Spojitá náhodná proměnná, typy a její rozdělení

     Náhodná proměnná, která bere konečné nebo spočetně nekonečné hodnoty, je známá jako diskrétní náhodná proměnná a její dvojice s pravděpodobností tvoří rozdělení pro diskrétní náhodnou proměnnou. Nyní pro náhodnou proměnnou, která bere hodnoty jako nespočetné, jaká by byla pravděpodobnost a zbývající charakteristiky, o kterých budeme diskutovat. Stručně řečeno, spojitá náhodná proměnná je náhodná proměnná, jejíž sada hodnot je nespočetná. Příkladem reálného života pro spojitou náhodnou proměnnou je životnost elektrických nebo elektronických součástek a příjezd konkrétního veřejného vozidla na dorazy atd.

Funkce spojité náhodné veličiny a hustoty pravděpodobnosti

                Náhodná proměnná  bude spojitá náhodná proměnná, pokud pro nezápornou funkci se skutečnou hodnotou f na x ∈ ℝ a B ⊆ ℝ a

tato funkce f je známá jako Funkce hustoty pravděpodobnosti  dané náhodné proměnné X.

Projekt funkce hustoty pravděpodobnosti zjevně splňuje následující axiomy pravděpodobnosti

Protože z axiomů pravděpodobnosti víme, že celková pravděpodobnost je jedna

Pro spojitou náhodnou proměnnou bude pravděpodobnost vypočítána z hlediska takové funkce f, předpokládejme, že chceme najít pravděpodobnost pro spojitý interval řekněme [a, b], pak by to bylo

Jak víme, integrace představuje plochu pod křivkou, takže tato pravděpodobnost ukazuje takovou oblast pro pravděpodobnost jako

rovnicí a = b bude hodnota

a podobným způsobem bude pravděpodobnost pro hodnotu menší nebo rovnou konkrétní hodnotě následující

Příklad: Kontinuální pracovní doba elektronické součástky je vyjádřena ve formě spojité náhodné proměnné a funkce hustoty pravděpodobnosti je uvedena jako

najděte pravděpodobnost, že komponenta bude účinně fungovat od 50 do 150 hodin a pravděpodobnost menší než 100 hodin.

protože náhodná proměnná představuje spojitou náhodnou proměnnou, funkce hustoty pravděpodobnosti uvedená v otázce udává celkovou pravděpodobnost jako

Získáme tedy hodnotu λ

λ = 1/100

pro pravděpodobnost 50 hodin až 150 hodin máme

podobným způsobem bude pravděpodobnost menší než 100

Příklad: Počítačové zařízení má počet čipových sad, jejichž životnost je dána funkcí hustoty pravděpodobnosti

poté po 150 hodinách najděte pravděpodobnost, že musíme vyměnit 2 čipové sady z celkových 5 čipů.

nech nás to zvážit E_i být událostí, která nahradí i-tou čipovou sadu. takže pravděpodobnost takové události bude

protože pracuje na všech čipech nezávisle, takže pravděpodobnost, že budou 2 nahrazeny, bude

Kumulativní distribuční funkce

  Funkce kumulativního rozdělení pro spojitou náhodnou proměnnou je definována pomocí funkce rozdělení pravděpodobnosti jako

v jiné formě

můžeme funkci hustoty pravděpodobnosti získat pomocí distribuční funkce jako

Matematické očekávání a rozptyl spojité náhodné proměnné

Očekávání

Projekt matematické očekávání nebo průměr spojité náhodné veličiny  s funkcí hustoty pravděpodobnosti lze definovat jako

• Pro jakoukoli skutečnou hodnotnou funkci spojité náhodné proměnné bude očekávání X

kde g je skutečná hodnota funkce.

