Rovnice spojitosti: 7 důležitých pojmů

Seznam obsahu

• Rovnice kontinuity
• Diferenciální forma rovnice spojitosti
• Rovnice kontinuity pro nestlačitelný tok
• Rovnice kontinuity pro dvourozměrný koplanární tok
• Příklad rovnice spojitosti
• Otázky a odpovědi
• QCM
• Proč investovat do čističky vzduchu?

Rovnice kontinuity

Tekutina protékající proudovou trubicí se považuje za ideální tekutinu. Přes streamline nedochází k žádnému toku. To znamená, že tekutina vstupuje na jednom konci a na druhém konci opouští žádný mezilehlý výstup. Zvažte stav proudění na vstupním průřezu 1-1, jak je uvedeno níže,

Tekutina, která teče mezi těmito dvěma uvažovanými úseky, je dána následujícím vzorcem,

dm = (AV? dt) - (A + dA) (V + dV) (? + d?) dt Eq… 1

zjednodušením výše uvedené rovnice dostaneme,

dm/dt = - (AV d? + V? dA + A? dV) Eq ... 2

Jelikož víme, že stálý průtok znamená konstantní hmotnostní průtok, znamená to zde dm / dt = 0. Nyní Eq. 2 otočil jako níže,

(AV d? + V? DA + A? DV) = 0 Eq ... 3

Nyní rozdělte rovnici. 3 s? AV, rovnice bude taková,

(d?/?) + (dA/A) + (dV/V) = 0 Eq ... 4

d (? AV) = 0 Eq ... 5

? AV = konstantní rovnice ... 6

Zde je ekv. 6 nám dává vědět, že množství tekutiny procházející trubicí proudu je v každé sekci konstantní.

Předpokládejme, že kapalina je nestlačitelná (kapalina), pak se hustota kapaliny v žádném bodě nezmění. To znamená, že hustota tekutin je konstantní.

AV = konstantní

A₁ V₁ = A₂ V₂                                                                                                                           Rovnice… 7

Rov. 7 představuje rovnici kontinuity pro stabilní nestlačitelný tok uvnitř proudové trubice. Rovnice kontinuity poskytuje základní znalosti o ploše a rychlosti. Změna průřezové plochy ovlivňuje rychlost proudění uvnitř proudové trubice, potrubí, dutého kanálu atd. Zde je vzrušující produkt součin rychlosti a průřezové plochy. Tento produkt je konstantní v jakémkoli bodě proudové trubice. Rychlost je nepřímo úměrná ploše průřezu trubice nebo potrubí proudu.

Diferenciální forma rovnice spojitosti

Chcete-li odvodit diferenciální tvar rovnice kontinuity, zvažte objekt, jak je znázorněno na obrázku. Rozměry jsou dx, dy a dz. Pro tuto formaci existují určité předpoklady. Hmota tekutiny není vytvořena nebo zničena, žádná dutina nebo bubliny v tekutině (nepřetržitý tok). Uvažujeme dx ve směru x, dy v y a dz ve směru z pro usnadnění derivace.

Je-li u rychlost proudění tekutiny podle obrázku na obrázku. Předpokládá se, že rychlost je v celé ploše průřezu stejnoměrná. Rychlost kapaliny na povrchu 1-2-3-4 je u. Nyní; povrch 5-6-7-8 je dx vzdálenost daleko od 1-2-3-4. Rychlost při 5-6-7-8 je tedy dána jako

u + ∂u / ∂x dx

Jak víme, dochází ke změně hustoty pomocí stlačitelné tekutiny. Pokud stlačitelná tekutina projde předmětem, hustota se změní.

Hmotnostní tok vstupující do objektu je uveden jako

Hmotnostní tok =? AV

Hmotnostní průtok =? AV dt

Kapalina vstupující do 1-2-3-4

Vstupní kapalina = hustota (plocha * rychlost) dt

Vstupní kapalina = ρ u dy dz dt

Rovnice… 1

Kapalina opouštějící 5-6-7-8

Výstupní kapalina

výstupní kapalina= [ρu+ ∂/∂x (ρu)dx] dy dz dtt

Rovnice… 2

Rozdíl mezi vstupní a výstupní tekutinou nyní zůstává v toku ve směru x.

= ρ u dy dz dt- [ρu + ∂ / ∂x (ρu) dx] dy dz dt

= - ∂ / ∂x (ρu) dx dy dz dt

Rovnice… 3

Podobně uvažujeme hmotnost tekutiny ve směru yaz je uvedena níže,

= - ∂ / ∂y (ρv) dx dy dz dt

Rovnice… 4

= - ∂ / ∂z (ρw) dx dy dz dt

Rovnice… 5

Zde v a w jsou rychlosti tekutiny ve směru ya z.

