Jak najít počet zrychlení: Komplexní průvodce

Jak najít zrychlení v kalkulu

Obrázek by Fred Oyster – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, licencováno pod CC BY-SA 4.0.

Zrychlení je základní koncept v počtu, který nám umožňuje pochopit, jak se mění rychlost objektu v čase. Výpočtem zrychlení můžeme získat náhled na různé aspekty pohybu objektu, jako je jeho poloha, rychlost a směr. V tomto příspěvku na blogu prozkoumáme, jak najít zrychlení v kalkulu, krok za krokem, s jasnými příklady a relevantními vzorci.

Jak vypočítat zrychlení z rychlosti v Calculus

Rychlost je rychlost, kterou se mění poloha objektu s ohledem na čas. Abychom vypočítali zrychlení z rychlosti, musíme vzít derivaci funkce rychlosti s ohledem na čas.

Podrobný průvodce hledáním zrychlení z rychlosti

Zde jsou kroky k výpočtu zrychlení z dané funkce rychlosti:

Začněte s funkcí rychlosti, označovanou jako v(t), kde t představuje čas.
Vezměme derivaci funkce rychlosti vzhledem k času, která nám dá funkci zrychlení, označovanou jako a(t). Matematicky to může být reprezentováno jako:

$a(t) = \frac{d}{dt}(v(t))$

Tato rovnice představuje rychlost změny rychlosti v závislosti na čase, což je definice zrychlení.

Zjednodušte derivaci použitím pravidel počtu, jako je mocninné pravidlo, pravidlo součinu nebo řetězové pravidlo, v závislosti na složitosti funkce rychlosti.

Vypracovaný příklad: Výpočet zrychlení z dané rychlostní funkce

Podívejme se na jednoduchý příklad. Předpokládejme, že funkce rychlosti objektu je dána vztahem:

$v(t) = 3t^2 + 2t + 1$

Abychom našli funkci zrychlení, diferencujeme funkci rychlosti s ohledem na čas:

$a(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 + 2t + 1)$

Použitím mocninného pravidla dostaneme:

$a(t) = 6t + 2$

Funkce zrychlení pro tento příklad tedy je $a(t) = 6t + 2$ .

Zvláštní případ: Nalezení zrychlení, když je rychlost nula

Mohou nastat případy, kdy se rychlost objektu stane nulovou. V takových případech můžeme zrychlení najít derivací funkce rychlosti a dosazením hodnoty času, kdy je rychlost nula, do výsledné funkce zrychlení.

Viz také Jak zjistit míru zrychlení (vysvětleno pro začátečníky)

Jak určit polohu ze zrychlení v kalkulu

Poloha je umístění objektu vzhledem k referenčnímu bodu. Abychom mohli určit polohu ze zrychlení, musíme integrovat funkci zrychlení s ohledem na čas.

Proces hledání pozice z akcelerace

Zde jsou kroky k určení polohy z dané funkce zrychlení:

Začněte s funkcí zrychlení, označovanou jako a(t).
Integrujeme funkci zrychlení s ohledem na čas, čímž získáme rychlostní funkci označovanou jako v(t). Matematicky to může být reprezentováno jako:

$v(t) = \int a(t) \,dt$

Tato rovnice představuje akumulaci zrychlení v čase, která nám udává rychlost.

Integrujte funkci rychlosti s ohledem na čas, abyste získali polohovou funkci, označovanou jako s(t). Matematicky to může být reprezentováno jako:

$s(t) = \int v(t) \,dt$

Tato rovnice představuje akumulaci rychlosti v čase, která nám udává polohu.

Vypracovaný příklad: Určení polohy z dané funkce zrychlení

Podívejme se na jednoduchý příklad. Předpokládejme, že funkce zrychlení objektu je dána:

$a(t) = 2t + 3$

Abychom našli funkci polohy, nejprve integrujeme funkci zrychlení s ohledem na čas:

$v(t) = \int (2t + 3) \,dt$

Pomocí mocninného pravidla pro integraci získáme:

$v(t) = t^2 + 3t + C_1$

Dále integrujeme funkci rychlosti, abychom získali polohovou funkci:

$s(t) = \int (t^2 + 3t + C_1) \,dt$

Opět pomocí pravidla moci pro integraci získáme:

$s(t) = \frac{1}{3}t^3 + \frac{3}{2}t^2 + C_1t + C_2$

Funkce polohy pro tento příklad tedy je $s(t) = \frac{1}{3}t^3 + \frac{3}{2}t^2 + C_1t + C_2$ .

Zkoumání maximálního a minimálního zrychlení v kalkulu

Kromě výpočtu zrychlení z rychlosti a určení polohy ze zrychlení můžeme také prozkoumat koncepty maximálního a minimálního zrychlení.

Jak identifikovat maximální zrychlení

Abychom identifikovali maximální zrychlení, musíme najít kritické body funkce zrychlení. Tyto kritické body se vyskytují tam, kde je derivace funkce zrychlení rovna nule nebo není definována. Analýzou těchto kritických bodů můžeme určit maximální zrychlení.

