Všude kam se podíváme, kmitánís se vyskytují. Dokonce i atomy, ze kterých se skládáme, v současné době také oscilují. V tomto příspěvku se tedy podíváme na to, jak vypočítat oscilace.
K výpočtu oscilací potřebujeme znát časový úsek oscilace. A z časového úseku získáme kmitočet kmitání jeho vratným pohybem. Frekvence kmitání nám dá počet kmitů za jednotku času.
Než se pustíme do hloubky, jak vypočítat oscilaci, nejprve si uděláme krátkou představu o oscilaci, jejím cyklu, časové periodě a frekvenci.
Fyzika oscilace:
Oscilace je pohyb, který se opakuje z hlediska velikosti nebo polohy kolem svého rovnovážného nebo centrálního bodu podél stejné dráhy. Například kyvné kyvadlo, vibrující pružina v kytaře atd. jsou příklady kmitání.
Jeden cyklus oscilace je jedna úplná oscilace, která zahrnuje návrat do počátečního bodu a opakování pohybu. K dokončení tohoto jednoho cyklu, ať to trvá jakkoli, není nic jiného než jeho časové období. Dále, vezmeme-li jeho reciproční hodnotu, budeme mít frekvenci oscilací, která je považována za počet oscilací za časové období.
Podívejme se nyní, jaký je vzorec pro oscilaci.
Jaký je vzorec pro oscilaci?
Vzorec kmitání je pouze frekvence vzorce kmitání. Můžeme to tedy napsat jako
Když přemýšlíte o oscilacích, první věc, která vás napadne, je jednoduchý harmonický oscilátor. Pojďme se tedy nejprve podívat na pohybovou rovnici pro jednoduché harmonický oscilátor než budete vědět, jak vypočítat oscilaci.
Pohybová rovnice pro SHM (Simple Harmonic Oscillator):
Předpokládejme, že částice je zavěšena a kmitá podél osy Y. Výsledkem je, že v každém daném čase t je rovnice pro polohu:
y(t) = Sin⍵t …..(1)
Zde je A amplituda nebo maximální výchylka z rovnovážné polohy.
& je úhlová frekvence kmitající částice a je dána,
Or
Rovnici (1) lze tedy zapsat jako
y(t) = hřích(2𝜋f)t …..(2)
První derivace rovnice (2) udává rychlost částice, zatímco druhá derivace udává zrychlení částice.
Tak,
v(t) = 2𝜋fA cos(2𝜋ft) …..(3)
a(t) = -(2𝜋f)2 [Hřích(2𝜋ft)] …..(4)
Vložením hodnoty rovnice (2) do (4) dostaneme,
a(t) = -(2𝜋f)2 y(t) …..(5)
∴ a = -4𝜋2f2 y .... (6)
Pokud tedy chceme zjistit, jak vypočítat oscilaci, podíváme se na dva různé scénáře: systém pružina-hmotnost a kyvadlo.
➠ Jak vypočítat kmitání systému pružinové hmoty:
Uvažujme hmotu zavěšenou na jednom konci pružiny, jak je znázorněno na obrázku níže. Vlivem hmotnosti hmoty bude pružina natažena o vzdálenost y. Vzestupný tah pružiny podle Hookova zákona je tedy:
F = -ky
kde je k jarní konstanta, který měří tuhost pružiny a y je natažení pružiny.
v pružinový hmotový systém, síla pružiny je nahoru a gravitační síla klesá. Když se obě síly vyrovnají, hmota se nehýbe. Můžeme tedy napsat:
mg =-ky
Jako je g gravitační zrychlenívložením hodnoty rovnice (6) do výše uvedené rovnice dostaneme,
∴m(-4𝜋2f2y) = -ky
Tím, že se frekvence f stane předmětem rovnice, kterou dostaneme
Časové období tedy může být dáno:
Po pružinovém hmotnostním systému se nyní podívejme, jak vypočítat kmitání kyvadla.
➠ Jak vypočítat oscilaci kyvadla:
Pro výpočet kmitání kyvadla budeme uvažovat tři případy:
- Jednoduché kyvadlo
- Fyzikální nebo složené kyvadlo
- Torzní kyvadlo
✽ Kmity jednoduchého kyvadla:
Jednoduché kyvadlo je tvořeno provázkem připevněným k hmotě m. Jak je znázorněno na obrázku níže, pokud se tyč o hmotnosti m vzdálí od rovnováhy pod úhlem 𝜃, pak ji vratná síla vrátí zpět do rovnovážné polohy. Bob je vystaven gravitační síle a napětí struny. Napětí na pružině je vyváženo cos složkou závaží bobu. Vratná síla zde v kyvadle je způsobena tangenciální složkou nebo sinovou složkou gravitační síly.
Velikost vratné síly je tedy
|F| = mgsin𝜃
Bob bude schopen zrychlit díky vratné síle. V důsledku toho, podle druhého Newtonova zákona,
ma = F = -mgsin𝜃
kde záporné znaménko zde ukazuje, že vratná síla je v opačném směru než Bobův pohyb.
Zrychlení bude úhlové, protože pohyb bobu je podél oblouku kruhu. Úhlové zrychlení je dáno,
Z výše uvedených rovnic tedy
Ale jelikož je přemístění malé, můžeme považovat hřích𝜃 = 𝜃. Tím pádem,
Výše uvedená rovnice ukazuje závislost úhlové zrychlení na úhlovém posunutí. Takže z rovnice (6)
𝛼= 4𝜋2f2𝜃
Frekvence a časové období jednoduchého kyvadla je tedy:
✽ Oscilace složeného nebo fyzikálního kyvadla:
Systém vytvořený zavěšením tuhého tělesa z pevné vodorovné osy je známý jako fyzické kyvadlo. Jestliže „I“ je moment setrvačnosti oscilujícího tuhého tělesa, frekvence a časové období fyzického kyvadla je:
✽ Oscilace torzního kyvadla:
Systém se nazývá torzní kyvadlo, když je konec tenkého drátu nebo tyče připojen k hmotě podobné disku. Je-li „I“ setrvačnost disku, lze frekvenci a periodu torzního kyvadla vyjádřit jako,
Tedy s ohledem ve všech třech případech můžeme dojít k závěru, že frekvence a časové období kyvadla jsou závislé na délce šňůry a nezávislé na hmotnosti těla. Možná se ptáte, jak prakticky vypočítat časový úsek oscilace. Podívejme se tedy, jak se počítá doba oscilace.
Jak se počítá doba oscilace?
Dobu oscilace lze vypočítat experimentálně i matematicky.
Metoda experimentu systému pružinové hmoty a kyvadla je téměř stejná. Rozdíl je v tom, že to nemusíte zjišťovat pružina konstantní, protože v kyvadle nepoužíváme žádnou pružinu.
- Pro výpočet kmitání systému hmotové pružiny je třeba najít konstantu pružiny k. Chcete-li zjistit konstantní pružinu, nechte hmotu viset na pružině v nehybném stavu. Poté přidejte další hmotu a zaznamenejte změnu natažení pružiny.
mg -ky = 0
- Po zjištění konstanty pružiny musíte zaznamenat čas pro deset kmitů pro každou hmotu. Chcete-li získat přesnou odpověď, opakujte tento proces třikrát. Střední hodnota těchto tří časových úseků je považována za časový úsek této konkrétní hmoty. Poté to vezměte recipročně a získáte počet oscilací za jednotku času. Své odpovědi můžete porovnat vložením hodnot do příslušných rovnic frekvence a časového období.
Doufáme, že jsme vyřešili všechny vaše obavy ohledně výpočtu oscilací.
