Jak vypočítat konečnou rychlost v kapalinách: Komplexní průvodce

by

Jak vypočítat konečnou rychlost v kapalinách

Koncová rychlost je důležitý pojem v dynamice tekutin, který popisuje maximální rychlost, kterou může objekt propadnout tekutinou. Je to nezbytný výpočet v různých oblastech, včetně fyziky a inženýrství. V tomto příspěvku na blogu prozkoumáme fyziku za terminální rychlostí, matematický vzorec používaný k jejímu výpočtu a poskytneme příklady, které vám pomohou lépe porozumět tomuto konceptu.

Pochopení terminální rychlosti v kapalinách

Než se ponoříme do výpočtů, nejprve si ujasněme, jaká je konečná rychlost v kapalinách. Když předmět propadne tekutinou, jako je vzduch nebo voda, zažije dvě protichůdné síly: gravitaci, která jej táhne dolů, a odpor tekutiny, který na něj tlačí. Zpočátku se objekt zrychluje vlivem gravitační síly. S rostoucí rychlostí se však zvyšuje i odpor tekutiny, až do bodu, kdy se obě síly vzájemně vyrovnají. V tomto bodě objekt dosáhne své konečné rychlosti a pokračuje v pádu konstantní rychlostí.

Význam výpočtu koncové rychlosti v kapalinách

Výpočet koncové rychlosti je zásadní v mnoha reálných scénářích. Inženýři například potřebují určit konečnou rychlost předmětů, které propadají kapalinami, jako jsou padáky nebo parašutisté, aby byla zajištěna jejich bezpečnost a účinnost. Pochopení terminální rychlosti také pomáhá při studiu dynamiky tekutin, jako je chování tekutin v potrubí, řekách a oceánech.

Fyzika za konečnou rychlostí

Koncová rychlost je ovlivněna dvěma primárními faktory: rolí gravitace a vlivem odporu tekutiny.

Role gravitace v terminální rychlosti

Gravitace hraje významnou roli při určování konečné rychlosti objektu. Když předmět padá, zrychluje se vlivem gravitační síly. Zrychlení, označované „g“, závisí na síle gravitačního pole tekutiny a na Zemi je přibližně 9.8 m/s². Zpočátku se rychlost objektu zvyšuje, ale nakonec dosáhne bodu, kdy je gravitační síla vyvážena odporem tekutiny, což má za následek konstantní rychlost.

Vliv odporu tekutin na konečnou rychlost

Odpor tekutiny, také známý jako odporová síla, je síla, kterou působí tekutina na padající předmět v opačném směru. Velikost této síly závisí na faktorech, jako je tvar objektu, velikost a viskozita tekutiny. Čím větší je odpor tekutiny, tím pomaleji objekt dosáhne své konečné rychlosti. To je důvod, proč objekty s větší plochou, jako jsou padáky, mají nižší konečnou rychlost ve srovnání s menšími objekty.

Rovnováha mezi gravitační silou a silou odporu

Při konečné rychlosti se gravitační síla tahající objekt směrem dolů rovná odporu tekutiny, která na něj tlačí. Tato rovnováha sil způsobí, že předmět padá konstantní rychlostí. Je důležité poznamenat, že konečná rychlost se liší pro různé objekty padající stejnou tekutinou. Faktory jako tvar, velikost a hmotnost objektu ovlivňují konečnou rychlost.

Matematický vzorec pro výpočet konečné rychlosti

jak vypočítat konečnou rychlost v kapalinách
Obrázek by Bernard de Go Mars – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, licencováno pod CC BY-SA 4.0.
konečná rychlost v kapalinách 1

Pro výpočet konečné rychlosti předmětu padajícího tekutinou můžeme použít následující vzorec:

v_t = \sqrt{\frac{2mg}{ρAC_d}}

Kde:
- v_t je koncová rychlost
- m je hmotnost objektu
- g je gravitační zrychlení
- ρ je hustota tekutiny
- A je plocha průřezu objektu
- CD je koeficient odporu vzduchu

Odvození vzorce pro konečnou rychlost

Vzorec konečné rychlosti lze odvodit pomocí principů mechaniky tekutin a počtu. Pro zjednodušení však vynecháme odvozování a zaměříme se na pochopení zahrnutých proměnných.

