Jak vypočítat pohyb projektilu: 3 důležité pojmy

Pohyb projektilu se vztahuje k dráze, po které objekt vystřelí do vzduchu pod vlivem gravitace s počáteční rychlostí. Pochopení, jak vypočítat pohyb projektilu, je ve fyzice zásadní a má různé praktické aplikace. V tomto příspěvku na blogu prozkoumáme klíčové komponenty pohybu projektilu, ponoříme se do příslušných výpočtů, prodiskutujeme speciální případy a poskytneme podrobné návody a příklady pro řešení problémů s pohybem projektilu.

Klíčové součásti pohybu projektilu

Než se ponoříme do výpočtů, seznamme se s klíčovými složkami pohybu projektilu:

Počáteční rychlost

Počáteční rychlost střely je rychlost a směr, se kterým je střela vypuštěna. Má dvě složky: horizontální složku (Vx) a vertikální složku (Vy). Horizontální složka zůstává konstantní po celou dobu pohybu, zatímco vertikální složka je ovlivněna gravitací.

Spustit úhel

Obrázek by MikeRun – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, licencováno pod CC BY-SA 4.0.

Úhel vystřelení (θ) je úhel, pod kterým je střela vypuštěna vzhledem k horizontále. Určuje dráhu střely a ovlivňuje její dostřel, maximální výšku a dobu letu.

Čas letu

Doba letu (T) je celková doba, po kterou střela zůstává ve vzduchu. Je to doba potřebná k tomu, aby projektil po odpálení dosáhl na zem. Doba letu závisí na počáteční rychlosti a úhlu startu.

Maximální výška

Maximální výška (H) dosažená střelou je nejvyšší bod na její dráze. Nastává, když se vertikální složka rychlosti stane nulovou. Maximální výška závisí na počáteční rychlosti a úhlu startu.

Dosah projektilu

Dosah (R) střely je horizontální vzdálenost, kterou urazí před dopadem na zem. Záleží na počáteční rychlosti a úhlu startu. Dosah je maximální, když je úhel startu 45 stupňů.

Jak vypočítat pohyb projektilu

Nyní se pojďme ponořit do výpočtů, které se podílejí na určování různých aspektů pohybu projektilu:

Výpočet počáteční rychlosti a úhlu startu

Pro výpočet počáteční rychlosti (V) a úhlu startu (θ) střely potřebujeme informace o dostřelu (R) a maximální výšce (H). Zde jsou vzorce:

Počáteční rychlost (V) = sqrt((R * g) / sin(2θ))
Spouštěcí úhel (θ) = 0.5 * arcsin ((g * R) / (V^2))

Zde g představuje gravitační zrychlení (přibližně 9.8 m/s^2).

Určení času letu

Dobu letu (T) lze vypočítat pomocí vzorce:

Doba letu (T) = (2 * Vy) / g

Protože se vertikální složka rychlosti (Vy) mění vlivem gravitace, vydělíme ji gravitačním zrychlením (g), abychom získali dobu letu.

Výpočet maximální výšky

Pro výpočet maximální výšky (H) použijeme vzorec:

Maximální výška (H) = (Vy^2) / (2 * g)

Vy zde představuje vertikální složku rychlosti.

Měření dosahu střely

Rozsah (R) lze vypočítat pomocí vzorce:

Rozsah (R) = (V^2 * sin(2θ)) / g

Dosazením hodnot počáteční rychlosti (V) a úhlu odpálení (θ) do vzorce můžeme určit dostřel střely.

Speciální případy v pohybu projektilů

Pohyb projektilu může mít různé speciální případy, které vyžadují další zvážení. Pojďme si stručně probrat několik z nich:

Viz také Bod varu mědi: Odhalení spletitosti metalurgie

Pohyb projektilu s odporem vzduchu

Ve scénářích reálného světa projektily zažívají odpor vzduchu, který ovlivňuje jejich pohyb. Výpočty se stávají složitějšími, protože do hry vstupují další faktory, jako je koeficient odporu a plocha průřezu střely. K analýze pohybu projektilu s odporem vzduchu se používají pokročilé matematické modely.

