Průhyb nosníku | Kompletní přehled a důležité vztahy

Obsah: Průhyb nosníku

• Definice deformační křivky
• Definice úhlu vychýlení
• Definice výchylky
• Okrajové podmínky průhybu paprsku
• Vztah mezi zatěžovacími silami, smykovou silou, ohybovým momentem, sklonem a průhybem
• Rovnice a vztahy ohybu paprskem
• Tabulka průhybu nosníku a vzorce pro standardní zatěžovací stavy
• Vychýlení paprsku a sklon s příklady Případ I: Přesahující paprsek
• Případ II: Určete maximální průhyb jednoduše podporovaného nosníku s bodovým zatížením ve středu
• Případ III: Určete maximální průhyb jednoduše podepřeného paprsku s koncentrovaným bodovým zatížením ve vzdálenosti „a“ od podpory A
• Metoda dvojité integrace
• Postup pro metodu dvojité integrace
• Metoda dvojité integrace pro zjištění vychýlení paprsku pomocí příkladu a konzolový nosník s rovnoměrně rozloženou zátěží
• Metoda dvojité integrace pro trojúhelníkové načítání

In inženýrství, výchylka je míra, do jaké je konstrukční prvek posunut pod zatížením (v důsledku jeho deformace). Může se jednat o úhel nebo vzdálenost. Vzdálenost průhybu prvku pod zatížením lze vypočítat integrací funkce, která matematicky popisuje sklon vychýleného tvaru prvku pod tímto zatížením. Existují standardní vzorce pro vychýlení běžných konfigurací paprsků a zatěžovacích stavů na diskrétních místech. Jinak se používají metody jako virtuální práce, přímá integrace, Castiglianova metoda, Macaulayova metoda nebo metoda přímé tuhosti.

Průhybová křivka

Když jsou nosníky zatíženy bočním nebo podélným zatížením, počáteční přímá podélná osa se deformuje do křivky známé jako pružná křivka paprsku nebo křivka vychýlení. Průhybová křivka je deformovaná osa vybraného paprsku.

Úhel vychýlení

Sklon lze definovat jako úhel mezi podélnou osou paprsku a tečnou vytvořenou k deformační křivce paprsku v libovolném požadovaném místě. Je to úhel otáčení neutrální osy paprsku. Měří se v radiánech.

Výchylka

Průhyb je posunutí nebo posunutí libovolného bodu na ose paprsku, měřeno ve směru y od počáteční přímé podélné osy k bodu na křivce průhybu paprsku. Měří se v mm. Průhyb představuje odchylku přímé podélné osy v důsledku příčného zatížení. Naproti tomu vzpěr nosníku představuje odchylku počáteční přímé podélné osy v důsledku axiálního tlakového zatížení. To je obvykle reprezentováno 'y '

Pokud se paprsek ohýbá jako kruhový oblouk, nazývá se to kruhový ohyb; jinak se tomu říká nekruhový ohyb. Předpokládejme, že hranolový paprsek je vystaven proměnlivému ohybovému momentu. V takovém případě má za následek nekruhový ohyb, a pokud je vystaven konstantnímu ohybovému momentu, má za následek kruhový ohyb paprsku.

Okrajové podmínky průhybu paprsku

1. y je nula na podpěře čepu nebo válečku.
2. y je nula u vestavěné nebo konzolové podpory.
3. Předpokládejme, že ohybový moment a tuhost v ohybu jsou nespojité funkce x. V takovém případě nelze napsat jedinou diferenciální rovnici pro celý paprsek; rovnice křivky pro dva sousední segmenty by měly splňovat dané dvě podmínky na křižovatce mezi segmenty:

• 1. Y pro levou část se musí rovnat y pro pravou část.
• 2. Sklon levé části se musí rovnat sklonu pravé části.

Vztah mezi zatěžovacími silami, smykovou silou, ohybovým momentem, sklonem a průhybem

Zvažte vodorovný paprsek AB v nezatíženém stavu. Pokud se AB pod zatížením vychýlí, bude nová poloha A'B '. Sklon v kterémkoli bodě C bude

i=\\frac{dy}{dx}

Průhyb je obvykle minimální a pro malý poloměr zakřivení

ds=dx=Rdi \\\\\\frac{di}{dx}=1/R

Ale\\;i=\\frac{dy}{dx}

Tak,

\\frac{d^2 y}{ dx^2}=1/R  

Podle jednoduché teorie ohybových momentů

\\frac{M}{I}=\\frac{E}{R}

\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI}

Tak,

\\frac{d^2 y}{dx^2}=\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI}

Kde,

E = Youngův modul materiálu

I = Plošný moment setrvačnosti

M = maximální moment

R = poloměr zakřivení paprsku

Toto je základní diferenciální rovnice pro vychýlení paprsku.