Proměnné ve vzorci terminálové rychlosti

Pojďme si rozebrat proměnné použité ve vzorci terminální rychlosti:

  • m: Hmotnost padajícího předmětu. Těžší předměty mívají vyšší konečnou rychlost.
  • g: Gravitační zrychlení. Tato hodnota je na Zemi přibližně 9.8 m/s².
  • ρ: Hustota tekutiny, kterou objekt padá. Tato hodnota závisí na konkrétní kapalině a její teplotě.
  • A: Plocha průřezu objektu. Objekty s větším povrchem mají větší odpor vůči tekutinám, a proto mají nižší konečnou rychlost.
  • CD: Koeficient odporu vzduchu. Tento koeficient závisí na tvaru předmětu a viskozitě kapaliny. Různé objekty mají různé koeficienty odporu.

Zjednodušení vzorce pro konečnou rychlost

I když se vzorec koncové rychlosti může zdát složitý, stane se jednodušším, když vezmete v úvahu konkrétní scénář, se kterým pracujete. V závislosti na vlastnostech objektu a tekutiny mohou některé proměnné rovnici rušit nebo dále zjednodušovat. Je důležité porozumět konkrétnímu kontextu a podle toho použít vzorec.

Příklady výpočtu koncové rychlosti v kapalinách

Podívejme se na několik příkladů, abychom lépe porozuměli tomu, jak vypočítat konečnou rychlost v různých tekutinách.

Výpočet koncové rychlosti ve vodě

Předpokládejme, že máme malou kouli o hmotnosti 0.5 kg padající vodou. Míč má plochu průřezu 0.1 m² a kapalina má hustotu 1000 kg/m³. Předpokládejme, že koeficient odporu pro míč ve vodě je 0.5.

Pomocí vzorce pro terminální rychlost můžeme vypočítat konečnou rychlost takto:

v_t = \sqrt{\frac{2 \krát 0.5 \krát 9.8}{1000 \krát 0.1 \krát 0.5}}

Po vyhodnocení výrazu zjistíme, že konečná rychlost koule ve vodě je přibližně 3.13 m/s.

Zjištění koncové rychlosti v jiných kapalinách

Stejný vzorec koncové rychlosti lze použít k výpočtu koncové rychlosti v jiných tekutinách, jako je vzduch. Jediným rozdílem by byly hodnoty příslušných proměnných. Pokud bychom například chtěli vypočítat konečnou rychlost objektu padajícího vzduchem, použili bychom hustotu vzduchu a příslušný koeficient odporu pro objekt ve vzduchu.

Běžné chyby, kterým je třeba se vyhnout při výpočtu konečné rychlosti

Při výpočtu koncové rychlosti je důležité vzít v úvahu jednotky proměnných a zajistit, aby byly konzistentní v celém vzorci. Navíc použití nesprávných hodnot proměnných nebo zanedbání faktorů, jako je koeficient odporu, může vést k nepřesným výsledkům. Před použitím vzorce vždy znovu zkontrolujte své výpočty a ujistěte se, že máte správné hodnoty.

Pochopením fyziky za koncovou rychlostí, příslušného matematického vzorce a procvičováním s příklady můžete s jistotou vypočítat koncovou rychlost v různých situacích s tekutinami. Nezapomeňte vzít v úvahu všechny faktory, které jsou ve hře, a použít vhodné vzorce, abyste zajistili přesné výsledky.

Numerické úlohy, jak vypočítat konečnou rychlost v kapalinách

konečná rychlost v kapalinách 3

1 problém:

konečná rychlost v kapalinách 2

Kulička o průměru 10 cm a hustotě 0.5 g/cm^3 se vhodí do nádrže s vodou. Vypočítejte konečnou rychlost koule za předpokladu, že koeficient odporu je 0.47.