Projektil Pohyb z útesu

Když je střela vypuštěna z výšky nad zemí, jsou zapotřebí další výpočty k určení jejího počátečního vertikálního posunutí a času potřebného k dosažení země. Tyto výpočty zahrnují počáteční výšku (H0), ze které je střela vypuštěna.

Projektilový pohyb katapultu

Katapulty a podobná zařízení odpalují projektily s různými mechanismy, jako je pružná potenciální energie nebo napětí v laně. Výpočty pohybu střely v takových případech vyžadují uvážení působící síly a energie přenesené na střelu.

Řešení problémů s pohybem projektilu

Nyní se podívejme na podrobného průvodce řešením základních problémů s pohybem projektilu:

Podrobný průvodce řešením základních problémů s pohybem projektilu

Identifikujte známé veličiny, jako je počáteční rychlost, úhel startu, doba letu nebo dolet.
Určete, jaké množství musíte vypočítat.
Vyberte vhodný vzorec na základě známých množství a požadovaného neznámého množství.
Dosaďte do vzorce známé hodnoty.
Vyřešte rovnici a najděte neznámou veličinu.
Znovu zkontrolujte svou odpověď a ujistěte se, že jednotky jsou konzistentní.

Řešení problémů s pohybem projektilu s úhly

Někdy problémy zahrnují výpočet pohybu projektilu s různými úhly pro start a dopad. V takových případech lze rozsah vypočítat pomocí vzorce:

Rozsah (R) = (V^2 * sin(θ1 + θ2)) / g

Zde je θ1 úhel startu a θ2 je úhel, pod kterým projektil dopadne na zem.

Vypracované příklady problémů s pohybem projektilu

Pojďme si projít několik příkladů, abychom upevnili naše porozumění:

Příklad 1

Střela je vypuštěna počáteční rychlostí 20 m/s pod úhlem 30 stupňů nad horizontálou. Vypočítejte jeho dosah (R) a maximální výšku (H).

Řešení:
Pomocí výše uvedených vzorců můžeme vypočítat rozsah a maximální výšku následovně:

Rozsah (R) = (V^2 * sin(2θ)) / g
Maximální výška (H) = (Vy^2) / (2 * g)

Dosazením zadaných hodnot máme:

Rozsah (R) = (20^2 * sin(60)) / 9.8
Maximální výška (H) = (20^2 * sin^2(30)) / (2 * 9.8)

Pro zjednodušení výpočtů zjistíme, že dosah je přibližně 41 m a maximální výška je přibližně 10 m.

Příklad 2

Střela je vypuštěna z výšky 10 m nad zemí s počáteční rychlostí 15 m/s pod úhlem 45 stupňů nad horizontálou. Určete dobu letu (T) a dolet (R).

Řešení:
Abychom tento problém vyřešili, musíme zvážit další výšku, ze které je střela vypuštěna. Dobu letu lze vypočítat pomocí vzorce:

Doba letu (T) = (2 * Vy) / g

Dosazením zadaných hodnot máme:

Doba letu (T) = (2 * 15 * sin(45)) / 9.8

Zjednodušením výpočtů zjistíme, že doba letu je přibližně 1.94 sekundy.

Pro výpočet rozsahu můžeme použít vzorec:

Rozsah (R) = (V^2 * sin(2θ)) / g

Dosazením zadaných hodnot máme:

Rozsah (R) = (15^2 * sin(90)) / 9.8

Viz také 3 způsoby, jak vypočítat napětí ve struně

Zjednodušením výpočtů zjistíme, že dosah je přibližně 23.9 m.

Tyto příklady ukazují, jak použít vzorce k řešení problémů s pohybem projektilu.

