Podmíněný rozptyl a předpovědi: 7 důležitých faktů

V tomto článku podmíněné rozptyly a předpovědi využívající podmíněné očekávání pro různé druhy náhodných proměnných s některými příklady, o kterých budeme diskutovat.

Podmíněná odchylka

Podmíněná odchylka náhodné proměnné X dané Y je definována podobným způsobem jako podmíněná Očekávání náhodné proměnné X dané Y jako

(X|Y)=E[(XE[X|Y])2|Y]

zde rozptyl je podmíněné očekávání rozdílu mezi náhodnou proměnnou a druhou mocninou podmíněného očekávání X daného Y, když je dána hodnota Y.

Vztah mezi podmíněný rozptyl a podmíněné očekávání is

(X|Y) = E[X2|Y] – (E[X|Y])2

E[(X|Y)] = E[E[X2|Y]] – E[(E[X|Y])2]

= E[X2] – E[(E[X\Y])2]

protože E[E[X|Y]] = E[X], máme

(E[X|Y]) = E[(E[X|Y])2] - (E [X])2

to je nějak podobné ze vztahu bezpodmínečné odchylky a očekávání, který byl

Var (X) = E [X2] - (E [X])2

a můžeme najít rozptyl pomocí podmíněného rozptylu jako

Var(X) = E[var(X|Y] + var(E[X|Y])

Příklad podmíněné odchylky

Najděte průměr a rozptyl počtu cestujících, kteří nastoupí do autobusu, pokud lidé dorazili do autobusového nádraží, je Poisson distribuován se střední hodnotou λt a počáteční autobus přijatý do autobusového depa je rovnoměrně rozložen po intervalu (0, T) nezávisle na lidech dorazil nebo ne.

Řešení:

Chcete-li najít střední hodnotu a rozptyl pro libovolný čas t, Y je náhodná proměnná pro čas příjezdu autobusu a N (t) je počet příjezdů

E[N(Y)|Y = t] = E[N(t)|Y = t]

nezávislostí Y a N (t)

=λt

protože N (t) je Poisson se střední hodnotou \lambda t
Proto

E[N(Y)|Y]=λY

takže převzetí očekávání dává

E[N(Y)] = λE[Y] = λT/2

K získání Var (N (Y)) použijeme vzorec podmíněné odchylky

Lagrida latexový editor 21

tedy

(N(Y)|Y) = λY

E[N(Y)|Y] = λY

Z vzorce podmíněné odchylky tedy

Var(N(Y)) = E[λY]+(λY)

=λT/2 + λ2T2/ 12

kde jsme použili skutečnost, že Var (Y) = T2 / 12.

Rozptyl součtu náhodného počtu náhodných proměnných

zvážit posloupnost nezávislých a identických distribuovány náhodné proměnné X1,X2,X3,………. a další náhodnou proměnnou N nezávislou na této sekvenci, najdeme rozptyl součtu této sekvence jako

CodeCogsEqn 92

použitím

Lagrida latexový editor 48

což je zřejmé z definice rozptylu a podmíněné rozptylu pro jednotlivou náhodnou proměnnou na součet posloupnosti náhodných proměnných tedy

CodeCogsEqn 93

Předpověď

V predikci lze hodnotu jedné náhodné proměnné předpovědět na základě pozorování jiné náhodné proměnné, pro predikci náhodné proměnné Y, je-li pozorovaná náhodná proměnná X, použijeme g (X) jako funkci, která říká predikovanou hodnotu, samozřejmě zkuste pro to zvolit g (X) uzavřené na Y, nejlepší g je g (X) = E (Y | X), proto musíme minimalizovat hodnotu g pomocí nerovnosti

Lagrida latexový editor 49

Tuto nerovnost můžeme získat jako

Lagrida latexový editor 22

Avšak vzhledem k X, E [Y | X] -g (X), který je funkcí X, lze považovat za konstantu. Tím pádem,

Lagrida latexový editor 23

což dává požadovanou nerovnost

Lagrida latexový editor 50

Příklady predikce

1. Je pozorováno, že výška člověka je šest stop, jaká by byla předpověď výšky jeho synů po dospělosti, pokud je výška syna, která je nyní x palců, obvykle rozdělena na střední hodnotu x + 1 a rozptyl 4.

Řešení: Nechť X je náhodná proměnná označující výšku osoby a Y je náhodná proměnná pro výšku syna, pak je náhodná proměnná Y

Y = X + e + 1

zde e představují normální náhodnou proměnnou nezávislou na náhodné proměnné X se střední nulou a rozptylem čtyři.

takže předpověď pro výšku synů je

Lagrida latexový editor 24

takže výška syna bude 73 palců po růstu.

2. Zvažte příklad odesílání signálů z polohy A a polohy B, pokud je z polohy A vysílána hodnota signálu s, která je v poloze B přijímána normálním rozdělením se střední hodnotou s a rozptylem 1, zatímco pokud je signál S odeslaný na A normálně distribuován se střední hodnotou \ mu a odchylkou \ sigma ^ 2, jak můžeme předpovědět, že hodnota signálu R odeslaná z polohy A bude přijata, je r v poloze B?

Řešení: Hodnoty signálu S a R zde označují náhodné proměnné distribuované normálně, nejprve najdeme funkci podmíněné hustoty S danou R jako

Lagrida latexový editor 25

toto K je nyní nezávislé na S

Lagrida latexový editor 26

zde také C1 a C2 jsou nezávislé na S, takže hodnota funkce podmíněné hustoty je

WhatsApp Image 2022 09 10 v 11.02.40

C je také nezávislé na s, takže signál odeslaný z místa A jako R a přijímaný v místě B jako r je normální s průměrem a rozptylem

Lagrida latexový editor 27

a střední kvadratická chyba pro tuto situaci je

Lagrida latexový editor 28

Lineární prediktor

Pokaždé, když nemůžeme najít společnou funkci hustoty pravděpodobnosti, je znám i průměr, rozptyl a korelace mezi dvěma náhodnými proměnnými, v takové situaci je velmi užitečný lineární prediktor jedné náhodné proměnné vzhledem k jiné náhodné proměnné, který dokáže předpovědět minimum , takže pro lineární prediktor náhodné proměnné Y vzhledem k náhodné proměnné X vezmeme a a b k minimalizaci

Lagrida latexový editor 29

Nyní se částečně odlište s ohledem na a a b, které dostaneme

Lagrida latexový editor 26 1

řešení těchto dvou rovnic pro nd b dostaneme

Lagrida latexový editor 31

tedy minimalizace tohoto očekávání dává lineární prediktor jako

Lagrida latexový editor 32

kde průměry jsou příslušné průměry náhodných proměnných X a Y, bude chyba pro lineární prediktor získána s očekáváním

podmíněná odchylka
podmíněná odchylka: Chyba v predikci

Tato chyba se bude blížit nule, pokud je korelace naprosto pozitivní nebo dokonale záporná, což je korelační koeficient buď +1 nebo -1.

Proč investovat do čističky vzduchu?

Podmíněný rozptyl pro diskrétní a spojitá náhodná veličina byly diskutovány různé příklady, jedna z důležitých aplikací podmíněného očekávání v predikci je také vysvětlena na vhodných příkladech as nejlepším lineárním prediktorem, pokud potřebujete další čtení, projděte si níže uvedené odkazy.

Další příspěvek z matematiky naleznete v našem Stránka matematiky

První kurz pravděpodobnosti od Sheldona Rosse

Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky

Úvod do pravděpodobnosti a statistik od ROHATGI a SALEH