každou kladku.

Vypracované příklady zrychlení hledání v systémech s více kladkami

Uvažujme příklad systému s více kladkami pro ilustraci výpočtu zrychlení.

Příklad:

Předpokládejme, že máme systém se třemi kladkami s hmotností $m_1 = 2 \, \text{kg}$ , $m_2 = 3 \, \text{kg}$ , a $m_3 = 4 \, \text{kg}$ . Kladky jsou bez tření. Jaké je zrychlení systému?

Viz také Proč má světlo vlastnosti podobné částicím? Odhalování tajemství fotonů

Abychom tento problém vyřešili, musíme zvážit síly a napětí v každém laně nebo pásu připojeném ke kladkám. Analýzou systému a dodržováním výše uvedených kroků můžeme vypočítat zrychlení.

Pochopení toho, jak najít zrychlení v systému kladek, je klíčové pro analýzu a navrhování účinných mechanických systémů. Sledováním tohoto podrobného průvodce a zvážením faktorů, jako je tření a více kladek, můžeme přesně vypočítat zrychlení a předpovědět chování systému. Tyto znalosti jsou neocenitelné pro inženýry, fyziky a každého, kdo se zabývá systémy kladek v různých aplikacích.

Numerické úlohy o tom, jak najít zrychlení v kladkovém systému

1 problém:

Systém kladek se skládá z bezhmotné kladky a dvou hmot, jak je znázorněno níže. Hmotnost většího předmětu je 5 kg a hmotnost menšího předmětu je 3 kg. Kladka má poloměr 0.5m. Najděte zrychlení systému.

[latex]Systém kladky[/latex](https://i.imgur.com/5HWuUwH.png)

Řešení:

Předpokládejme, že zrychlení systému je označeno 'a'. K vyřešení 'a' můžeme použít druhý Newtonův zákon.

Pro větší hmotnost:
$F_{1} = m_{1} \cdot a$

Pro menší hmotnost:
$F_{2} = m_{2} \cdot a$

Vzhledem k tomu, že kladka je bez hmoty, bude napětí ve struně na obou stranách kladky stejné. Označme napětí ve struně jako 'T'. Pak máme:

$F_{1} – F_{2} = T$

Nahrazení hodnot $F_{1}$ a $F_{2}$ , dostaneme:

$m_{1} \cdot a - m_{2} \cdot a = T$

Protože kladka má poloměr 0.5 m, rozdíl v délkách strun na obou stranách kladky je $0.5 \cdot 2\pi = \pi$ metrů. To znamená, že rozdíl v napětí ve strunách je $T_{1} - T_{2} = \pi \cdot r$ , kde 'r' je poloměr řemenice.

Pro větší hmotnost:
$T_{1} - m_{1} \cdot g = m_{1} \cdot a$

Pro menší hmotnost:
$m_{2} \cdot g - T_{2} = m_{2} \cdot a$

Nahrazení $T_{1} = T_{2} + \pi \cdot r$ do výše uvedených rovnic dostaneme:

$T_{2} + \pi \cdot r - m_{1} \cdot g = m_{1} \cdot a$
$m_{2} \cdot g - T_{2} = m_{2} \cdot a$

Zjednodušením těchto rovnic máme:

$T_{2} = m_{1} \cdot a - \pi \cdot r + m_{1} \cdot g$
$T_{2} = m_{2} \cdot a + m_{2} \cdot g$

Nastavením těchto dvou výrazů na sebe navzájem můžeme vyřešit „a“:

$m_{1} \cdot a - \pi \cdot r + m_{1} \cdot g = m_{2} \cdot a + m_{2} \cdot g$

Při dalším zjednodušení dostáváme:

$(m_{1} - m_{2}) \cdot a = \pi \cdot r + g \cdot (m_{1} + m_{2})$

Nakonec můžeme vyřešit pro „a“:

$a = \frac{{\pi \cdot r + g \cdot (m_{1} + m_{2})}}{{m_{1} - m_{2}}}$

Dosazením zadaných hodnot máme:

$a = \frac{{\pi \cdot 0.5 + 9.8 \cdot (5 + 3)}}{{5 - 3}}$

$a = \frac{{0.5\pi + 78.4}}{{2}}$

Proto je zrychlení systému přibližně $0.5\pi + 39.2$ m/s².

2 problém:

Systém kladek se skládá z bezhmotné kladky a dvou hmot, jak je znázorněno níže. Hmotnost většího předmětu je 7 kg a hmotnost menšího předmětu je 4 kg. Kladka má poloměr 0.8m. Najděte zrychlení systému.

