Jak vypočítat okamžitou rychlost, vzorec pro okamžitou rychlost

Jak vypočítat okamžitou rychlost

Obrázek by MikeRun – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, licencováno pod CC BY-SA 4.0.

Ve fyzice a matematice, okamžitá rychlost odkazuje na rychlost objektu v určitém časovém okamžiku. Je to základní koncept v kinematice, studiu pohybu. Pochopení toho, jak vypočítat okamžitou rychlost, je klíčové pro analýzu chování objektů v pohybu.

Výpočet okamžité rychlosti pomocí kalkulu

Počet hraje zásadní roli při určování okamžité rychlosti. Vezmeme-li derivaci polohové funkce vzhledem k času, můžeme získat funkci rychlosti. Derivace představuje rychlost změny funkce, což je v tomto případě rychlost změny polohy vzhledem k času.

Chcete-li vypočítat okamžitou rychlost pomocí výpočtu, postupujte takto:

Začněte funkcí pozice, která popisuje pozici objektu v čase. Označme to jako Svatý), Kde t představuje čas.
Vezměte derivaci polohové funkce s ohledem na čas, označovanou jako v (t). Tato derivace představuje funkci okamžité rychlosti.
Zjednodušte derivaci, abyste získali funkci okamžité rychlosti.

Pojďme si tento proces ilustrovat na příkladu:

Předpokládejme, že polohová funkce objektu je dána s(t) = 2t^3 – 3t^2 + 4t + 1. Abychom našli okamžitou rychlost v daném čase, musíme vzít derivaci polohové funkce:

$v(t) = frac{d}{dt}(2t^3 - 3t^2 + 4t + 1)$

Zjednodušením derivace získáme funkci okamžité rychlosti:

$v(t) = 6t^2 - 6t + 4$

Takže funkce okamžité rychlosti je v(t) = 6t^2 – 6t + 4.

Výpočet okamžité rychlosti bez výpočtu

Zatímco kalkul poskytuje výkonnou metodu pro výpočet okamžité rychlosti, lze použít alternativní metody, když kalkul není použitelný nebo preferovaný. Jedna taková metoda zahrnuje použití průměrné rychlosti v menších a menších časových intervalech k přiblížení okamžité rychlosti.

Chcete-li vypočítat okamžitou rychlost bez výpočtu, postupujte takto:

Vyberte počáteční čas t1 a poslední čas t2s t2 být o něco později než t1.
Vypočítejte průměrnou rychlost v_avg v průběhu časového intervalu [t1, t2] pomocí vzorce:

$v_{text{avg}} = frac{{Delta x}}{{Delta t}}$

Zkraťte časový interval [t1, t2] aby byl menší a menší, blížící se nule.
Jak se časový interval blíží nule, průměrná rychlost se blíží okamžité rychlosti.

Viz také 3 způsoby, jak vypočítat napětí ve struně

Proberme si příklad:

Předpokládejme, že auto urazí vzdálenost 100 metrů za 10 sekund. Chceme vypočítat okamžitou rychlost na značce 5 sekund. K tomu můžeme použít metoda průměrné rychlosti.

Vybíráme si t1 = 4 sekundy a t2 = 6 sekundy. Pomocí vzorce průměrné rychlosti vypočítáme průměrnou rychlost za interval [4, 6]:

$v_{text{avg}} = frac{{Delta x}}{{Delta t}} = frac{{s(6) - s(4)}}{{6 - 4}} = frac{{s(6 ) - s(4)}}{2}$

Dále proces opakujeme s menšími a menšími časovými intervaly, jako např [4.5, 5.5], [4.9, 5.1], a tak dále. Jak se intervaly zmenšují, průměrné hodnoty rychlosti se blíží okamžité rychlosti na značce 5 sekund.

Výpočet okamžité rychlosti z tabulky

V některých případech mohou být hodnoty rychlosti uvedeny spíše v tabulce než jako funkce. Pro výpočet okamžité rychlosti z tabulky můžeme stejně jako v předchozí metodě použít koncept průměrné rychlosti v menších časových intervalech.

Chcete-li vypočítat okamžitou rychlost z tabulky, postupujte takto:

Určete nejbližší časové body k požadovanému času.
Určete odpovídající hodnoty rychlosti v těchto časových bodech.
Vypočítejte průměrnou rychlost za interval definovaný nejbližšími časovými body.
Proces opakujte s menšími a menšími časovými intervaly, dokud nedosáhnete požadované přesnosti.

Podívejme se na příklad:

Předpokládejme, že máme následující tabulku ukazující rychlost objektu v různých časových bodech:

Čas (y)	Rychlost (m/s)
1	4
2	7
3	10
4	14

Chceme vypočítat okamžitou rychlost při t = 2.5 sekund. K tomu můžeme použít metodu průměrné rychlosti.

Nejbližší časové body jsou 2.5 sekundy t1 = 2 sekundy a t2 = 3 sekundy. Odpovídající hodnoty rychlosti jsou v1 = 7 m/s a v2 = 10 m/s. Pomocí vzorce průměrné rychlosti vypočítáme průměrnou rychlost za interval [2, 3]:

$v_{text{avg}} = frac{{Delta x}}{{Delta t}} = frac{{v_2 - v_1}}{{t_2 - t_1}} = frac{{10 - 7}}{{3 - 2}} = 3$

Jak se časový interval blíží nule, průměrná rychlost se blíží okamžité rychlosti za 2.5 sekundy.

Výpočet okamžité rychlosti v určitém bodě nebo čase

Obrázek by MikeRun – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, licencováno pod CC BY-SA 4.0.

