Hermitův polynom: 9 kompletních rychlých faktů

  Hermitský polynom je široce rozšířen v aplikacích jako ortogonální funkce. Hermitův polynom je řada řešení Hermitovy diferenciální rovnice.

Hermitova rovnice

    Diferenciální rovnice druhého řádu se specifickými koeficienty jako

d²y/dx² – 2x dy/dx + 2xy = 0

je známá jako Hermitova rovnice, řešením této diferenciální rovnice získáme polynom, který je Hermitský polynom.

Pojďme najít řešení rovnice

d²y/dx² – 2x dy/dx + 2ny = 0

pomocí sériového řešení diferenciální rovnice

nyní nahrazující všechny tyto hodnoty v Hermitově rovnici, kterou máme

Tato rovnice splňuje hodnotu k = 0 a jak jsme předpokládali, hodnota k nebude záporná, nyní pro termín nejnižšího stupně x^m-2 vezměte k = 0 v první rovnici, protože druhá dává zápornou hodnotu, takže koeficient x^m-2 is

a₀m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1

jako₀ ≠ 0

nyní stejným způsobem rovnající koeficient x^m-1 z druhého součtu

a rovnající se koeficienty x^m+k na nulu,

a_{k + 2}(m+k+2)(m+k+l)-1a_k(m+kn) = 0

můžeme to napsat jako

a_{k + 2} = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) a_k

pokud m = 0

a_{k + 2} = 2(kn)/(k+2)(k+1) a_k

pokud m = 1

a_{k + 2} = 2(k+l-n)/(k+1)(k+3) a_k

pro tyto dva případy nyní diskutujeme případy pro k

Když $m=0, a_{k + 2}= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} a_k$

Pokud, $k=0 a₂ = -2 n/2 a₀=-na₀$

$k=1, a₃= 2(1-n)/6a₁ =-2(n-1)/3! A₁$

Pokud $k=2, a₄ = 2(2-n)/12a₂ =2 (2-n)/12 (-na₀) = 2² n(n-2)/4! A₀$

zatím m = 0 máme dvě podmínky, když a₁= 0, pak a₃=a₅=a₇=…. = A₂₊₁= 0 a když a₁ pak není nula

tím, že budete dávat hodnoty a₀,a₁,a₂,a₃,a₄ a₅ máme

a pro m = 1 a₁= 0 zadáním k = 0,1,2,3, ... .. dostaneme

a_{k + 2} = 2(k+l-n)/(k+1)(k+3)a_k

řešení tedy bude

takže úplné řešení je

kde A a B jsou libovolné konstanty

Hermitský polynom

   Hermitovo řešení rovnice má tvar y (x) = Ay₁(x)+Podle₂(x) kde y₁(x) a y₂(x) jsou podmínky řady, jak je uvedeno výše,

jedna z těchto řad končí, pokud n není záporné celé číslo, pokud n je sudé y₁ končí jinak y₂ pokud n je liché, můžeme snadno ověřit, že pro n = 0,1,2,3,4 …… .. tyto polynomy jsou

1,x,1-2x², x-2/3 x³, 1-4x²+4/3x⁴, x-4/3x³+ 4/15x⁵

takže zde můžeme říci, že řešení Hermitovy rovnice je konstantním násobkem těchto polynomů a termíny obsahující nejvyšší mocninu x mají tvar 2ⁿxⁿ označeno H_n(x) je známý jako Hermitův polynom

Generující funkce Hermitova polynomu

Hermitský polynom obvykle definovaný pomocí relace pomocí generující funkce

[n/2] je největší celé číslo menší než nebo rovno n/2, takže následuje po hodnotě H_n(X) as

to ukazuje H_n(X) je polynom stupně n v x a

H_n(x) = 2ⁿxⁿ + π_n-2 (X)

kde π_n-2 (x) je polynom stupně n-2 v x a bude to sudá funkce x pro sudou hodnotu n a lichá funkce x pro lichou hodnotu n, takže

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(X)

některé z počátečních hermitských polynomů jsou

H₀(x) = 1

H₁(x) = 2x

H₂(x) = 4x² - 2

H₃(x) = 8x³-12

H₄(x) = 16x⁴ - 48x²+12

H₅(x) = 32x² - 160x³+ 120x

Generující funkce Hermitova polynomu pomocí Rodriguova vzorce

Hermitův polynom lze také definovat pomocí Rodrigueho vzorce pomocí generující funkce

od vztahu generující funkce

  Pomocí Maclaurinovy ​​věty máme

or

vložením z = xt a

pro t = 0, takže z = x dává

to můžeme ukázat jiným způsobem jako

rozlišování

s ohledem na t dává

přičemž limit t má tendenci k nule

nyní se rozlišuje s ohledem na x

přičemž limit t má tendenci k nule

z těchto dvou výrazů můžeme psát

stejným způsobem můžeme psát

 diferenciací n krát put t = 0, dostaneme

z těchto hodnot můžeme psát

z nich můžeme získat hodnoty

Příklad na Hermitově polynomu           

1. Najděte obyčejný polynom

Řešení: pomocí definice Hermitova polynomu a vztahů, které máme

2. Najděte hermitský polynom obyčejného polynomu

Řešení: Danou rovnici můžeme převést na Hermite jako

a z této rovnice rovnající se stejnému koeficientu sil

proto bude hermitský polynom

Ortogonalita Hermitova polynomu | Ortogonální vlastnost Hermitova polynomu

Důležitou charakteristikou pro Hermitův polynom je jeho ortogonalita, která to uvádí