Pochopením klíčových komponent, vzorců a výpočtů zahrnutých do pohybu projektilu můžete s jistotou analyzovat a řešit problémy související s tímto fascinujícím aspektem fyziky. Ať už počítáte trajektorii baseballu nebo studujete pohyb objektů ve vesmíru, principy pohybu projektilu jsou zásadní pro pochopení fyzického světa kolem nás. Popadněte tedy kalkulačku a začněte objevovat fascinující svět projektilů!

Jaký je vztah mezi pohybem projektilu a negativním zrychlením?

Koncept pohybu projektilu zahrnuje pohyb objektů, které jsou vymrštěny nebo vypuštěny do vzduchu a sledují zakřivenou dráhu. Tento typ pohybu je ovlivněn různými faktory, včetně zrychlení. Zrychlení je rychlost, kterou se rychlost objektu mění v průběhu času. Může být kladná nebo záporná v závislosti na směru změny rychlosti. Takže může být zrychlení záporné? Při zkoumání průsečíku mezi pohybem projektilu a zrychlením je zásadní pochopit, že v určitých scénářích může skutečně dojít k negativnímu zrychlení. Například, když je střela vystavena odporu vzduchu nebo když dojde ke zpomalení v důsledku gravitačních sil, může dojít k negativnímu zrychlení. Chcete-li se hlouběji ponořit do konceptu negativního zrychlení, můžete se o něm dozvědět více v článku Může být zrychlení záporné?

Numerické úlohy, jak vypočítat pohyb projektilu

Obrázek by Naplněný – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, licencováno pod CC BY-SA 3.0.

Střela je vypuštěna počáteční rychlostí 50 m/s pod úhlem 30 stupňů nad horizontálou. Vypočítejte následující:
Počáteční horizontální rychlost střely.
Počáteční vertikální rychlost střely.
Doba potřebná k tomu, aby projektil dosáhl své maximální výšky.
Maximální výška dosažená projektilem.
Celková doba letu střely.

Řešení:

Zadáno:
Počáteční rychlost, $v_0 = 50 , text{m/s}$
Úhel startu, $theta = 30^circ$
zrychlení způsobené gravitací, $g = 9.8, text{m/s}^2$

Pomocí daných informací můžeme najít počáteční horizontální rychlost ( $v_{0x}$ ) a počáteční vertikální rychlost ( $v_{0y}$ ) pomocí následujících rovnic:

$v_{0x} = v_0 cos(theta)$
$v_{0y} = v_0 sin(theta)$

Dosazením daných hodnot do těchto rovnic dostaneme:

$v_{0x} = 50 , text {m/s} krát cos(30^circ)$
$v_{0y} = 50 , text {m/s} krát sin(30^circ)$

Výpočtem těchto hodnot zjistíme:
$v_{0x} = 50 , text{m/s} krát frac{sqrt{3}}{2} = 25 sqrt{3} , text{m/s}$
$v_{0y} = 50 , text {m/s} krát frac{1}{2} = 25 , text {m/s}$

Dále můžeme najít čas potřebný k tomu, aby projektil dosáhl své maximální výšky $t_{text{max}}$ pomocí rovnice:

$t_{text{max}} = frac{v_{0y}}{g}$

Nahrazením hodnot máme:
$t_{text{max}} = frac{25 , text{m/s}}{9.8 , text{m/s}^2}$

Výpočet hodnoty $t_{text{max}}$ , dostaneme:
$t_{text{max}} přibližně 2.551 , text{s}$

Chcete-li zjistit maximální výšku, kterou střela dosáhla $h_{text{max}}$ , můžeme použít rovnici:

$h_{text{max}} = v_{0y} cdot t_{text{max}} - frac{1}{2} cdot g cdot t_{text{max}}^2$

Dosazením známých hodnot dostaneme:
$h_{text{max}} = 25 , text{m/s} krát 2.551 , text{s} - frac{1}{2} cdot 9.8 , text{m/s}^2 cdot (2.551 , text {s} )^2$