Pro hmotnostní tok tekutiny ve všech třech směrech jsou osy dány přidáním rovnice. 3, 4 a 5. Udává se jako níže uvedená celková hmotnost tekutiny,

= - [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt

Rovnice… 6

Rychlost změny hmotnosti v objektu je dána vztahem,

∂m / ∂t dt = ∂ / ∂t (ρ × objem) dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

Rovnice… 7

Podle chápání hromadné ochrany Rovnice 6 rovnající se ekv. 7

- [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

Řešení výše uvedené rovnice a její zjednodušení dostaneme,

∂ρ / ∂t + ∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw) = 0

Rovnice… 8

Rov. 8 je. Rovnice kontinuity pro obecný tok. Může být stabilní nebo nestálý, stlačitelný nebo nestlačitelný.

Rovnice kontinuity pro nestlačitelný tok

Pokud vezmeme v úvahu tok je stabilní a nestlačitelný. Víme, že v případě ustáleného toku ??/? T = 0. Pokud je tok nestlačitelný, pak hustota? zůstává konstantní. Při zvážení této podmínky tedy rov. 8 lze zapsat jako,

∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂w / ∂z = 0

Rovnice kontinuity pro dvourozměrný koplanární tok

V dvourozměrném toku existují dva směry x a y. Tak, u rychlost ve směru x a v rychlost ve směru y. Neexistuje žádný směr z, takže rychlost ve směru z je nulová. S ohledem na tyto podmínky se Eq. 8 otočeno jako níže,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) = 0

Stlačitelný tok

∂u / ∂x + ∂v / ∂y = 0 

Nestlačitelný tok, hustota je nula

Příklad rovnice spojitosti

Trubkou protéká vzduch rychlostí 0.25 kg / s při absolutním tlaku 2.25 baru a teplotě 300 K. Pokud je rychlost proudění 7.5 m / s, jaký bude minimální průměr potrubí?

Data,

m = 0.25 kg / s,

P = 2.25 bar,

T = 300 K,

V = 7.5 m / s,

Vypočítejte hustotu vzduchu,

P =? RT

? = P/RT

? = (2.25 * 10⁵ ) / (287 * 300) = 2.61 kg / m³

Hmotnostní průtok vzduchu,

m =? AV

A = m /? PROTI

A = 0.25 / (2.61 * 7.5) = 0.012 m²

Jak tuto oblast známe,

A = π D² / 4

D = √ ((A * 4) / π)

D = √ ((0.012 * 4) / 3.14)

D = 0.127 m = 12.7 cm

Proud vody ve směru nahoru opouští špičku trysky rychlostí 15 m / s. Průměr trysky je 20 mm. Předpokládejme, že během provozu nedojde ke ztrátě energie. Jaký bude průměr vodního paprsku ve výšce 5 m od špičky trysky.

Ans.

Nejprve si představte systém; tok je ve svislém směru.

Data,

V1 = rychlost proudu na špičce trysky

V2 = rychlost paprsku ve výšce 5 m od špičky trysky

Obdobně oblasti A1 a A2.

Máme obecnou pohybovou rovnici, jak je uvedeno níže,

〖V2〗^2-〖V1〗^2=2 g s

〖V2〗^2-〖15〗^2=2*(-9.8)*5

V2 = 11.26 m / s

Nyní použijte rovnici kontinuity,

A1 V1 = A2 V2

A2 = (A1 V1) / V2

A2 = ((π / 4) * (0.02) ^ 2 * 15) / 11.26=4.18* 10 ^ -4 m ^ 2

π / 4 * 〖d2〗 ^ 2 = 4.18 * 10 ^ -4 m ^ 2

Průměr = 0.023 m = 23 mm

Otázky a odpovědi

Jaký je rozdíl mezi rovnicí kontinuity a Navierovou Stokesovou rovnicí?

Tekutiny mohou podle definice proudit, ale je to v zásadě nestlačitelné. The rovnice kontinuity je důsledkem skutečnosti, že to, co jde do potrubí / hadice, se musí také uvolnit. Nakonec tedy oblast krát rychlost na konci trubky / hadice musí zůstat konstantní.

V nezbytném důsledku, pokud se plocha potrubí / hadice zmenší, musí se také zvýšit rychlost kapaliny, aby se udržel konstantní průtok.

zatímco Navier-Stokesova rovnice popisuje vztahy mezi rychlostí, tlakem, teplotami a hustotou pohybující se tekutiny. Tato rovnice je obvykle spojena s různými formami diferenciálních rovnic. Analytické řešení je obvykle docela složité.

Na čem je založena rovnice kontinuity?

