Rodina exponenciální distribuce gama: 21 důležitých faktů

Obsah

1. Speciální forma distribuce gama a vztahy distribuce gama
2. Exponenciální rodina gama distribuce
3. Vztah mezi gama a normálním rozdělením
4. Poissonovo rozdělení gama | poissonovo rozdělení gama záporné binomické
5. Weibullova gama distribuce
6. Aplikace distribuce gama v reálném životě | použití gama distribuce | aplikace gama distribuce ve statistice 
7. Distribuce beta beta gama | vztah mezi gama a beta distribucí
8. Bivariační distribuce gama
9. Dvojitá distribuce gama
10. Vztah mezi gama a exponenciálním rozdělením | exponenciální a gama rozdělení | exponenciální rozdělení gama
11. Přizpůsobit distribuci gama
12. Posunutá distribuce gama
13. Zkrácená distribuce gama
14. Funkce přežití distribuce gama
15. MLE distribuce gama | maximální pravděpodobnost rozdělení gama funkce pravděpodobnosti rozdělení gama
16. Metoda odhadu parametrů rozdělení gama momentů | metoda gama rozdělení odhadu momentů
17. Interval spolehlivosti pro rozdělení gama
18. Konjugát distribuce gama před exponenciálním rozdělením | gama předchozí distribuce | zadní rozdělení poissonovo gama
19. Kvantilní funkce distribuce gama
20. Zobecněná distribuce gama
21. Beta zobecněná distribuce gama

Speciální forma distribuce gama a vztahy distribuce gama

  V tomto článku se budeme zabývat speciálními formami distribuce gama a vztahy distribuce gama s různými spojitými a diskrétními náhodnými proměnnými. Stručně jsou diskutovány také některé metody odhadu vzorkování populace pomocí distribuce gama.

Exponenciální rodina gama distribuce

  Exponenciální rodina gama distribuce a je to dvouparametrická exponenciální rodina, která je do značné míry použitelnou rodinou distribuce, protože většinu problémů v reálném životě lze modelovat v exponenciální rodině gama distribuce a rychlý a užitečný výpočet v rámci exponenciální rodiny lze provést snadno, ve dvou parametrech, pokud vezmeme funkci hustoty pravděpodobnosti jako

pokud omezíme známou hodnotu α (alfa), tato rodina dvou parametrů se sníží na jeden parametr exponenciální rodiny

a pro λ (lambda)

Vztah mezi gama a normálním rozdělením

  Ve funkci hustoty pravděpodobnosti distribuce gama, pokud vezmeme alfa blíže k 50, dostaneme povahu funkce hustoty jako

i tvarový parametr v distribuci gama rosteme, což má za následek podobnost normální křivky normálního rozdělení, pokud máme tendenci tvarový parametr alfa má sklon k nekonečnu, rozdělení gama bude symetrické a normální, ale protože alfa má sklon k hodnotě nekonečna x v g distribuce bude mít tendenci k mínus nekonečnu, což bude mít za následek polo nekonečnou podporu distribuce gama nekonečně, a proto se i distribuce gama stane symetrickou, ale ne stejnou s normální distribucí.

poissonovo rozdělení gama | Poissonovo rozdělení gama záporné binomické

   Poissonovo rozdělení gama a binomické rozdělení jsou diskrétní náhodná proměnná, jejíž náhodná proměnná se zabývá diskrétními hodnotami, konkrétně úspěchem a neúspěchem ve formě Bernoulliho pokusů, které dávají náhodný úspěch nebo neúspěch pouze jako výsledek, nyní směs Poissonova a gama rozdělení také známá jako negativní binomická distribuce je výsledkem opakované studie Bernoulliho studie, lze ji parametrizovat různým způsobem, jako když v řadě pokusů nastane r-tý úspěch, pak ji lze parametrizovat jako

a pokud je počet poruch před r-tým úspěchem, lze jej parametrizovat jako

a vzhledem k hodnotám r a p

obecná forma parametrizace pro záporné binomické nebo poissonovo rozdělení gama je

a alternativní je

toto binomické rozdělení je známé jako negativní kvůli koeficientu

a toto záporné binomické nebo poissonovo rozdělení gama je dobře definováno jako celková pravděpodobnost, kterou pro toto rozdělení dostaneme jako jednu

Průměr a rozptyl pro toto negativní binomické nebo poissonovo rozdělení gama je

vztah Poisson a gama můžeme získat následujícím výpočtem

Negativní dvojčlen je tedy směsí poissonova a gama distribuce a toto rozdělení se používá při každodenním modelování problémů, kde požadujeme diskrétní a spojitou směs.

Weibullova gama distribuce

   Existuje zobecnění exponenciálního rozdělení, které zahrnuje Weibullovo i gama rozdělení, protože Weibullovo rozdělení má funkci hustoty pravděpodobnosti jako

a kumulativní distribuční funkce jako

kde jako pdf a cdf gama distribuce již jsme diskutovali výše, hlavní spojení mezi Weibullovou a gama distribucí je jak zobecnění exponenciálního rozdělení, tak rozdíl mezi nimi je, když je síla proměnné větší než jedna, pak Weibullova distribuce dává rychlý výsledek, zatímco za méně než 1 gama dává rychlý výsledek.