V některých situacích možná potřebujeme vypočítat okamžitou rychlost v určitém bodě nebo čase, spíše než v intervalu. To lze provést nalezením derivace polohové funkce a jejím vyhodnocením v požadovaném bodě.

Viz také Funkce antikodonu: 3 fakta, která byste měli vědět!

Chcete-li vypočítat okamžitou rychlost v určitém bodě, postupujte takto:

Začněte funkcí pozice, označovanou jako Svatý).
Vezměte derivaci polohové funkce s ohledem na čas, označovanou jako v (t).
Zjednodušte derivaci, abyste získali funkci okamžité rychlosti.
Vyhodnoťte funkci okamžité rychlosti v požadovaném čase.

Proberme si příklad:

Předpokládejme, že polohová funkce objektu je dána s(t) = 3t^2 – 2t + 5. Chceme vypočítat okamžitou rychlost při t = 2 sekund.

Nejprve vezmeme derivaci polohové funkce, abychom získali funkci okamžité rychlosti:

$v(t) = frac{d}{dt}(3t^2 - 2t + 5)$

Zjednodušením derivace získáme funkci okamžité rychlosti:

$v(t) = 6t - 2$

Chcete-li zjistit okamžitou rychlost při t = 2 sekund, vyhodnotíme funkci okamžité rychlosti v daném čase:

$v(2) = 6(2) - 2 = 10$

Proto okamžitá rychlost při t = 2 sekund is 10 m / s.

Jak lze vzorec pro výpočet okamžité rychlosti aplikovat na koncept pohybu střely?

Projekt „Výpočet pohybu projektilu – průvodce krok za krokem“ poskytuje komplexní přehled o tom, jak vypočítat pohyb projektilu, který zahrnuje pohyb objektu po parabolické dráze. Pomocí vzorce pro okamžitou rychlost můžeme určit rychlost objektu v jakémkoli daném bodě podél jeho trajektorie. Rozdělením pohybu na menší intervaly a výpočtem okamžitých rychlostí můžeme hlouběji porozumět pohybu objektu a analyzovat různé aspekty, jako je jeho výška, dosah a doba letu.

Numerické úlohy, jak vypočítat okamžitou rychlost

1 problém:

Uvažujme částici pohybující se po přímce s polohovou funkcí danou vztahem:
$x(t) = 3t^2 - 2t + 5$
kde $x$ je v metrech a $t$ je v sekundách.

Najděte rychlost částice v čase $t = 2$ sekund.

Řešení:

Abychom našli rychlost v konkrétním čase, musíme rozlišit funkci polohy s ohledem na čas:

$v(t) = frac{dx}{dt}$

Diferencováním dané polohové funkce máme:

Viz také Jak vypočítat hybnost před srážkou: elastické, nepružné, vzorec a problémy

$v(t) = frac{d}{dt}(3t^2 - 2t + 5)$

Pomocí mocninného pravidla diferenciace dostaneme:

$v(t) = 6t - 2$

Nahrazení $t = 2$ do funkce rychlosti najdeme:

$v(2) = 6(2) - 2 = 10$

Proto rychlost částice při $t = 2$ sekund je $10$ slečna.

2 problém:

Automobil se pohybuje po rovné silnici s funkcí polohy danou:
$x(t) = 5t^3 - 2t^2 + 3$
kde $x$ je v metrech a $t$ je v sekundách.

Určete rychlost auta, kdy $t = 1$ druhý.

Řešení:

Abychom vypočítali rychlost v určitém čase, diferencujeme funkci polohy s ohledem na čas:

$v(t) = frac{dx}{dt}$

Vezmeme-li derivaci dané polohové funkce, máme:

$v(t) = frac{d}{dt}(5t^3 - 2t^2 + 3)$

Pomocí mocninného pravidla diferenciace dostaneme:

$v(t) = 15t^2 - 4t$

Nahrazení $t = 1$ do funkce rychlosti najdeme:

$v(1) = 15(1)^2 - 4(1) = 11$

Proto rychlost auta, když $t = 1$ druhý je $11$ slečna.

3 problém:

Částice se pohybuje po přímce s polohovou funkcí danou vztahem:
$x(t) = 2t^4 - 3t^2 + 4t - 1$
kde $x$ je v metrech a $t$ je v sekundách.

Vypočítejte rychlost částice v čase $t = 3$ sekund.

Řešení:

Abychom našli rychlost v konkrétním čase, musíme rozlišit funkci polohy s ohledem na čas:

$v(t) = frac{dx}{dt}$

Vezmeme-li derivaci dané polohové funkce, máme:

$v(t) = frac{d}{dt}(2t^4 - 3t^2 + 4t - 1)$

Pomocí mocninného pravidla diferenciace dostaneme:

$v(t) = 8t^3 - 6t + 4$

Nahrazení $t = 3$ do funkce rychlosti najdeme:

$v(3) = 8(3)^3 - 6(3) + 4 = 190$

Proto rychlost částice při $t = 3$ sekund je $190$ slečna.

Také čtení:

Raghavi Acharya

Jsem Raghavi Acharya, dokončil jsem postgraduální studium fyziky se specializací v oboru fyzika kondenzovaných látek. Fyziku jsem vždy považoval za podmanivou oblast studia a baví mě objevovat různé oblasti tohoto předmětu. Ve volném čase se věnuji digitálnímu umění. Mé články se zaměřují na to, abych čtenářům velmi zjednodušeným způsobem předal pojmy fyziky.