Diskrétní náhodná proměnná a matematická očekávání: 5 faktů

Diskrétní náhodná proměnná a matematické očekávání

Obvykle nás nezajímají všechny možné výsledky jakéhokoli náhodného nebo nenáhodného experimentu, místo toho nás zajímá nějaká pravděpodobnost nebo číselná hodnota příznivých událostí, například předpokládejme, že hodíme dvě kostky na součet jako 8, pak nejsme zájem o výsledek jako první kostky, které mají 2 druhé kostky jako 6 nebo (3,5), (5,3), (4,4), (6,2) atd. podobně pro náhodný experiment nádrže v každodenním životě nás nezajímá denní zvýšení nebo snížení hladiny vody, ale zajímá nás pouze hladina vody v období dešťů po dokončení.

Takže takové numerické veličiny, které nás zajímají, jsou považovány za náhodnou proměnnou příslušného náhodného experimentu. Za tímto účelem přiřadíme možné skutečné hodnoty k výsledkům náhodného experimentu numericky. Pro ilustraci přiřazení číselné hodnoty výsledku zvažte experiment hodu mincí, přiřadíme číselnou hodnotu 0 a 1 pro hlavu respektive stopu ve vzorovém prostoru náhodného experimentu. 

Diskrétní náhodná proměnná

Diskrétní náhodná proměnná lze definovat jako náhodnou proměnnou, která je konečná nebo spočetně nekonečná a ti, kteří nejsou koneční nebo spočetně nekoneční, jsou nediskrétní náhodné proměnné. Pro každý prvek vzorového prostoru, kterému přiřadíme reálné číslo, lze toto interpretovat z hlediska funkce se skutečnou hodnotou označené X, tj. X: S → R. Tuto funkci nazýváme náhodnou proměnnou nebo stochastickou funkcí, která má určitou fyzickou, geometrickou nebo jinou důležitost.

Příklad: Zvažte experiment hodu dvěma kostkami, pak předpokládejme náhodnou proměnnou nebo stochastická funkce představují součet bodů, které se objevily na kostkách, pak možné hodnoty pro ukázkový prostor

S = {(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

          (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

          (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

        (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

        (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

        (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

bude X = 2, pro (1,1)

X = 3 pro (1,2), (2,1) atd. Z následujícího můžeme snadno pochopit

X = 2(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
X = 3(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
X = 4(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
X = 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
X = 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)
X = 7X = 8X = 9X = 10X = 11X = 12

Ve výše uvedené tabulce budou diagonální prvky zprava doleva dávat součet vyjádřený náhodnou proměnnou nebo stochastickou funkcí.

Pravděpodobnost pro příslušnou náhodnou proměnnou lze vyjádřit následovně

Diskrétní náhodná proměnná
Diskrétní náhodná proměnná: házení dvou kostkových ukázkových prostorů

Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti je pravděpodobnost náhodných proměnných, které jsou v podstatě diskrétní, zejména pokud x1, X2, X3, X4, ………., Xk jsou hodnoty diskrétní náhodná proměnná X pak P (x1), P (x2), P (x3), P (x4), ……… .P (xk) jsou odpovídající pravděpodobnosti.

Pravděpodobnostní funkce / rozdělení pravděpodobnosti můžeme označit jako 

P (X = x) = f (x)

a podle definice pravděpodobnosti tato funkce splňuje následující podmínky.

  1. f (x) ≥0
  2. Σ f (x) = 1, kde tento součet je celkový součet pro x.

Příklad: Pokud by mince hodila dvakrát, pak kdybychom vyjádřili počet stop, které by se objevily jako náhodná proměnná X, pak by to bylo 

VýsledkyTTTHHTHH
X2110

Vezmeme-li spravedlivou minci, pak výše uvedené bude výsledkem losování dvakrát a pravděpodobnost takové náhodné proměnné bude

P (X = 0) = P (H, H) = 1/4

P (X = 1) = P (TH nebo HT) = P (TH ∪ HT) = P (TH) + P (HT) = 1/4 + 1/4 = 1/2

a P (X = 2) = P (TT) = 1/4

Toto rozdělení pravděpodobnosti můžeme tabelovat následovně

X012
P (X = x) = f (x)¼½1/4

Kumulativní distribuční funkce (CDF) / distribuční funkce

Budeme definovat Distribuční funkce or Funkce kumulativní distribuce (cdf) pro diskrétní náhodnou proměnnou X označenou F (x), pro-∞≤x≤∞ as

F (x) = P (X≤x)

Pokud to bude následovat

  1. Pro libovolné x, y, x≤y, F (x) ≤ F (y) tj. Kumulativní distribuční funkce F (x) neklesá.
  2. F (x) = 0 a F (x) = 1
  3. F (x + h) = F (x), ∀ x tj. kumulativní distribuční funkce F (x) je pravá spojitá.