Řešení:

Uvedené údaje:
Průměr koule, d = 10 cm
Hustota míče, \rho = 0.5 g/cm^3
koeficient odporu vzduchu, C_d = 0.47

Vzorec pro výpočet konečné rychlosti v kapalinách je dán takto:

[ v_t = \sqrt{\frac{{4 \cdot g \cdot d^2 \cdot (\rho - \rho_f)}}{{3 \cdot C_d \cdot \rho_f}}} ]

kde,
v_t - konečná rychlost
g – gravitační zrychlení
d – průměr koule
\ rho – hustota koule
\rho_f – hustota kapaliny
CD – koeficient odporu vzduchu

Dosazením zadaných hodnot dostaneme:

[ v_t = \sqrt{\frac{{4 \cdot 9.8 \cdot (10 \krát 10^{-2})^2 \cdot (0.5 - 1.0)}}{{3 \cdot 0.47 \cdot 1.0}}} ]

[ v_t = \sqrt{\frac{{4 \cdot 9.8 \cdot 10^2 \cdot (-0.5)}}{{3 \cdot 0.47}}} ]

[ v_t = \sqrt{\frac{{-1960}}{{1.41}}} ]

[ v_t \approx \sqrt{{-1389.36}} ]

Protože rychlost nemůže být záporná, konečná rychlost koule je v tomto případě 0.

2 problém:

jak vypočítat konečnou rychlost v kapalinách
Obrázek by Lookang – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, licencováno pod CC BY-SA 3.0.

Vzduchem padá válec o poloměru 5 cm a hustotě 1.2 g/cm^3. Vypočítejte konečnou rychlost válce za předpokladu, že koeficient odporu je 0.5.

Řešení:

Uvedené údaje:
Poloměr válce, r = 5 cm
Hustota válce, \rho = 1.2 g/cm^3
koeficient odporu vzduchu, C_d = 0.5

Vzorec pro výpočet konečné rychlosti v kapalinách je dán takto:

[ v_t = \sqrt{\frac{{4 \cdot g \cdot r^2 \cdot (\rho - \rho_f)}}{{3 \cdot C_d \cdot \rho_f}}} ]

kde,
v_t - konečná rychlost
g – gravitační zrychlení
r – poloměr válce
\ rho – hustota válce
\rho_f – hustota kapaliny
CD – koeficient odporu vzduchu

Dosazením zadaných hodnot dostaneme:

[ v_t = \sqrt{\frac{{4 \cdot 9.8 \cdot (5 \krát 10^{-2})^2 \cdot (1.2 - 1.2)}}{{3 \cdot 0.5 \cdot 1.2}}} ]

[ v_t = \sqrt{\frac{{0}}{{1.8}}} ]

[ v_t = \sqrt{{0}} ]

Protože rychlost je rovna 0, koncová rychlost válce je v tomto případě 0.

3 problém:

Koule o poloměru 8 cm a hustotě 0.8 g/cm^3 padá kapalinou. Vypočítejte konečnou rychlost koule za předpokladu, že koeficient odporu je 0.6.

Řešení:

Uvedené údaje:
Poloměr koule, r = 8 cm
Hustota koule, \rho = 0.8 g/cm^3
koeficient odporu vzduchu, C_d = 0.6

Vzorec pro výpočet konečné rychlosti v kapalinách je dán takto:

[ v_t = \sqrt{\frac{{4 \cdot g \cdot r^2 \cdot (\rho - \rho_f)}}{{3 \cdot C_d \cdot \rho_f}}} ]

kde,
v_t - konečná rychlost
g – gravitační zrychlení
r – poloměr koule
\ rho – hustota koule
\rho_f – hustota kapaliny
CD – koeficient odporu vzduchu

Dosazením zadaných hodnot dostaneme:

[ v_t = \sqrt{\frac{{4 \cdot 9.8 \cdot (8 \krát 10^{-2})^2 \cdot (0.8 - \rho_f)}}{{3 \cdot 0.6 \cdot \rho_f} }} ]

Vzhledem k hustotě kapaliny, \rho_f, není dáno, nemůžeme v tomto případě vypočítat přesnou konečnou rychlost bez znalosti hustoty tekutiny.

Také čtení: