Podmíněné očekávání: 7 faktů, které byste měli vědět

Protože náhodná proměnná závislá na sobě vyžaduje výpočet podmíněných pravděpodobností, který jsme již diskutovali, nyní probereme některé další parametry pro takové náhodné proměnné nebo experimenty, jako je podmíněné očekávání a podmíněná odchylka pro různé typy náhodných proměnných.

Podmíněné očekávání

   Definice hromadné funkce podmíněné pravděpodobnosti diskrétní náhodné proměnné X dané Y je

zde pY(y)>0 , tedy podmíněné očekávání pro diskrétní náhodnou veličinu X dané Y, když pY (y)>0 je

ve výše uvedeném očekávání pravděpodobnost je podmínkou pravděpodobnost.

  Podobným způsobem, pokud jsou X a Y spojité, pak je funkce podmíněné hustoty pravděpodobnosti náhodné proměnné X dané Y

kde f (x, y) je funkce hustoty společné pravděpodobnosti a pro všechny yf_Y(y)> 0, takže podmíněné očekávání pro náhodnou proměnnou X dané y bude

pro všechny yf_Y(y)> 0.

   Jak víme, že všechny vlastnosti pravděpodobnosti jsou použitelné pro podmíněné pravděpodobnost totéž platí pro podmíněné očekávání, všechny vlastnosti matematického očekávání jsou splněny podmíněným očekáváním, např. podmíněné očekávání funkce náhodné veličiny bude

a součet náhodných proměnných v podmíněném očekávání bude

Podmíněné očekávání pro součet binomických náhodných proměnných

    Chcete-li najít podmíněné očekávání součtu binomických náhodných veličin X a Y s parametry n a p, které jsou nezávislé, víme, že X+Y bude také binomická náhodná veličina s parametry 2n a p, takže pro náhodnou veličinu X zadanou X+Y=m získáme podmíněné očekávání výpočtem pravděpodobnost

protože to víme

tedy podmíněné očekávání X dané X + Y = m je

Příklad:

Najděte podmíněné očekávání

pokud spoj funkce hustoty pravděpodobnosti spojitých náhodných veličin X a Y jsou uvedeny jako

řešení:

Pro výpočet podmíněného očekávání potřebujeme funkci podmíněné hustoty pravděpodobnosti

protože pro spojitou náhodnou veličinu kondicionál očekávání je

tedy pro danou funkci hustoty bude podmíněné očekávání

Očekávání podmíněným || Očekávání podmíněným očekáváním

                Můžeme vypočítat matematické očekávání s pomocí podmíněného očekávání X dané Y jako

pro diskrétní náhodné proměnné to bude

které lze získat jako

a pro spojitý náhodný můžeme podobně ukázat

Příklad:

                Osoba je uvězněna ve své budově pod zemí, protože vchod je blokován kvůli velkému zatížení, naštěstí existují tři potrubí, ze kterých může vyjít, první potrubí ho bezpečně vyvede po 3 hodinách, druhé po 5 hodinách a třetí potrubí po 7 hodin, Pokud si některý z těchto potrubí zvolil stejně pravděpodobné, jaký by byl očekávaný čas, kdy bezpečně vyjde ven.

Řešení:

Nechť X je náhodná proměnná, která označuje čas v hodinách do té doby, než osoba vyšla bezpečně, a Y značí rouru, kterou si původně vybral, takže

od

Pokud si člověk zvolí druhou trubku, utratí v ní 5 domů, ale vyjde ven s očekávaným časem

očekávání tedy bude

Očekávání součtu náhodného počtu náhodných proměnných pomocí podmíněného očekávání

                Nechť N je náhodné číslo náhodné proměnné a součet náhodných proměnných je     pak očekávání  

od

as

tedy

Korelace dvojrozměrného rozdělení

Pokud je funkce hustoty pravděpodobnosti dvojrozměrné náhodné proměnné X a Y

kde

potom je korelace mezi náhodnou proměnnou X a Y pro dvojrozměrné rozdělení s funkcí hustoty

protože korelace je definována jako

protože očekávání pomocí podmíněného očekávání je

pro normální rozdělení má podmíněné rozdělení X dané Y průměr

nyní je očekávání XY dané Y je

to dává

proto

Rozptyl geometrického rozdělení

    V geometrickém rozdělení provedeme postupně nezávislé pokusy, jejichž výsledkem bude úspěch s pravděpodobností p. Jestliže N představuje čas prvního úspěchu v této posloupnosti, pak bude rozptyl N podle definice

Nechť náhodná proměnná Y = 1, pokud první pokus vede k úspěchu a Y = 0, pokud první pokus vede k neúspěchu, nyní pro nalezení matematického očekávání zde použijeme podmíněné očekávání jako

od

pokud je úspěch v prvním pokusu, pak N = 1 a N²= 1 pokud dojde k selhání v prvním pokusu, pak k získání prvního úspěchu bude mít celkový počet pokusů stejnou distribuci jako 1, tj. První pokus, který vede k neúspěchu, plus potřebný počet dalších pokusů, tj.

