V tomto článku podmíněné rozptyly a předpovědi využívající podmíněné očekávání pro různé druhy náhodných proměnných s některými příklady, o kterých budeme diskutovat.
Podmíněná odchylka
Podmíněná odchylka náhodné proměnné X dané Y je definována podobným způsobem jako podmíněná Očekávání náhodné proměnné X dané Y jako
(X|Y)=E[(XE[X|Y])2|Y]
zde rozptyl je podmíněné očekávání rozdílu mezi náhodnou proměnnou a druhou mocninou podmíněného očekávání X daného Y, když je dána hodnota Y.
Vztah mezi podmíněný rozptyl a podmíněné očekávání is
(X|Y) = E[X2|Y] – (E[X|Y])2
E[(X|Y)] = E[E[X2|Y]] – E[(E[X|Y])2]
= E[X2] – E[(E[X\Y])2]
protože E[E[X|Y]] = E[X], máme
(E[X|Y]) = E[(E[X|Y])2] - (E [X])2
to je nějak podobné ze vztahu bezpodmínečné odchylky a očekávání, který byl
Var (X) = E [X2] - (E [X])2
a můžeme najít rozptyl pomocí podmíněného rozptylu jako
Var(X) = E[var(X|Y] + var(E[X|Y])
Příklad podmíněné odchylky
Najděte průměr a rozptyl počtu cestujících, kteří nastoupí do autobusu, pokud lidé dorazili do autobusového nádraží, je Poisson distribuován se střední hodnotou λt a počáteční autobus přijatý do autobusového depa je rovnoměrně rozložen po intervalu (0, T) nezávisle na lidech dorazil nebo ne.
Řešení:
Chcete-li najít střední hodnotu a rozptyl pro libovolný čas t, Y je náhodná proměnná pro čas příjezdu autobusu a N (t) je počet příjezdů
E[N(Y)|Y = t] = E[N(t)|Y = t]
nezávislostí Y a N (t)
=λt
protože N (t) je Poisson se střední hodnotou \lambda t
Proto
E[N(Y)|Y]=λY
takže převzetí očekávání dává
E[N(Y)] = λE[Y] = λT/2
K získání Var (N (Y)) použijeme vzorec podmíněné odchylky
tedy
(N(Y)|Y) = λY
E[N(Y)|Y] = λY
Z vzorce podmíněné odchylky tedy
Var(N(Y)) = E[λY]+(λY)
=λT/2 + λ2T2/ 12
kde jsme použili skutečnost, že Var (Y) = T2 / 12.
Rozptyl součtu náhodného počtu náhodných proměnných
zvážit posloupnost nezávislých a identických distribuovány náhodné proměnné X1,X2,X3,………. a další náhodnou proměnnou N nezávislou na této sekvenci, najdeme rozptyl součtu této sekvence jako
použitím
což je zřejmé z definice rozptylu a podmíněné rozptylu pro jednotlivou náhodnou proměnnou na součet posloupnosti náhodných proměnných tedy
Předpověď
V predikci lze hodnotu jedné náhodné proměnné předpovědět na základě pozorování jiné náhodné proměnné, pro predikci náhodné proměnné Y, je-li pozorovaná náhodná proměnná X, použijeme g (X) jako funkci, která říká predikovanou hodnotu, samozřejmě zkuste pro to zvolit g (X) uzavřené na Y, nejlepší g je g (X) = E (Y | X), proto musíme minimalizovat hodnotu g pomocí nerovnosti
Tuto nerovnost můžeme získat jako
Avšak vzhledem k X, E [Y | X] -g (X), který je funkcí X, lze považovat za konstantu. Tím pádem,
což dává požadovanou nerovnost
Příklady predikce
1. Je pozorováno, že výška člověka je šest stop, jaká by byla předpověď výšky jeho synů po dospělosti, pokud je výška syna, která je nyní x palců, obvykle rozdělena na střední hodnotu x + 1 a rozptyl 4.
Řešení: Nechť X je náhodná proměnná označující výšku osoby a Y je náhodná proměnná pro výšku syna, pak je náhodná proměnná Y
Y = X + e + 1
zde e představují normální náhodnou proměnnou nezávislou na náhodné proměnné X se střední nulou a rozptylem čtyři.
takže předpověď pro výšku synů je
takže výška syna bude 73 palců po růstu.
2. Zvažte příklad odesílání signálů z polohy A a polohy B, pokud je z polohy A vysílána hodnota signálu s, která je v poloze B přijímána normálním rozdělením se střední hodnotou s a rozptylem 1, zatímco pokud je signál S odeslaný na A normálně distribuován se střední hodnotou \ mu a odchylkou \ sigma ^ 2, jak můžeme předpovědět, že hodnota signálu R odeslaná z polohy A bude přijata, je r v poloze B?
Řešení: Hodnoty signálu S a R zde označují náhodné proměnné distribuované normálně, nejprve najdeme funkci podmíněné hustoty S danou R jako
toto K je nyní nezávislé na S
zde také C1 a C2 jsou nezávislé na S, takže hodnota funkce podmíněné hustoty je
C je také nezávislé na s, takže signál odeslaný z místa A jako R a přijímaný v místě B jako r je normální s průměrem a rozptylem
a střední kvadratická chyba pro tuto situaci je
Lineární prediktor
Pokaždé, když nemůžeme najít společnou funkci hustoty pravděpodobnosti, je znám i průměr, rozptyl a korelace mezi dvěma náhodnými proměnnými, v takové situaci je velmi užitečný lineární prediktor jedné náhodné proměnné vzhledem k jiné náhodné proměnné, který dokáže předpovědět minimum , takže pro lineární prediktor náhodné proměnné Y vzhledem k náhodné proměnné X vezmeme a a b k minimalizaci
Nyní se částečně odlište s ohledem na a a b, které dostaneme
řešení těchto dvou rovnic pro nd b dostaneme
tedy minimalizace tohoto očekávání dává lineární prediktor jako
kde průměry jsou příslušné průměry náhodných proměnných X a Y, bude chyba pro lineární prediktor získána s očekáváním
Tato chyba se bude blížit nule, pokud je korelace naprosto pozitivní nebo dokonale záporná, což je korelační koeficient buď +1 nebo -1.
Proč investovat do čističky vzduchu?
Podmíněný rozptyl pro diskrétní a spojitá náhodná veličina byly diskutovány různé příklady, jedna z důležitých aplikací podmíněného očekávání v predikci je také vysvětlena na vhodných příkladech as nejlepším lineárním prediktorem, pokud potřebujete další čtení, projděte si níže uvedené odkazy.
Další příspěvek z matematiky naleznete v našem Stránka matematiky
První kurz pravděpodobnosti od Sheldona Rosse
Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky
Úvod do pravděpodobnosti a statistik od ROHATGI a SALEH
Jsem DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Dokončil jsem Ph.D. v matematice a pracuje jako odborný asistent v matematice. Má 12 let praxe v pedagogické činnosti. Mít rozsáhlé znalosti v čisté matematice, přesně v algebře. Mít obrovskou schopnost navrhovat a řešit problémy. Schopný motivovat kandidáty ke zvýšení jejich výkonu.
Rád přispívám do Lambdageeks, aby byla matematika jednoduchá, zajímavá a samovysvětlující pro začátečníky i odborníky.