POVINNOST, RŮZNOST SUMSŮ A KORELACE NÁHODNÝCH PREMENNÝCH
Statistické parametry náhodných proměnných různé povahy pomocí definice očekávání náhodné proměnné lze snadno získat a pochopit, v následujícím najdeme některé parametry pomocí matematického očekávání náhodné proměnné.
Okamžiky počtu událostí, ke kterým dojde
Zatím víme, že očekávání různých sil náhodné proměnné jsou momenty náhodných proměnných a jak najít očekávání náhodné proměnné z událostí, pokud již došlo k počtu událostí, nyní nás zajímá očekávání, pokud dvojice počtu událostí již došlo, nyní pokud X představuje počet událostí, které nastaly, pak pro události A1,2,…., An definujte indikátorovou proměnnou Ii as
očekávání X v diskrétním smyslu bude
protože náhodná proměnná X je
nyní musíme použít, abychom našli očekávání, zda již došlo k počtu párů událostí kombinace as
to dává očekávání jako
z toho dostaneme očekávání čtverce x a hodnotu rozptylu také o
Pomocí této diskuse zaměříme různé druhy náhodných proměnných na nalezení takových momentů.
Okamžiky binomických náhodných proměnných
Pokud p je pravděpodobnost úspěchu z n nezávislých pokusů, označme Ai pro zkoušku jsem jako úspěch ano
a proto rozptyl binomické náhodné veličiny bude
protože
pokud zobecníme pro k události
toto očekávání můžeme získat postupně pro hodnotu k větší než 3, najdeme pro 3
pomocí této iterace můžeme získat
Okamžiky hypergeometrických náhodných proměnných
Okamžiky této náhodné proměnné pochopíme pomocí příkladu, předpokládejme, že n pera jsou náhodně vybrána z pole obsahujícího N pera, z nichž m jsou modrá, Nechť Ai označte události, že i-té pero je modré, nyní X je počet vybraných modrých per se rovná počtu událostí A1,A2,…..,An k tomu dochází, protože vybrané i-té pero je stejně pravděpodobné jako kterékoli z N per, z nichž m jsou modré
a tak
to dává
takže rozptyl hypergeometrické náhodné proměnné bude
podobným způsobem pro vyšší momenty
proto
Okamžiky negativních hypergeometrických náhodných proměnných
vezměme si příklad balení obsahujícího n + m vakcín, z nichž n jsou speciální am jsou běžné, tyto vakcíny byly odstraněny po jedné, přičemž každé nové odstranění bude stejně pravděpodobné, že bude některou z vakcín, které v balení zůstanou. Nyní nechte náhodnou proměnnou Y označit počet vakcín, které je třeba odebrat, dokud nebude odstraněno celkem r speciálních vakcín, což je negativní hypergeometrická distribuce, to je jaksi podobné s negativním binomickým binomickým jako s hypergeometrickým rozdělením. najít pravděpodobnost hromadná funkce, pokud kth draw dává speciální vakcínu po k-1 draw dává r-1 speciální a kr obyčejnou vakcínu
nyní náhodná proměnná Y
Y = r + X
pro události Ai
as
proto abychom našli rozptyl Y, musíme znát rozptyl X tak
proto
SPOVĚDNOST
Vztah mezi dvěma náhodnými proměnnými může být reprezentován kovariancí statistických parametrů, než definice kovariance dvou náhodných proměnných X a Y připomene, že očekávání dvou funkcí g a h náhodných proměnných X a Y
pomocí tohoto vztahu očekávání můžeme definovat kovarianci jako
„Kovariance mezi náhodnou proměnnou X a náhodnou proměnnou Y označenou cov (X, Y) je definována jako
pomocí definice očekávání a rozšiřování dostaneme
je jasné, že pokud jsou náhodné proměnné X a Y nezávislé, pak
ale konverzace není pravdivá, například pokud
a definování náhodné proměnné Y jako
so
zde jasně X a Y nejsou nezávislé, ale kovariance je nula.
Vlastnosti kovariance
Kovariance mezi náhodnými proměnnými X a Y má některé vlastnosti následovně
pomocí definice mimo kovarianci jsou první tři vlastnosti okamžité a čtvrtá vlastnost následuje zvážením
nyní podle definice
Rozptyl částek
Důležitým výsledkem těchto vlastností je
as
Pokud Xi Jsou pak párově nezávislé
Příklad: Rozptyl binomické náhodné proměnné
Pokud X je náhodná proměnná
kde Xi jsou nezávislé Bernoulliho náhodné proměnné takové, že
pak najděte rozptyl binomické náhodné proměnné X s parametry n a p.
Řešení:
od
takže pro jednu proměnnou máme
takže rozptyl je
Příklad
Pro nezávislé náhodné proměnné Xi s příslušnými prostředky a rozptylem a novou náhodnou proměnnou s odchylkou jako
pak vypočítat
řešení:
Použitím výše uvedené vlastnosti a definice máme
nyní pro náhodnou proměnnou S
vezměte očekávání
Příklad:
Najděte kovarianci funkcí indikátorů pro události A a B.
Řešení:
u událostí A a B jsou funkce indikátoru
takže očekávání jsou
tedy kovariance je
Příklad:
Ukaž to
kde Xi jsou nezávislé náhodné proměnné s rozptylem.
Řešení:
Kvariance pomocí vlastností a definice bude
Příklad:
Vypočítejte průměr a rozptyl náhodné proměnné S, která je součtem n vzorkovaných hodnot, pokud je soubor N lidí, z nichž každý má názor na určitý předmět, který se měří reálným číslem v což představuje „sílu pocitu“ člověka z daného předmětu. Nechat představují sílu pocitu člověka
což je neznámé, ke sběru informací je náhodně odebrán vzorek n z N, těchto n lidí je zpochybněno a jejich pocit je získán pro výpočet vi
Řešení
definujme funkci indikátoru jako
tedy můžeme vyjádřit S jako
a jeho očekávání jako
to dává rozptyl jako
od
máme
známe identitu
so
takže průměr a rozptyl pro uvedenou náhodnou proměnnou budou
Závěr:
Korelace mezi dvěma náhodnými proměnnými je definována jako kovariance a pomocí kovariance se získá součet rozptylu pro různé náhodné proměnné, kovariance a různé momenty se získají pomocí definice očekávání, pokud potřebujete další čtení projít
https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation
První kurz pravděpodobnosti od Sheldona Rosse
Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky
Úvod do pravděpodobnosti a statistik od ROHATGI a SALEH.
Další příspěvek z matematiky naleznete v našem Stránka matematiky
Jsem DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Dokončil jsem Ph.D. v matematice a pracuje jako odborný asistent v matematice. Má 12 let praxe v pedagogické činnosti. Mít rozsáhlé znalosti v čisté matematice, přesně v algebře. Mít obrovskou schopnost navrhovat a řešit problémy. Schopný motivovat kandidáty ke zvýšení jejich výkonu.
Rád přispívám do Lambdageeks, aby byla matematika jednoduchá, zajímavá a samovysvětlující pro začátečníky i odborníky.