Abychom dokázali tuto ortogonalitu, připomeňme si to

což je generující funkce pro Hermitův polynom a my víme

vynásobením těchto dvou rovnic tedy získáme

násobení a integrace v nekonečných mezích

a od té doby

so

pomocí této hodnoty ve výše uvedeném výrazu máme

což dává

nyní srovnejte koeficienty na obou stranách

který ukazuje ortogonální vlastnost Hermitova polynomu.

  Výsledek ortogonální vlastnosti Hermitova polynomu lze ukázat jiným způsobem s přihlédnutím k relaci recidivy

Příklad ortogonality Hermitova polynomu

1. Vyhodnoťte integrál

Řešení: Použitím vlastnosti ortogonality polynomu poustevníka

protože hodnoty zde jsou m = 3 a n = 2 tak

2. Vyhodnoťte integrál

Řešení: Pomocí vlastnosti ortogonality polynomu Hermite můžeme psát

Rekurentní vztahy Hermitova polynomu

Hodnotu Hermitova polynomu lze snadno zjistit pomocí relací opakování

Tyto vztahy lze snadno získat pomocí definice a vlastností.

Důkazy: 1. Známe Hermitovu rovnici

y”-2xy'+2ny = 0

a vztah

vezmeme -li diferenciaci s ohledem na x částečně, můžeme ji zapsat jako

z těchto dvou rovnic

nyní nahraďte n číslem n-1

vyrovnáním koeficientu tⁿ

požadovaný výsledek je tedy

2. Podobným způsobem se částečně diferencuje vzhledem k t rovnici

dostaneme

n = 0 zmizí, takže vložením této hodnoty e

nyní rovnající se koeficienty tⁿ

tedy

3. Abychom tento výsledek dokázali, odstraníme H_n-1 od

a

tak dostáváme

můžeme tedy napsat výsledek

4. Abychom dokázali tento výsledek, rozlišujeme

získáme vztah

dosazení hodnoty

a nahrazení n číslem n+1

což dává

Příklady relapsů relapsu Hermitova polynomu

1. Ukažte to

H_2n(0) = (-1)ⁿ. 2²ⁿ (1 / 2)ⁿ

Řešení:

Abychom ukázali výsledek, který máme

H2n(x) =

přičemž x = 0, dostaneme

2. Ukaž to

H'_{2n + 1}(0) = (-1)ⁿ 2^{2n + 1} (3 / 2)²

Řešení:

Protože z relace recidivy

H'_n(x) = 2 nH_n-1(X)

zde nahraďte n 2n+1 tak

H'_2n-1(x) = 2(2n+l)H_2n(X)

přičemž x = 0

3. Najděte hodnotu

H_{2n + 1}(0)

Řešení

Protože víme

zde použijte x = 0

H_2n-1(0) = 0

4. Najděte hodnotu H '_2n(0).

Řešení :

máme relaci opakování

H'_n(x) = 2 nH_n-1(X)

zde nahraďte n 2n

H'_2n(x) = = 2(2n)H_2n-1(X)

dát x = 0

H'_2n(0) = (4n)H_2n-1(0) = 4n*0=0

5. Ukažte následující výsledek

Řešení :

Použití relace opakování

H'_n(x) = 2 nH_n-1 (X)

so

a

d³/dx³ {H_n(x)} = 2³n(n-l)(n-1)H_n-3(X)

rozlišování tohoto m krát

což dává

6. Ukaž to

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(X)

Řešení :

můžeme psát

z koeficientu tⁿ máme

a pro -x

7. Vyhodnoťte integrál a ukažte

Řešení : Pro řešení tohoto integrálního použití použijte integrační části jako

Nyní diferenciace pod znaménkem Integral rozlišujte s

vzhledem k x

použitím

H'_n(x) = 2_nH_n-1 (X)

a

H'_m(x) = 2 mH_m-1 (X)

máme

a od té doby

?? _n,m-1 = ????_{n+1, m}

hodnota integrálu tedy bude

Závěr:

Specifický polynom, který se v aplikaci často vyskytuje, je Hermitův polynom, takže základní definice, funkce generování, relace opakování a příklady související s Hermitovým polynomem byly zde stručně diskutovány, pokud požadujete další čtení, projděte si

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

Další příspěvek z matematiky naleznete v našem Stránka matematiky

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Jsem DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Dokončil jsem Ph.D. v matematice a pracuje jako odborný asistent v matematice. Má 12 let praxe v pedagogické činnosti. Mít rozsáhlé znalosti v čisté matematice, přesně v algebře. Mít obrovskou schopnost navrhovat a řešit problémy. Schopný motivovat kandidáty ke zvýšení jejich výkonu.
Rád přispívám do Lambdageeks, aby byla matematika jednoduchá, zajímavá a samovysvětlující pro začátečníky i odborníky.