     Nebudeme zde diskutovat o zobecněné Weibullově rozdělení gama, které vyžaduje samostatnou diskusi.

aplikace distribuce gama v reálném životě | použití gama distribuce | aplikace gama distribuce ve statistice 

  Existuje řada aplikací, kde se gama distribuce používá k modelování situace, jako je agregace pojistného plnění, akumulace množství srážek, pro jakýkoli produkt jeho výroba a distribuce, dav na konkrétním webu a v telekomunikační burze atd. ve skutečnosti gama distribuce poskytuje doba čekání předpověď do příští akce pro n-tou událost. Existuje řada aplikací gama distribuce v reálném životě.

beta gamma distribuce | vztah mezi gama a beta distribucí

    Distribuce beta je náhodná proměnná s funkcí hustoty pravděpodobnosti

kde

který má vztah s gama funkcí jako

a distribuce beta související s distribucí gama, jako by X byla distribuce gama s parametrem alfa a beta jako jedna a Y byla distribuce gama s parametrem alfa jako jedna a beta, pak náhodná proměnná X / (X + Y) je distribuce beta.

nebo Pokud X je Gamma (α, 1) a Y je Gamma (1, β), pak náhodná proměnná X / (X + Y) je Beta (α, β) 

a také

bivariate gama distribuce

     Dvojrozměrná nebo dvojrozměrná náhodná proměnná je spojitá, pokud existuje funkce f (x, y) taková, že funkce společné distribuce

kde

a funkce hustoty pravděpodobnosti kloubu získaná pomocí

existuje řada dvojrozměrného rozdělení gama, jedním z nich je dvojrozměrné rozdělení gama s funkcí hustoty pravděpodobnosti jako

dvojitá distribuce gama

  Double gama distribution is one of the bivariate distribution with gamma random variables having parameter alpha and one with joint probability density function as

tato hustota tvoří dvojí rozdělení gama s příslušnými náhodnými proměnnými a funkce generující moment pro dvojité rozdělení gama je

vztah mezi gama a exponenciálním rozdělením exponenciální a gama rozdělení | exponenciální rozdělení gama

   protože exponenciální rozdělení je rozdělení s funkcí hustoty pravděpodobnosti

a rozdělení gama má funkci hustoty pravděpodobnosti

jasně hodnota alfa, pokud dáme jako jednu, dostaneme exponenciální rozdělení, to znamená, že rozdělení gama není nic jiného než zobecnění exponenciálního rozdělení, které předpovídá dobu čekání do výskytu další n-té události, zatímco exponenciální rozdělení předpovídá čekání čas do výskytu další události.

přizpůsobit gama distribuci

   Co se týče přizpůsobení daných dat ve formě gama distribuce, znamená to nalezení dvouparametrové funkce hustoty pravděpodobnosti, která zahrnuje parametry tvaru, umístění a měřítka, takže nalezení těchto parametrů s různými aplikacemi a výpočet průměru, rozptylu, směrodatné odchylky a funkce generování momentu je přizpůsobení gama distribuce, protože různé reálné problémy budou modelovány v gama distribuci, takže informace podle situace musí být pro tento účel vhodné pro gama distribuci různé techniky v různých prostředích, např. v R, Matlab, Excel atd.

posunutá distribuce gama

     Podle aplikace a potřeby existuje požadavek na posunutí požadované distribuce ze dvouparametrového gama rozdělení nový zobecněný tříparametrový nebo jakýkoli jiný zobecněný gamma rozložení posun tvarového umístění a měřítka, takovéto gama rozdělení je známé jako posunuté gama rozdělení

zkrácená distribuce gama

     Pokud omezíme rozsah nebo doménu distribuce gama pro měřítko tvaru a parametry umístění, je omezená distribuce gama známá jako zkrácená distribuce gama na základě podmínek.

funkce přežití distribuce gama

                Funkce přežití pro rozdělení gama je definována funkcí s (x) následujícím způsobem

mle distribuce gama maximální pravděpodobnost distribuce gama funkce pravděpodobnosti rozdělení gama

víme, že maximální pravděpodobnost vezme vzorek z populace jako reprezentativní a tento vzorek považuje za odhad funkce hustoty pravděpodobnosti pro maximalizaci parametrů funkce hustoty, než přejde na gama distribuci, připomeňme si některé základy jako pro náhodnou proměnnou X funkce hustoty pravděpodobnosti s parametrem theta jako má funkci pravděpodobnosti jako

to můžeme vyjádřit jako

a metoda maximalizace této funkce pravděpodobnosti může být

pokud taková theta vyhovuje této rovnici, a protože log je monotónní funkce, můžeme psát z hlediska logu

a takové supremum existuje, pokud

nyní použijeme maximální pravděpodobnost funkce distribuce gama jako

pravděpodobnost funkce protokolu bude

takže je

a tudíž

Toho lze dosáhnout také jako

by

a parametr lze získat diferenciací

metoda odhadu gama distribučních parametrů momentů | metoda gama rozdělení odhadu momentů