Rovnice a vztahy ohybu paprskem

Průhyb = y

Sklon = \\frac{dy}{dx}

Ohyb\\;moment =EI\\frac{d^2y}{dx^2}

Stříhat\\; Síla = EI\\frac{d^3y}{dx^3}

Načíst \\;distribuci =EI\\frac{d^4y}{dx^4}

Tabulka průhybu nosníku a vzorce pro standardní zatěžovací stavy:

• Maximální sklon a průhyb v konzolovém nosníku se vyskytují na volném konci nosníku, zatímco na upnutém konci konzolového nosníku není pozorován žádný sklon nebo průhyb.
•  Pro jednoduše podepřený nosník se symetrickými podmínkami zatížení lze maximální průhyb zjistit ve středním rozpětí. Maximální sklon lze pozorovat na podpěrách nosníku. Maximální výchylka nastává tam, kde je sklon nulový.

Průhyb a sklon paprsku s příklady

Případ I: Přesahující paprsek

Zvažte převislý ocelový nosník nesoucí koncentrované zatížení P = 50 kN na konci C.

Pro Převislý paprsek (a) určete sklon a maximální výchylku, (b) vyhodnoťte sklon ve vzdálenosti 7 m od A a maximální výchylku z daných údajů I = 722 XNUMX cm² E = 210 GPa.

Řešení: Schéma volného těla pro daný paprsek je

Hodnotu reakce při A a B lze vypočítat použitím rovnovážných podmínek

\\součet F_y=0\\;\\součet M_A=0

Pro vertikální rovnováhu F_y = 0

R_A + R_B = P

Chvíli o A, moment ve směru hodinových ručiček kladný a čas proti směru hodinových ručiček, je považován za záporný.

P(L+a)-R_B*L=0 \\\\R_B=P(1+a/L)

Tak,

R_A+P(1+\\frac{a}{L})=P

R_A= \\frac{-Pa}{L}

Zvažte jakoukoli část AD ve vzdálenosti x od podpory A

Moment v bodě D je

M= \\frac{-Pa}{L x}

Pomocí diferenciální rovnice křivky

EI \\frac{d^2 y}{dx^2}= \\frac{-Pa}{L x}

Integrace dvakrát, dostaneme

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+C_1……………..[1]

EIy=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x^3+C_1x+C_2………..[2]

Konstanty integrace najdeme pomocí okrajových podmínek, které máme k dispozici

Při x = 0, y = 0; z rovnice [2] dostaneme,

C_2 = 0

Při x = L, y = 0; z rovnice [2] dostaneme,

0=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }*L^3+C_1*L+0

C_1= \\frac{PaL}{6}

Takto získáme rovnici sklonu dosazením hodnot C₁ a C₂ v 1]

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}…………….. [3]

Takto získáme rovnici výchylky dosazením hodnot C₁ a C₂ v 2]

EIy=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x^3+\\frac{PaL}{6}x……………..[4]

Maximální výchylka nastává, když je sklon nulový. Umístění bodu maximálního vychýlení lze tedy zjistit z [3]:

0= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}

 \\frac{1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2=\\frac{PaL}{6}

x_m=\\frac{L}{\\sqrt 3}

x_m = 0.577 l

Uvedení hodnoty x do rovnice [4]

EIy_{max}=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x_m^3+\\frac{PaL}{6}x_m

EIy_{max}=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }*0.577 L^3+\\frac{PaL}{6}*0.577 L

y_{max}=0.064\\frac{Pal^2}{EI}

Vyhodnoťte sklon ve vzdálenosti 7 m od A z daných údajů:

 I = 722 \\;cm^4=72210^{-8}\\; m^4, E = 210\\; GPa = 210*10^9\\; Pa

Použití rovnice [3]

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2}  \\frac{50*10^3*4}{15 }*7^2+\\frac{50*10^3*4*15}{6}

\\frac{dy}{dx}=0.5452 \\;radiánů

maximální průhyb paprsku může být dán vztahem

y_{max}=0.064\\frac{Pal^2}{EI}

y_{max}=0.064\\frac{50*10^3*4*15^2}{210*10^9*722*10^{-8}}

y_{max}=1.89 \\;m

Případ II: Určete maximální průhyb jednoduše podporovaného nosníku s bodovým zatížením ve středu.

Zvažte jednoduše podepřený ocelový nosník nesoucí koncentrované zatížení F = 50 kN v bodě C. Pro jednoduše podepřený nosník (a) vyhodnoťte sklon v A a maximální průhyb z daných údajů: I = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 15 m

Obrázek níže ukazuje FBD pro jednoduše podepřený nosník s bodovým zatížením.