Rovnice kontinuity říká, že objem kapaliny vstupující do potrubí jakéhokoli průřezu by se měl rovnat objemu kapaliny opouštějící druhou stranu plochy průřezu, což znamená, že rychlost průtoku by měla být konstantní a měla by následovat vztah-

Předpokládejme, že kapalina je nestlačitelná (kapalina), pak se hustota kapaliny v žádném bodě nezmění. To znamená, že hustota tekutin je konstantní.

AV = konstantní

Průtok = A₁ V₁ = A₂ V₂

K čemu se používá rovnice kontinuity?

Rovnice kontinuity má mnoho aplikací v oblasti hydrodynamiky, aerodynamiky, elektromagnetismu, kvantové mechaniky. Je to důležitý koncept základního pravidla Bernoulliho principu, je nepřímo zapojen do principu a aplikací aerodynamiky.

Rovnice kontinuity vyjadřuje místní zákon zachování v závislosti na kontextu. Jedná se pouze o matematické tvrzení, které je jemné, ale velmi silné, pokud jde o místní zachování konkrétních veličin.

Platí rovnice kontinuity pro nadzvukový tok?

Ano, lze jej použít pro nadzvukový tok. Může být použit pro jiné toky, jako je nadzvukové, nadzvukové a podzvukové. Rozdíl je v tom, že musíte použít konzervativní tvar rovnice.

Jaká je trojrozměrná forma rovnice kontinuity pro stabilní nestlačitelný tok?

Pokud vezmeme v úvahu tok je stabilní a nestlačitelný. Víme, že v případě ustáleného toku ??/? T = 0. Pokud je tok nestlačitelný, pak hustota? zůstává konstantní. Při zvážení této podmínky tedy rov. 8 lze zapsat jako,

 ∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂w / ∂z = 0

Jaká je 3D podoba rovnice kontinuity pro stabilní stlačitelný a nestlačitelný tok?

V dvourozměrném toku existují dva směry x a y. Takže rychlost u ve směru xa rychlost ve ve směru y. Neexistuje žádný směr z, takže rychlost ve směru z je nulová. S ohledem na tyto podmínky se Eq. 8 otočeno jako níže,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) = 0

 ∂u / ∂x + ∂v / ∂y = 0

Otázky s možností označení více odpovědí

Která z následujících je formou rovnice kontinuity?

1. v₁ A₁ = v₂ A₂
2. v₁ t₁ = v₂ t₂
3. ΔV / t
4. v₁ / TO₁ = v₂ / TO₂

Co dává rovnice kontinuity koncept pohybu ideální tekutiny?

1. Jak se zvětšuje plocha průřezu, zvyšuje se rychlost.
2. Jak se plocha průřezu zmenšuje, rychlost se zvyšuje.
3. Jak se zmenšuje plocha průřezu, klesá rychlost.
4. Jak se plocha průřezu zvětšuje, objem se zmenšuje.
5. Jak se zvyšuje hlasitost, rychlost se snižuje.

Rovnice kontinuity je založena na principu

a) zachování hmoty

b) zachování hybnosti

c) úspora energie

d) zachování síly

Dva podobné průměry potrubí d se sbíhají, aby se získala trubka o průměru D. Co může být pozorování mezi d a D ?. Rychlost proudění v nové trubce bude dvojnásobná než v každé ze dvou trubek?

a) D=d

b) D = 2d

c) D = 3d

d) D = 4d

Trubky různých průměrů d1 a d2 se sbíhají, aby získaly trubku o průměru 2d. Pokud je rychlost kapaliny v obou trubkách v1 a v2, jaká bude rychlost proudění v nové trubce?

a) v1 + v2

b) v1 + v2 / 2

c) v1 + v2 / 4

d) 2 (v1 + v2)

Proč investovat do čističky vzduchu?

Tento článek obsahuje derivace rovnic kontinuity s jejich odlišnou formou a podmínkami. Jsou uvedeny základní příklady a otázky pro lepší pochopení pojmu rovnice kontinuity.

Další články se souvisejícími tématy klikněte zde

Dozvědět se více Vědecké principy.

Dr. Deepakkumar Jani

Jsem Deepak Kumar Jani a studuji doktorát v oboru mechanické a obnovitelné energie. Mám pět let pedagogické a dvouletou výzkumnou praxi. Zajímám se o tepelnou techniku, automobilovou techniku, Strojní měření, Inženýrské kreslení, Mechaniku tekutin atd. Přihlásil jsem patent na „Hybridizace zelené energie pro výrobu elektřiny“. Publikoval jsem 17 výzkumných prací a dvě knihy.
Jsem rád, že jsem součástí Lambdageeks a rád bych čtenářům představil některé své odborné znalosti zjednodušujícím způsobem.
Kromě akademiků a výzkumů mám rád putování přírodou, zachycování přírody a vytváření povědomí o přírodě mezi lidmi.
Podívejte se také na můj kanál You-tube ohledně „Pozvání z přírody“