Výpočet $h_{text{max}}$ , shledáváme:
$h_{text{max}} přibližně 32.44 , text{m}$

Nakonec celková doba letu $t_{text{flight}}$ lze vypočítat pomocí rovnice:

$t_{text{flight}} = 2 krát t_{text{max}}$

Dosazením známé hodnoty můžeme najít:
$t_{text{flight}} = 2 krát 2.551 , text{s}$

Výpočet $t_{text{let}}$ , dostaneme:
$t_{text{flight}} cca 5.102 , text{s}$

Střela je vypuštěna počáteční rychlostí 30 m/s pod úhlem 45 stupňů nad horizontálou. Nalézt:
Konečná horizontální rychlost střely.
Konečná vertikální rychlost střely.
Dosah střely (horizontální ujetá vzdálenost).
Výška, ve které střela dopadne na zem.

Řešení:

Zadáno:
Počáteční rychlost, $v_0 = 30 , text{m/s}$
Úhel startu, $theta = 45^circ$
zrychlení způsobené gravitací, $g = 9.8, text{m/s}^2$

Pomocí daných informací můžeme najít konečnou horizontální rychlost ( $v_{fx}$ ) a konečná vertikální rychlost ( $v_{fy}$ ) pomocí následujících rovnic:

Viz také Bod varu mořské vody: Odhalení vyhřívaných tajemství oceánu

$v_{fx} = v_0 cos(theta)$
$v_{fy} = v_0 sin(theta)$

Dosazením daných hodnot do těchto rovnic máme:

$v_{fx} = 30 , text {m/s} krát cos(45^circ)$
$v_{fy} = 30 , text{m/s}krát sin(45^circ)$

Zjednodušením těchto rovnic zjistíme:
$v_{fx} = 30 , text{m/s} krát frac{1}{sqrt{2}} = 15 sqrt{2} , text{m/s}$
$v_{fy} = 30 , text{m/s} krát frac{1}{sqrt{2}} = 15 sqrt{2} , text{m/s}$

Chcete-li zjistit dosah střely ( $R$ ), můžeme použít rovnici:

$R = frac{v_{0x} cdot v_{0y}}{g}$

Dosazením známých hodnot dostaneme:
$R = frac{30 , text{m/s} krát frac{1}{sqrt{2}} cdot 30 , text{m/s} krát frac{1}{sqrt{2}}}{9.8 , text{m /s}^2}$

Zjednodušením rovnice zjistíme:
$R = frac{30^2}{9.8} , text{m}$
$R cca 91.84 , text{m}$

Výšku, ve které střela dopadne na zem, lze zjistit pomocí rovnice:

$h_{text{ground}} = -frac{1}{2} cdot g cdot t_{text{flight}}^2$

Vzhledem k tomu, že střela je vypuštěna ze země, počáteční vertikální poloha ( $y_0$ ) je 0. Proto výška, ve které střela dopadne na zem, se rovná záporné ose členu na pravé straně rovnice. Proto,
$h_{text{ground}} = -frac{1}{2} cdot 9.8 , text{m/s}^2 cdot left(2 cdot frac{30 , text{m/s}}{9.8 , text{m/ s}^2}správně)^2$

Zjednodušením rovnice dostaneme:
$h_{text{ground}} cca -29.39 , text{m}$

Střela je vypuštěna počáteční rychlostí 60 m/s pod úhlem 60 stupňů nad horizontálou. Určete následující:
Doba potřebná k tomu, aby projektil dosáhl maximální výšky.
Maximální výška dosažená projektilem.
Horizontální vzdálenost, kterou projektil urazil před dopadem na zem.
Celková doba letu střely.

Řešení:

Zadáno:
Počáteční rychlost, $v_0 = 60 , text{m/s}$
Úhel startu, $theta = 60^circ$
zrychlení způsobené gravitací, $g = 9.8, text{m/s}^2$

Pomocí daných informací můžeme zjistit dobu, za kterou střela dosáhne maximální výšky $t_{text{max}}$ pomocí rovnice:

$t_{text{max}} = frac{v_{0y}}{g}$

kde $v_{0y}$ je počáteční vertikální rychlost střely. Nahrazením hodnot máme:
$t_{text{max}} = frac{60 , text{m/s} krát sin(60^circ)}{9.8 , text{m/s}^2}$

Výpočet $t_{text{max}}$ , shledáváme:
$t_{text{max}} přibližně 3.06 , text{s}$

K určení maximální výšky dosažené střelou $h_{text{max}}$ , můžeme použít rovnici:

$h_{text{max}} = v_{0y} cdot t_{text{max}} - frac{1}{2} cdot g cdot t_{text{max}}^2$

Dosazením známých hodnot dostaneme:
$h_{text{max}} = 60 , text{m/s} krát sin(60^circ) cdot 3.06 , text{s} - frac{1}{2} cdot 9.8 , text{m/s}^2 cdot (3.06 , text{s})^2$

Výpočet $h_{text{max}}$ , shledáváme:
$h_{text{max}} přibližně 55.90 , text{m}$

Horizontální vzdálenost, kterou střela urazí před dopadem na zem, je známá jako dostřel ( $R$ ). Lze jej vypočítat pomocí rovnice:

$R = v_{0x} cdot t_{text{flight}}$

kde $v_{0x}$ je počáteční horizontální rychlost střely a $t_{text{let}}$ je celková doba letu. Vzhledem k tomu, že projektil je vystřelen horizontálně, máme $v_{0x} = v_0 cos<img data-lazyloaded=$ ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”127″ width=”692″ style=”vertical-align: -6px;”/>. Dosazením hodnot dostaneme:
$R = 60 , text{m/s} krát cos(60^circ) cdot t_{text{flight}}$

Najít $t_{text{let}}$ , můžeme použít rovnici:

$t_{text{flight}} = 2 cdot t_{text{max}}$

Nahrazením známé hodnoty máme:
$t_{text{flight}} = 2 krát 3.06 , text{s}$

Výpočet $t_{text{let}}$ , shledáváme:
$t_{text{flight}} cca 6.12 , text{s}$

Nakonec dosazením hodnot $v_{0x}$ a $t_{text{let}}$ do rovnice pro $R$ , dostaneme:
$R = 60 , text{m/s} krát cos(60^circ) cdot 6.12 , text{s}$

Výpočet $R$ , shledáváme:
$R cca 306 , text{m}$

Také čtení:

Alpa P. Rajai

Jsem Alpa Rajai, dokončil jsem magisterské studium ve vědě se specializací na fyziku. Jsem velmi nadšený z psaní o svém porozumění pokročilé vědě. Ujišťuji, že moje slova a metody pomohou čtenářům porozumět jejich pochybnostem a ujasnit si, co hledají. Kromě fyziky jsem vyučený kathakský tanečník a také někdy píšu své pocity formou poezie. Neustále se aktualizuji ve fyzice a čemukoli rozumím, zjednodušuji to a udržuji to rovnou k věci, aby to bylo čtenářům jasné.

Klíčové součásti pohybu projektilu

Počáteční rychlost

Spustit úhel

Čas letu

Maximální výška

Dosah projektilu

Jak vypočítat pohyb projektilu

Výpočet počáteční rychlosti a úhlu startu

Určení času letu

Výpočet maximální výšky

Měření dosahu střely

Speciální případy v pohybu projektilů

Pohyb projektilu s odporem vzduchu

Projektil Pohyb z útesu

Projektilový pohyb katapultu

Řešení problémů s pohybem projektilu

Podrobný průvodce řešením základních problémů s pohybem projektilu

Řešení problémů s pohybem projektilu s úhly

Vypracované příklady problémů s pohybem projektilu

Příklad 1

Příklad 2

Jaký je vztah mezi pohybem projektilu a negativním zrychlením?

Numerické úlohy, jak vypočítat pohyb projektilu

Ahoj kolego čtenáři,