Podle standardních vztahů a vzorce

Sklon na konci paprsku může být dán vztahem

\\frac{dy}{dx}=\\frac{FL^2}{16EI}

\\frac{dy}{dx}=\\frac{50*10^3*15^2}{16*210*10^9*722*10^{-8}}

\\frac{dy}{dx}=0.463

Pro jednoduše podepřený nosník s bodovým zatížením působícím ve středu lze maximální průhyb určit pomocí

y_{max}=\\frac{FL^3}{48EI }

y_{max}=\\frac{50*10^3*15^3}{48*210*10^9*722*10^{-8} }

y_{max}=2.31 \\;m

Případ III: Pro Jednoduše podepřený nosník se soustředěným bodovým zatížením ve vzdálenosti od podpory A

Zvažte jednoduše podepřený ocelový nosník nesoucí koncentrované zatížení F = 50 kN v bodě C. U jednoduše podepřeného nosníku (a) vyhodnoťte sklon v A a B a maximální průhyb z daných údajů: I = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 15 m, a = 7 m, b = 13 m

Obrázek níže ukazuje FBD pro jednoduše podepřený nosník s bodovým zatížením.

Podle standardních vztahů a vzorce

Sklon v podpěře A nosníku může být dán vztahem

\\theta_1=\\frac{Fb(L^2-b^2)}{6LEI}

\\theta_1=\\frac{50*10^3*13*(20^2-13^2)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}

\\theta_1=0.825 \\;radiánů 

Sklon na podpěře B nosníku může být dán vztahem

\\theta_2=\\frac{Fab(2L-b)}{6LEI}

\\theta_2=\\frac{50*10^3*7*13*(2*20-13)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}

\\theta_2=0.675 \\;radiánů

Pro jednoduše podepřený nosník s bodovým zatížením působícím ve středu lze maximální průhyb určit pomocí

y_{max}=\\frac{50*10^3*13}{48*210*10^9*722*10^{-8} }*(3*15^2-4*13^2)

y_{max}=-8.93*10^{-3}\\; m = -8.93 mm

Metoda dvojité integrace

Pokud je ohybová tuhost EI konstantní a moment je funkcí vzdálenosti x, integrace EI (d² y) / (dx² ) = M přinese Slope

EI \\frac{dy}{dx}=\\int M dx+C_1

EIy=\\int \\int Mdxdx+C_1x+C_2

kde C.₁ a C₂ jsou konstanty. Určují se pomocí okrajových podmínek nebo jiných podmínek na paprsku. Výše uvedená rovnice udává výchylku y jako funkci x; nazývá se to rovnice pružné nebo deformační křivky.

Výše uvedená metoda analýzy průhybu a sklonu paprsku je známá jako metoda dvojité integrace pro výpočet průhybů paprsku. Pokud jsou ohybový moment a tuhost v ohybu spojitou funkcí x, lze zaznamenat jedinou diferenciální rovnici pro celý paprsek. Pro staticky determinovaný paprsek existují dvě podpůrné reakce; každý ukládá danou sadu omezení na sklon pružné křivky. Tato omezení se nazývají okrajové podmínky a používají se k určení dvou konstant integrace.

Okrajové podmínky metody dvojité integrace

1. y je nula na podpěře čepu nebo válečku.
2. y je nula u vestavěné nebo konzolové podpory.
3. Předpokládejme, že ohybový moment a tuhost v ohybu jsou nespojité funkce x. V takovém případě nelze napsat jedinou diferenciální rovnici pro celý paprsek; rovnice křivky pro dva sousední segmenty by měly splňovat dané dvě podmínky na křižovatce mezi segmenty:

• 1. Y pro levou část se musí rovnat y pro pravou část.
• 2. Sklon levé části se musí rovnat sklonu pravé části.

Postup pro metodu dvojité integrace

• Nakreslete pružnou křivku pro paprsek a zvažte všechny nezbytné okrajové podmínky, například y je nula na podpěře čepu nebo válečku a y je nula při vestavěné nebo konzolové podpoře.
• Určete ohybový moment M v libovolné vzdálenosti x od podpory metodou řezů. Při hledání Momentu M. pro nespojitý moment použijte příslušná pravidla ohybového momentu, rovnice křivky pro dva sousední segmenty by měly splňovat dané dvě podmínky na křižovatce mezi segmenty: y pro levou část se musí rovnat y pro pravou část. 2. Sklon levé části se musí rovnat sklonu pravé části.
• Integrujte rovnici dvakrát, abyste získali sklon a průhyb, a nezapomeňte najít konstantní integraci pro každý řez pomocí okrajových podmínek.

Příklady metody dvojité integrace pro zjištění průhybu paprsku

Vezměte v úvahu konzolový paprsek délky L zobrazený na obrázku níže s rovnoměrně rozloženým zatížením. V konzolovém nosníku je jeden konec pevný, zatímco druhý konec se může volně pohybovat. Rovnici pro sklon a ohybový moment pro tento paprsek odvodíme pomocí metody dvojité integrace.