   Můžeme vypočítat momenty populace a vzorku pomocí očekávání n-tého řádu, metoda momentu rovná tyto momenty distribuce a vzorek pro odhad parametrů, předpokládejme, že máme vzorek gama náhodné proměnné s funkcí hustoty pravděpodobnosti jako

víme, že první vlečné momenty pro tuto funkci hustoty pravděpodobnosti jsou

so

dostaneme od druhého okamžiku, když dosadíme lambda

az této hodnoty alfa je

a teď bude lambda

a odhad momentu pomocí vzorku bude

interval spolehlivosti pro rozdělení gama

   interval spolehlivosti pro distribuci gama je způsob, jak odhadnout informaci a její nejistotu, která říká, že interval má mít skutečnou hodnotu parametru, v jakém procentu se tento interval spolehlivosti získá z pozorování náhodných proměnných, protože random je samo o sobě náhodné, abychom získali interval spolehlivosti pro rozdělení gama, existují různé techniky v různých aplikacích, které musíme dodržovat.

konjugát distribuce gama před exponenciální distribucí | gama předchozí distribuce | zadní rozdělení poissonovo gama

     Posterior a předchozí distribuce jsou terminologie Bayesian teorie pravděpodobnosti a jsou navzájem konjugované, jakákoli dvě distribuce jsou konjugovaná, pokud zadní část jedné distribuce je jinou distribucí, z hlediska theta ukažme, že gama distribuce je konjugovaná před exponenciální distribucí

pokud je funkce hustoty pravděpodobnosti gama distribuce z hlediska theta je jako

předpokládejme, že distribuční funkce pro theta je exponenciální z daných dat

takže společná distribuce bude

a pomocí vztahu

máme

, která je

takže distribuce gama je konjugovaná před exponenciální distribucí, protože zadní je distribuce gama.

kvantilová funkce distribuce gama

   Kvantilní funkce distribuce gama bude funkcí, která dává body v distribuci gama, které se vztahují k pořadí hodnot v distribuci gama, což vyžaduje kumulativní distribuční funkci a pro jiný jazyk odlišný algoritmus a funkce pro kvantil distribuce gama.

zobecněná distribuce gama

    Protože samotná distribuce gama je zobecněním exponenciální distribuční rodiny a přidání dalších parametrů k této distribuci nám dává zobecněnou distribuci gama, což je další zobecnění této distribuční rodiny, fyzické požadavky dávají různé zobecnění, jedním z častých je použití funkce hustoty pravděpodobnosti tak jako

kumulativní distribuční funkci pro takto zobecněnou gama distribuci lze získat pomocí

kde čitatel představuje neúplnou funkci gama jako

pomocí této neúplné funkce gama lze získat funkci přežití pro zobecněnou distribuci gama jako

další verze tohoto tříparametrického generalizovaného rozdělení gama s funkcí hustoty pravděpodobnosti je

kde k, β, θ jsou parametry větší než nula, má tato generalizace problémy s konvergencí k překonání Weibullových parametrů nahrazuje

pomocí této parametrizace byla získána konvergence hustotní funkce, takže čím více zobecnění pro gama rozdělení s konvergencí je rozdělení s funkcí hustoty pravděpodobnosti jako

Beta zobecněná distribuce gama

   Distribuce gama zahrnující parametr beta ve funkci hustoty, kvůli které je někdy distribuce gama známá jako beta generalizovaná distribuce gama s funkcí hustoty

s kumulativní distribuční funkcí jako

který je již podrobně diskutován v diskusi o distribuci gama, je další beta zobecněná distribuce gama definována pomocí cdf jako

kde B (a, b) je funkce beta a funkci hustoty pravděpodobnosti lze získat diferenciací a funkce hustoty bude

zde G(x) je výše definované kumulativní rozdělení funkce gama distribuce, pokud dáme tuto hodnotu, pak kumulativní distribuční funkce beta generalizované gama distribuce je

a funkce hustoty pravděpodobnosti

zbývající vlastnosti mohou být rozšířeny pro tuto beta zobecněnou gama distribuci s obvyklými definicemi.

Závěr:

Existují různé formy a zobecnění gama distribuce a exponenciální rodina distribuce gama podle skutečných životních situací, takže možné formy a zobecnění byly pokryty navíc metodami odhadu distribuce gama v populaci vzorkování informací, pokud potřebujete další informace o exponenciální rodině distribuce gama, projděte si níže uvedený odkaz a knihy. Další témata týkající se matematiky naleznete na naše stránka.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

První kurz pravděpodobnosti od Sheldona Rosse

Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky

Úvod do pravděpodobnosti a statistik od ROHATGI a SALEH

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Jsem DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Dokončil jsem Ph.D. v matematice a pracuje jako odborný asistent v matematice. Má 12 let praxe v pedagogické činnosti. Mít rozsáhlé znalosti v čisté matematice, přesně v algebře. Mít obrovskou schopnost navrhovat a řešit problémy. Schopný motivovat kandidáty ke zvýšení jejich výkonu.
Rád přispívám do Lambdageeks, aby byla matematika jednoduchá, zajímavá a samovysvětlující pro začátečníky i odborníky.