Protože pro diskrétní náhodná proměnná pravděpodobnost pro X = x je P (X = x), pro x1<X<x2 bude P (x1<X<x2) a pro X≤x je P (X≤x).

Můžeme napsat distribuční funkci pro diskrétní distribuční funkci následujícím způsobem

Diskrétní náhodná proměnná
Diskrétní náhodná proměnná: funkce kumulativní distribuce

funkci pravděpodobnosti můžeme získat z distribuční funkce jako

P (X = x) = f (x) = F (x) -F (u)

Příklad: Projekt pravděpodobnost pro diskrétní náhodnou veličinu je dáno následovně

X01234567
P (x)01/101/51/53/101/1001/5017/100
Funkce kumulativní distribuce

Najít F2, F5, F (7)?

Řešení:

Diskrétní náhodná proměnná
Diskrétní náhodná proměnná: Příklad

Matematické očekávání 

   Matematické očekávání je velmi důležitý koncept pro teorie pravděpodobnosti stejně jako z hlediska statistiky je známá také jako očekávání nebo očekávaná hodnota, lze ji definovat jako součet náhodných veličin a jejich pravděpodobností při násobení, tj. pokud x1, X2, X3, X4, ……….Xn jsou hodnoty diskrétní náhodné proměnné X pak P (x1), P (x2), P (x3), P (x4),……….P(xn) jsou pak odpovídající pravděpodobnosti matematické očekávání náhodné veličiny X označeno E(x) jako

Diskrétní náhodná proměnná
Diskrétní náhodná proměnná: Příklad

Příklad: Z balíčku 72 karet očíslovaných od 1 do 72 najednou je vylosováno 8 karet, najděte očekávanou hodnotu součtu čísel na vylosovaných tiketech.

Řešení:. zvažte náhodné proměnné x1, X2, X3, X4,……….Xn představující karty očíslované 1, 2, 3, 4, ………, 72

takže pravděpodobnost kteréhokoli x ze 72 karet je 

P (xi) = 1 / n = 1/72

od té doby bude očekávání

E (x) = x1. (1 / n) + x2. (1 / n) + x3. (1 / n) + …………… + xn. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

Nyní bude očekávaná hodnota pro 8 takových karet 

E (x) = x1. (1 / n) + x2. (1 / n) + x3. (1 / n) + …………… + x8. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

odchylka, Směrodatná odchylka a Střední odchylka podle matematického očekávání

Projekt důležité pojmy statistiky standardní odchylka a odchylka můžeme vyjádřit z hlediska matematického očekávání, tedy pokud náhodné proměnné x1, X2, X3, X4, ……….Xn s odpovídajícími pravděpodobnostmi P (x1), P (x2), P (x3), P (x4), ……… .P (xn) pak bude rozptyl

Diskrétní náhodná proměnná
Diskrétní náhodná proměnná: směrodatná odchylka

Příklad: Ve hře, pokud se použijí spravedlivé kostky a hráč vyhraje, pokud na kostky přijde lichá hodnota a peníze za výhry budou rozdány Rs 20, pokud přijde 1, Rs 40 za 3 a Rs 60 za 5 a pokud je jiná kostka pro hráče přišla ztráta 10 Rs. najít očekávané peníze, které lze vyhrát s odchylkou a směrodatnou odchylkou.

Řešení:

U spravedlivých kostek známe rozdělení pravděpodobností,

X123456
P (X = x)1/61/61/61/61/61/6
standardní odchylka

Nechť X je náhodná proměnná pro převod kostek podle požadavku na hru vyhraného nebo prohraného, ​​když obličej přišel následovně,

X+20-1040-1060-10
P (X = x)1/61/61/61/61/61/6
standardní odchylka

takže očekávaná částka vyhraná jakýmkoli hráčem bude

  E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

takže očekávaná částka vyhraná jakýmkoli hráčem bude μ = 15

Diskrétní náhodná proměnná
Diskrétní náhodná proměnná: směrodatná odchylka

Výsledek matematického očekávání i rozptyl lze zobecnit pro více než dvě proměnné podle požadavku.

Závěr:

   V tomto článku jsme se zabývali především diskrétní náhodnou veličinou, rozdělením pravděpodobnosti a distribuční funkcí známou jako cdf kumulativní distribuční funkce, také konceptem Matematické očekávání pro diskrétní náhodnou veličinu a jaká by byla střední odchylka, rozptyl a směrodatná odchylka pro takovou diskrétní náhodnou veličinu je vysvětlena pomocí vhodných příkladů v dalším článku budeme diskutovat totéž pro spojitou náhodnou veličinu, pokud chcete další čtení, projděte si:

Další téma Matematika naleznete zde https://trials.autocruitment.com.

Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability