Podmíněná distribuce: 7 zajímavých faktů, které byste měli vědět

by

Podmíněné rozdělení

   Je velmi zajímavé diskutovat o podmíněném případu distribuce, když dvě náhodné proměnné následují rozdělení uspokojující jednu danou jinou, nejprve krátce vidíme podmíněné rozdělení v případě náhodných proměnných, diskrétních i spojitých, poté se po prostudování některých předpokladů zaměříme na podmíněná očekávání.

Diskrétní podmíněné rozdělení

     Pomocí funkce hromadné pravděpodobnosti hmoty ve společném rozdělení definujeme podmíněné rozdělení pro diskrétní náhodné proměnné X a Y pomocí podmíněné pravděpodobnosti pro X dané Y jako rozdělení s funkcí pravděpodobnosti hmoty

1
2.PNG
3.PNG

za předpokladu, že pravděpodobnost jmenovatele je větší než nula, podobně to můžeme zapsat jako

4.PNG
5.PNG

ve společné pravděpodobnosti, pokud X a Y jsou nezávislé náhodné proměnné, pak se to změní na

6.PNG
7.PNG
8.PNG

takže diskrétní podmíněné rozdělení nebo podmíněné rozdělení pro diskrétní náhodné proměnné X dané Y je náhodná proměnná s výše uvedenou funkcí pravděpodobnostní hmotnosti podobným způsobem pro Y dané X můžeme definovat.

Příklad diskrétního podmíněného rozdělení

  1. Najít pravděpodobnostní hmotnostní funkce náhodné veličiny X je-li Y=1, má-li společná pravděpodobnostní hmotnostní funkce pro náhodné veličiny X a Y nějaké hodnoty jako

p (0,0) = 0.4, p (0,1) = 0.2, p (1,0) = 0.1, p (1,1) = 0.3

Nyní nejprve pro hodnotu Y = 1, kterou máme

9.PNG

tedy pomocí definice funkce pravděpodobnostní hmotnosti

10.PNG
11.PNG
12.PNG

máme

13.PNG

a

14.PNG
  • získejte podmíněné rozdělení X dané X + Y = n, kde X a Y jsou Poissonovo rozdělení s parametry λ1 a λ2 a X a Y jsou nezávislé náhodné proměnné

Protože náhodné proměnné X a Y jsou nezávislé, bude mít podmíněné rozdělení pravděpodobnostní hmotnostní funkci jako

15.PNG
16.PNG
17.PNG

protože součet Poissonovy náhodné proměnné je opět poisson tak

18.PNG
19.PNG
20.PNG

tedy podmíněné rozdělení s vyšší pravděpodobnostní hromadnou funkcí bude podmíněné rozdělení pro takové Poissonovo rozdělení. Výše uvedený případ lze zobecnit pro více než dvě náhodné proměnné.

Spojitá podmíněná distribuce

   Spojité podmíněné rozdělení náhodné proměnné X dané y již definované je spojité rozdělení s funkcí hustoty pravděpodobnosti

21.PNG

hustota jmenovatele je větší než nula, což pro funkci spojité hustoty je

22.PNG
23.PNG

pravděpodobnost takové funkce podmíněné hustoty tedy je

24.PNG

Podobným způsobem jako v diskrétním případě, pokud jsou X a Y nezávislé v spojitém, pak také

25.PNG

a tudíž

px 26
px 28 Kopírovat 1

abychom to mohli napsat jako

px 29 Kopírovat 1

Příklad kontinuálního podmíněného rozdělení

  1. Vypočítejte funkci podmíněné hustoty náhodné proměnné X dané Y, pokud je funkce hustoty pravděpodobnosti spoje s otevřeným intervalem (0,1) dána vztahem
px 30 Kopírovat 1

Pokud je pro náhodnou proměnnou X dané Y v rámci (0,1), pak pomocí výše uvedené funkce hustoty máme

px 31
px 32
px 33
px 34
px 35
  • Vypočítejte podmíněnou pravděpodobnost
px 36

pokud je funkce hustoty pravděpodobnosti spoje dána vztahem

px 37

Abychom nejprve našli podmíněnou pravděpodobnost, potřebujeme funkci podmíněné hustoty, takže podle definice by to bylo

px 38
px 39
px 40

nyní pomocí této funkce hustoty v pravděpodobnosti podmíněná pravděpodobnost is

100
101
px 41

Podmíněné rozdělení dvojrozměrného normálního rozdělení

  Víme, že bivariační normální rozdělení normálních náhodných proměnných X a Y s příslušnými střední a odchylkami, protože parametry mají funkci společné hustoty pravděpodobnosti

Podmíněné rozdělení
podmiňovací distribuce bivariátu normální distribuce

najít podmíněné rozdělení pro takové dvojrozměrné normální rozdělení pro X dané Y je definováno sledováním funkce podmíněné hustoty spojité náhodné proměnné a výše uvedené funkce hustoty spojů

Podmíněné rozdělení
Podmíněné rozdělení dvojrozměrného normálního rozdělení

Pozorováním toho můžeme říci, že je to normálně distribuováno se střední hodnotou

px 42

a rozptyl

px 43

podobným způsobem funkce podmíněné hustoty pro Y dané X již definované bude pouze záměnou pozic parametrů X s Y,

Funkci mezní hustoty pro X můžeme získat z výše uvedené funkce podmíněné hustoty pomocí hodnoty konstanty

Podmíněné rozdělení
Podmíněné rozdělení dvojrozměrného normálního rozdělení

dosadíme do integrálu

px 44

funkce hustoty bude nyní

Image3 1

od celkové hodnoty

Image4

definicí pravděpodobnosti, takže funkce hustoty bude nyní

Image5

což není nic jiného než funkce hustoty náhodné proměnné X s obvyklým průměrem a rozptylem jako parametry.

Společné rozdělení pravděpodobnosti funkce náhodných proměnných

  Zatím známe společné rozdělení pravděpodobnosti dvou náhodných proměnných, nyní, pokud máme funkce takových náhodných proměnných, jaké by bylo společné rozdělení pravděpodobnosti těchto funkcí, jak vypočítat hustotu a distribuční funkci, protože máme situace v reálném životě, kde mít funkce náhodných proměnných,

Pokud Y1 a Y2 jsou funkce náhodných proměnných X1 a X2 respektive, které jsou společně spojité, pak funkce spojité spojité hustoty těchto dvou funkcí bude

px 45

kde Jakobijský

px 46

a Y1 =g1 (X1, X2) a Y2 =g2 (X1, X2) pro některé funkce g1 a g2 . Tady g1 a g2 splňuje podmínky jakobiána jako spojité a má spojité částečné derivace.

Nyní bude pravděpodobnost takových funkcí náhodných proměnných

Image7

Příklady rozdělení pravděpodobnosti funkce náhodných proměnných

  1. Najděte funkci hustoty kloubů náhodných proměnných Y1 =X1 +X2 a Y2=X1 -X2 , kde X1 a X2 jsou společně spojité s funkcí hustoty pravděpodobnosti kloubu. diskutovat také o odlišné povaze distribuce.

Tady nejdříve zkontrolujeme Jacobian

px 47

protože g1(x1, X2) = x1 +x2  a g2(x1, X2) = x1 - X2 so

px 48

zjednodušení Y1 =X1 +X2 a Y2=X1 -X2 , pro hodnotu X1 = 1/2 (r1 +Y2 ) a X2 = Y1 -Y2 ,

px 49

pokud jsou tyto náhodné proměnné nezávislé jednotné náhodné proměnné

px 50

nebo pokud jsou tyto náhodné proměnné nezávislé exponenciální náhodné proměnné s obvyklými parametry

Image10

nebo pokud jsou tyto náhodné proměnné nezávislé normální náhodné proměnné, pak

px 51
px 52
px 53
  • Pokud X a Y jsou nezávislé standardní normální proměnné, jak je uvedeno
Podmíněné rozdělení

vypočítat společné rozdělení pro příslušné polární souřadnice.