1. Pro jakékoli nezáporné spojité náhodná proměnná Y očekávání bude

• Pro všechny konstanty a a b

E [aX + b] = aE [X] + b

odchylka

                Rozptyl spojité náhodné proměnné X s průměrem parametru nebo očekáváním  lze definovat podobným způsobem jako diskrétní náhodná proměnná

   Důkaz všeho výše uvedeného vlastnosti očekávání a rozptylu můžeme snadno získat pouhým následováním kroků, které máme v diskrétní náhodné veličině a definicí očekávání, rozptylu a pravděpodobnosti z hlediska spojité náhodné veličiny

Příklad: Pokud je funkce hustoty pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné X dána vztahem

pak najděte očekávání a rozptyl spojité náhodné proměnné X.

Řešení:  Pro danou funkci hustoty pravděpodobnosti

očekávaná hodnota podle definice bude

Nyní, abychom našli rozptyl, který požadujeme E [X²]

Od

so

Jednotná náhodná proměnná

    Pokud spojitá náhodná proměnná X má funkci hustoty pravděpodobnosti danou vztahem

přes interval (0,1) je toto rozdělení známé jako rovnoměrné rozdělení a náhodná proměnná je známá jako jednotná náhodná proměnná.

• Pro všechny konstanty a a b takové, že 0

Očekávání a rozptyl jednotné náhodné proměnné

      U rovnoměrně spojité náhodné proměnné X na obecném intervalu (α, β) bude očekávání podle definice

a rozptyl dostaneme, když najdeme první E[X²]

so

Příklad: Na konkrétní stanici přijíždějí vlaky pro daný cíl s frekvencí 15 minut od 7:7 Pro cestujícího, který je na stanici v čase mezi 7.30 a 5:10 rovnoměrně rozdělen, jaká bude pravděpodobnost, že cestující dostane vlak do XNUMX minut a jaká bude pravděpodobnost déle než XNUMX minut.

Řešení: Protože čas od 7 do 7.30:0 je rovnoměrně rozložen pro cestujícího na nádraží, označte to jednotnou náhodnou proměnnou X. takže interval bude (30, XNUMX)

Vzhledem k tomu, že se vlak dostane do 5 minut, musí být cestující na stanici mezi 7.10 až 7.15 nebo 7.25 až 7.30, takže pravděpodobnost bude

= 1 / 3

Podobným způsobem, aby se vlak dostal po čekání více než 10 minut, musí být cestující na stanici od 7 do 7.05 nebo 7.15 až 7.20, takže pravděpodobnost bude

Příklad: Najděte pravděpodobnost jednotné náhodné proměnné X rozložené v intervalu (0,10)

pro X <3, X> 6 a 3

Řešení: protože náhodná proměnná je dána jako rovnoměrně rozdělená, takže pravděpodobnosti budou

Příklad: (Bertrandsův paradox) Pro libovolný náhodný akord kruhu. jaká by byla pravděpodobnost, že délka toho náhodného akordu bude větší než strana rovnostranného trojúhelníku vepsaného do stejné kružnice.

Tento problém nemá vůli kolem náhodného akordu, takže tento problém byl přeformulován z hlediska průměru nebo úhlu a poté odpověděl, protože byly získány 1/3.

Závěr:

   V tomto článku byl diskutován koncept spojité náhodné proměnné a její rozdělení s funkcí hustoty pravděpodobnosti a je uveden statistický průměr, rozptyl pro spojitou náhodnou proměnnou. Je uvedena jednotná náhodná proměnná a její rozdělení s příkladem, což je typ spojité náhodné proměnné v následujícím článku se zaměříme na některé důležité typy spojité náhodné proměnné s vhodnými příklady a vlastnostmi. , pokud chcete další čtení, projděte:

Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Pokud si chcete přečíst více témat z matematiky, projděte si Stránka matematiky.

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Jsem DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Dokončil jsem Ph.D. v matematice a pracuje jako odborný asistent v matematice. Má 12 let praxe v pedagogické činnosti. Mít rozsáhlé znalosti v čisté matematice, přesně v algebře. Mít obrovskou schopnost navrhovat a řešit problémy. Schopný motivovat kandidáty ke zvýšení jejich výkonu.
Rád přispívám do Lambdageeks, aby byla matematika jednoduchá, zajímavá a samovysvětlující pro začátečníky i odborníky.