Viz také Jak najít zrychlení v důsledku gravitace v kyvadle: Průvodce krok za krokem

[latex]Systém kladky[/latex](https://i.imgur.com/5HWuUwH.png)

Řešení:

Stejným postupem jako v úloze 1 můžeme napsat rovnice pro systém:

Pro větší hmotnost:
$T_{1} - m_{1} \cdot g = m_{1} \cdot a$

Pro menší hmotnost:
$m_{2} \cdot g - T_{2} = m_{2} \cdot a$

Nahrazení $T_{1} = T_{2} + \pi \cdot r$ do výše uvedených rovnic dostaneme:

$T_{2} + \pi \cdot r - m_{1} \cdot g = m_{1} \cdot a$
$m_{2} \cdot g - T_{2} = m_{2} \cdot a$

Zjednodušením těchto rovnic máme:

$T_{2} = m_{1} \cdot a - \pi \cdot r + m_{1} \cdot g$
$T_{2} = m_{2} \cdot a + m_{2} \cdot g$

Nastavením těchto dvou výrazů na sebe navzájem můžeme vyřešit „a“:

$m_{1} \cdot a - \pi \cdot r + m_{1} \cdot g = m_{2} \cdot a + m_{2} \cdot g$

Při dalším zjednodušení dostáváme:

$(m_{1} - m_{2}) \cdot a = \pi \cdot r + g \cdot (m_{1} + m_{2})$

Nakonec můžeme vyřešit pro „a“:

$a = \frac{{\pi \cdot r + g \cdot (m_{1} + m_{2})}}{{m_{1} - m_{2}}}$

Dosazením zadaných hodnot máme:

$a = \frac{{\pi \cdot 0.8 + 9.8 \cdot (7 + 4)}}{{7 - 4}}$

$a = \frac{{0.8\pi + 102.6}}{{3}}$

Proto je zrychlení systému přibližně $0.8\pi + 34.2$ m/s².

3 problém:

Systém kladek se skládá z bezhmotné kladky a dvou hmot, jak je znázorněno níže. Hmotnost většího předmětu je 6 kg a hmotnost menšího předmětu je 2 kg. Kladka má poloměr 1m. Najděte zrychlení systému.

[latex]Systém kladky[/latex](https://i.imgur.com/5HWuUwH.png)

Řešení:

Stejným postupem jako v Úloze 1 a Úloze 2 můžeme napsat rovnice pro systém:

Pro větší hmotnost:
$T_{1} - m_{1} \cdot g = m_{1} \cdot a$

Pro menší hmotnost:
$m_{2} \cdot g - T_{2} = m_{2} \cdot a$

Nahrazení $T_{1} = T_{2} + \pi \cdot r$ do výše uvedených rovnic dostaneme:

$T_{2} + \pi \cdot r - m_{1} \cdot g = m_{1} \cdot a$
$m_{2} \cdot g - T_{2} = m_{2} \cdot a$

Zjednodušením těchto rovnic máme:

$T_{2} = m_{1} \cdot a - \pi \cdot r + m_{1} \cdot g$
$T_{2} = m_{2} \cdot a + m_{2} \cdot g$

Nastavením těchto dvou výrazů na sebe navzájem můžeme vyřešit „a“:

$m_{1} \cdot a - \pi \cdot r + m_{1} \cdot g = m_{2} \cdot a + m_{2} \cdot g$

Při dalším zjednodušení dostáváme:

$(m_{1} - m_{2}) \cdot a = \pi \cdot r + g \cdot (m_{1} + m_{2})$

Nakonec můžeme vyřešit pro „a“:

$a = \frac{{\pi \cdot r + g \cdot (m_{1} + m_{2})}}{{m_{1} - m_{2}}}$

Dosazením zadaných hodnot máme:

$a = \frac{{\pi \cdot 1 + 9.8 \cdot (6 + 2)}}{{6 - 2}}$

$a = \frac{{\pi + 78.4}}{{4}}$

Proto je zrychlení systému přibližně $\frac{{\pi + 78.4}}{{4}}$ m/s².

Také čtení:

TechieScience Core SME

Základní tým TechieScience pro malé a střední podniky je skupina zkušených odborníků z různých vědeckých a technických oborů včetně fyziky, chemie, technologie, elektroniky a elektrotechniky, automobilového průmyslu a strojního inženýrství. Náš tým spolupracuje na vytváření vysoce kvalitních, dobře prozkoumaných článků o široké škále vědeckých a technologických témat pro web TechieScience.com.

Všechny naše senior SME mají více než 7 let zkušeností v příslušných oborech. Jsou to buď profesionálové z pracovního průmyslu, nebo jsou spojeni s různými univerzitami. Odkazovat Naši autoři Stránka, kde se dozvíte o našich základních malých a středních podnicích.

techiescience.com