Převedeme obvyklou konverzí X a Y na r a θ jako

px 54

takže částečné derivace těchto funkcí budou

px 55
px 56
px 57
px 58

takže Jacobian používající tuto funkci je

px 59

pokud jsou obě náhodné proměnné X a Y větší než nula, pak je funkce podmíněné hustoty kloubu

px 60

nyní převod kartézské souřadnice na polární souřadnice pomocí

px 61

takže hustota pravděpodobnosti funkce pro kladné hodnoty budou

px 62

pro různé kombinace X a Y jsou funkce hustoty podobným způsobem

px 63
px 64
px 65

nyní z průměru výše uvedených hustot můžeme uvést funkci hustoty jako

px 66

a funkce mezní hustoty z této hustoty kloubu polárních souřadnic v intervalu (0, 2π)

px 67
  • Najděte funkci hustoty kloubů pro funkci náhodných proměnných

U = X + Y a V = X / (X + Y)

kde X a Y jsou gama distribuce s parametry (α + λ) a (β +λ).

Pomocí definice gama distribuce a funkce společného rozdělení bude funkce hustoty pro náhodnou veličinu X a Y

px 68
px 69

považovat dané funkce za

g1 (x, y) = x + y, g2 (x, y) = x / (x + y),

takže diferenciace těchto funkcí je

px 70
px 71
px 72

teď je Jacobian

px 73

po zjednodušení daných rovnic proměnných x = uv a y = u (1-v) je funkce hustoty pravděpodobnosti

px 74
px 75

můžeme použít vztah

px 76
px 77
  • Vypočítejte funkci hustoty pravděpodobnosti spoje pro

Y1 =X1 +X2+ X3 , A2 =X1- X2 , A3 =X1 - X3

kde náhodné proměnné X1, X2, X3 jsou standardem normální náhodné veličiny.

Nyní vypočítáme Jacobian pomocí parciálních derivací

Y1 =X1 +X2+ X3 , A2 =X1- X2 , A3 =X1 - X3

as

px 78

zjednodušení pro proměnné X1 , X2 a X3

X1 = (Y1 + Y.2 + Y.3) / 3, X2 = (Y1 - 2R2 + Y.3) / 3, X3 = (Y1 + Y.2 -2 r3) / 3

můžeme zobecnit funkci hustoty spár jako

px 79

tak máme

px 80

pro normální proměnnou je funkce hustoty pravděpodobnosti kloubu

px 81

proto

px 82

kde je index

px 83
px 84

vypočítat funkci hustoty spojů Y1 …… Yn a funkce mezní hustoty pro Yn kde

px 85

a Xi jsou nezávislé identicky distribuované exponenciální náhodné proměnné s parametrem λ.

pro náhodné proměnné formuláře

Y1 =X1 , A2 =X1 + X2 , …, Yn =X1 + …… + Xn

Jacobian bude ve formě

Image11

a proto je jeho hodnota jedna a funkce hustoty kloubu pro exponenciální náhodnou proměnnou

px 86

a hodnoty proměnné Xi bude

px 87

takže funkce hustoty kloubu je

px 88
px 89
px 90
px 91

Nyní najděte funkci mezní hustoty Yn budeme integrovat jeden po druhém jako

px 92
px 93

a

px 94 1
px 94 2

jako moudrý

px 96

pokud budeme pokračovat v tomto procesu, dostaneme

px 97

což je funkce mezní hustoty.

Závěr:

Projekt podmíněné rozdělení pro diskrétní a spojitou náhodnou veličinu s různými příklady s ohledem na některé typy těchto diskutovaných náhodných veličin, kde hraje důležitou roli nezávislá náhodná veličina. Navíc kloub rozdělení pro funkci spojených spojitých náhodných veličin také vysvětleno s vhodnými příklady, pokud požadujete další čtení, přejděte na níže uvedené odkazy.

Další příspěvek z matematiky naleznete v našem Stránka matematiky

Wikipediahttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

První kurz pravděpodobnosti od Sheldona Rosse

Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky

Úvod do pravděpodobnosti a statistik od ROHATGI a SALEH