Ohybový moment působící ve vzdálenosti x od levého konce lze získat jako:

M=-šx* \\frac{x}{2}

Pomocí diferenciální rovnice křivky

\\frac{d^2y}{dx^2}=M = \\frac{-wx^2}{2}

Jakmile se dočkáme integrace,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+C_1………..[1]

Integrační rovnici [1] dostaneme,

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]

Konstanty integrací lze získat pomocí okrajových podmínek,

Při x = L, dy / dx = 0; protože podpora na A odolává pohybům. Z rovnice [1] tedy dostaneme,

C_1=\\frac{wL^3}{6}

Při x = L, y = 0, bez průhybu na podpěře nebo pevném konci A Z rovnice [2] tedy dostaneme,

0= \\frac{-wL^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} *L+C_2

C_2= \\frac{-wL^4}{8}

 Dosazením hodnoty konstanty v [1] a [2] získáme nové množiny rovnic jako

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}………..[3]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}……..[4]

vyhodnotit sklon při x = 12 m a maximální průhyb z daných údajů: I = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Z výše uvedených rovnic: při x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-20*12^3}{6}+\\frac{20*20^3}{6}

\\frac{dy}{dx}=0.01378 \\;radiánů

Z rovnice [4]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}

210*10^9*722*10^{-8}*y= \\frac{-20*12^4}{24}+\\frac{20*20^3}{6} -\\frac{20*20^4}{8}

y=-0.064 \\;m

Metoda dvojité integrace pro trojúhelníkové načítání

Vezměte v úvahu jednoduše podporovaný paprsek délky L zobrazený na obrázku níže s trojúhelníkovým zatížením. Rovnici pro sklon a ohybový moment pro tento paprsek odvodíme pomocí metody dvojité integrace.

Protože zatížení je symetrické, každá reakce podpory ponese polovinu celkového zatížení. Bylo zjištěno, že reakce v A a B je wL / 4.

Okamžik v kterémkoli bodě ve vzdálenosti x od R._A is

M=\\frac{wL}{4} x- \\frac{wx^2}{L}\\frac{x}{3}=\\frac{w}{12L} (3L^2 x-4x ^3) 

 \\frac{d^2 y}{dx^2}=M=\\frac{w}{12L} (3L^2 x-4x^3 ) 

Integrace dvakrát nám přinese rovnice,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+C_1...........................[1]

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2x^3}{2}-\\frac{x^5}{5})+C_1 x+C_2……..[2]

Při x = 0, y = 0; z rovnice [2] dostaneme,

C_2 = 0

Kvůli symetrii zatížení je sklon ve středním rozpětí nulový. Dy / dx = 0 při x = L / 2

0=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2*L^2}{2*4}-(L^4/16))+C_1

C_1=\\frac{-5wL^3}{192}

Dosazením hodnoty konstant v [1] a [2] dostaneme,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\\frac{-5wL^3}{192}...........................[3]

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2x^3}{2}-\\frac{x^5}{5})+\\frac{-5wL^3}{192} x……..[4]

Maximální průhyb bude pozorován ve středu paprsku. tj. na L / 2

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2(L/2)^3}{2}-\\frac{(L/2)^5}{5})+\\frac{-5wL^3}{192}(L/2)

EIy_{max}=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^5}{16}-\\frac{L^5}{160})+\\frac{-5wL^4}{384}

EIy_{max}=\\frac{-wL^4}{120}

vyhodnotit sklon při x = 12 ma maximální hodnotě y z daných údajů: I = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Z výše uvedených rovnic: při x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\\frac{-5wL^3}{192}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}=\\frac{20}{12*20}(\\frac{3*20^2*12^2}{2}-12^4)+\\frac{-5*20*20^3}{192}

\\frac{dy}{dx}=8.60*10^{-4 } \\;radiánů

Z rovnice [4]

EIy_{max}=\\frac{-wL^4}{120}

210*10^9*722*10^{-8}*y=\\frac{-20*20^4}{120}

y=-0.01758\\;m

Chcete-li vědět o pevnosti materiálu (klikněte zde)a metoda Moment Area Klikněte zde.

Hakimuddin Bawangaonwala

Jsem Hakimuddin Bawangaonwala, strojní inženýr s odbornými znalostmi v oblasti mechanického návrhu a vývoje. Dokončil jsem M. Tech v konstrukčním inženýrství a mám 2.5 roku zkušeností s výzkumem. Dosud byly publikovány dva výzkumné články o tvrdém soustružení a analýze konečných prvků u zařízení pro tepelné zpracování. Mou oblastí zájmu je konstrukce strojů, pevnost materiálu, přenos tepla, tepelné inženýrství atd. Zběhlý v CATIA a ANSYS softwaru pro CAD a CAE. Kromě výzkumu.