Očekávání tedy bude

protože očekávání geometrického rozdělení je so

proto

a

E

takže rozptyl geometrického rozdělení bude

Očekávání minima posloupnosti jednotných náhodných proměnných

   Posloupnost jednotných náhodných proměnných U₁, NEBO₂ … .. v intervalu (0, 1) a N je definováno jako

pak pro očekávání N, pro libovolné x ∈ [0, 1] hodnota N

nastavíme očekávání N jako

k nalezení očekávání použijeme definici podmíněného očekávání na spojité náhodné proměnné

nyní podmínka pro první člen posloupnosti  máme

tady to máme

zbývající počet jednotných náhodných proměnných je stejný v bodě, kde je první jednotná hodnota y, na začátku a poté se chystali přidat jednotné náhodné proměnné, dokud jejich součet nepřekročil x - y.

takže při použití této hodnoty očekávání bude hodnota integrálu

pokud tuto rovnici diferencujeme

a

nyní integrace to dává

proto

hodnota k = 1, pokud x = 0, tak

m

a m (1) = e, očekávaný počet jednotných náhodných proměnných v intervalu (0, 1), které je třeba přidat, dokud jejich součet nepřekročí 1, se rovná e

Pravděpodobnost použití podmíněného očekávání || pravděpodobnosti pomocí kondicionování

   Můžeme najít pravděpodobnost také pomocí podmíněného očekávání, jako je očekávání, které jsme našli s podmíněným očekáváním, abychom to považovali za událost a náhodnou proměnnou X jako

z definice této náhodné proměnné a očekávání jasně

nyní podmíněným očekáváním v jakémkoli smyslu máme

Příklad:

vypočítat pravděpodobnostní hmotnostní funkce náhodné veličiny X , pokud U je stejnoměrná náhodná veličina na intervalu (0,1), a uvažujte podmíněné rozdělení X dané U=p jako binomické s parametry n a p.

Řešení:

Pro hodnotu U je pravděpodobnost podmínění

máme výsledek

takže dostaneme

Příklad:

jaká je pravděpodobnost X <Y, Pokud X a Y jsou spojité náhodné proměnné s funkcemi hustoty pravděpodobnosti f_X a f_Y resp.

Řešení:

Použitím podmíněného očekávání a podmíněné pravděpodobnosti

as

Příklad:

Vypočítejte rozdělení součtu spojitých nezávislých náhodných proměnných X a Y.

Řešení:

Abychom našli rozdělení X + Y, musíme zjistit pravděpodobnost součtu pomocí kondicionování následujícím způsobem

Závěr:

Podmíněné očekávání pro diskrétní a spojitou náhodnou proměnnou s různými příklady s ohledem na některé typy těchto náhodných proměnných diskutované pomocí nezávislé náhodné proměnné a společného rozdělení v různých podmínkách. Také je vysvětleno očekávání a pravděpodobnost, jak najít pomocí podmíněného očekávání příklady, pokud potřebujete další čtení, projděte si níže uvedené knihy nebo další článek o pravděpodobnosti, postupujte podle našich pokynů Matematické stránky.

https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution

První kurz pravděpodobnosti od Sheldona Rosse

Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky

Úvod do pravděpodobnosti a statistik od ROHATGI a SALEH

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Jsem DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Dokončil jsem Ph.D. v matematice a pracuje jako odborný asistent v matematice. Má 12 let praxe v pedagogické činnosti. Mít rozsáhlé znalosti v čisté matematice, přesně v algebře. Mít obrovskou schopnost navrhovat a řešit problémy. Schopný motivovat kandidáty ke zvýšení jejich výkonu.
Rád přispívám do Lambdageeks, aby byla matematika jednoduchá, zajímavá a samovysvětlující pro začátečníky i odborníky.