Viz také 11 Příklady úhlového zrychlení: Detailní pohled a fakta

Jak zjistit minimální zrychlení

Podobně, abychom identifikovali minimální zrychlení, musíme najít kritické body funkce zrychlení. V tomto případě však analyzujeme kritické body, abychom určili minimální zrychlení.

Vypracované příklady: Nalezení maximálního a minimálního zrychlení

Podívejme se na příklad. Předpokládejme, že funkce zrychlení objektu je dána:

$a(t) = 4t^3 - 6t^2$

Abychom našli kritické body, rozlišujeme funkci zrychlení s ohledem na čas:

$a'(t) = \frac{d}{dt}(4t^3 - 6t^2)$

Použitím mocninného pravidla dostaneme:

$a'(t) = 12t^2 - 12t$

Dále řešíme kritické body nastavením derivace na nulu a řešením pro t:

$12t^2 - 12t = 0$

Vypočteme-li 12t, máme:

$12t(t-1) = 0$

Nastavením každého faktoru na nulu najdeme kritické body při t = 0 a t = 1.

Dosazením těchto hodnot zpět do původní funkce zrychlení můžeme určit odpovídající maximální a minimální zrychlení.

V kalkulu je nalezení zrychlení klíčové pro pochopení pohybu objektu. Výpočtem zrychlení z rychlosti, určením polohy ze zrychlení a zkoumáním maximálního a minimálního zrychlení můžeme získat cenné poznatky o různých aspektech pohybu. Nezapomeňte postupovat podle pokynů krok za krokem, vypracovat příklady a používat příslušné vzorce, abyste lépe pochopili, jak najít zrychlení v kalkulu. Hodně štěstí při počítání!

Numerické úlohy o tom, jak najít počet zrychlení

1 problém:

Částice se pohybuje po přímce s funkcí rychlosti danou vztahem:

$v(t) = 3t^2 - 4t + 2$

Najděte zrychlení částice v čase $t = 2$ .

Řešení:

Vzhledem k tomu $v(t) = 3t^2 - 4t + 2$ , zrychlení lze najít pomocí derivace funkce rychlosti s ohledem na čas:

$a(t) = \frac{dv}{dt}$

Pomocí mocninného pravidla pro derivace máme:

$a(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 4t + 2) = 6t - 4$

Nahrazení $t = 2$ do funkce zrychlení dostaneme:

$a(2) = 6(2) - 4 = 12 - 4 = 8$

Proto zrychlení částice v čase $t = 2$ is $8$ .

Viz také Jaký je význam fotoelektrického jevu? Odhalování tajemství světla a elektronů

2 problém:

Automobil se pohybuje po rovné silnici a jeho rychlostní funkce je dána vztahem:

$v(t) = 4t^3 - 6t^2 + 2t - 1$

Určete zrychlení vozu v čase $t = 1$ .

Řešení:

Je nám to dáno $v(t) = 4t^3 - 6t^2 + 2t - 1$ , a musíme najít zrychlení na $t = 1$ .

Abychom našli zrychlení, diferencujeme funkci rychlosti s ohledem na čas:

$a(t) = \frac{d}{dt}(4t^3 - 6t^2 + 2t - 1) = 12t^2 - 12t + 2$

Nahrazení $t = 1$ do funkce zrychlení dostaneme:

$a(1) = 12(1)^2 - 12(1) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2$

Proto zrychlení vozu v čase $t = 1$ is $2$ .

3 problém:

Částice se pohybuje po přímce s funkcí rychlosti danou vztahem:

$v(t) = 2t^3 - 3t^2 + 4t - 1$

Najděte zrychlení částice, kdy $t = 3$ .

Řešení:

Vzhledem k tomu $v(t) = 2t^3 - 3t^2 + 4t - 1$ , musíme najít zrychlení na $t = 3$ .

Abychom našli zrychlení, diferencujeme funkci rychlosti s ohledem na čas:

$a(t) = \frac{d}{dt}(2t^3 - 3t^2 + 4t - 1) = 6t^2 - 6t + 4$

Nahrazení $t = 3$ do funkce zrychlení dostaneme:

$a(3) = 6(3)^2 - 6(3) + 4 = 54 - 18 + 4 = 40$

Proto zrychlení částice, když $t = 3$ is $40$ .

Také čtení:

TechieScience Core SME

Základní tým TechieScience pro malé a střední podniky je skupina zkušených odborníků z různých vědeckých a technických oborů včetně fyziky, chemie, technologie, elektroniky a elektrotechniky, automobilového průmyslu a strojního inženýrství. Náš tým spolupracuje na vytváření vysoce kvalitních, dobře prozkoumaných článků o široké škále vědeckých a technologických témat pro web TechieScience.com.

Všechny naše senior SME mají více než 7 let zkušeností v příslušných oborech. Jsou to buď profesionálové z pracovního průmyslu, nebo jsou spojeni s různými univerzitami. Odkazovat Naši autoři Stránka, kde se dozvíte o našich základních malých a středních podnicích.

techiescience.com