Konzolový nosník: 11 faktů, které byste měli vědět

Obsah: Konzolový nosník

  • Konzolová definice paprsku
  • Konzolový trámový diagram volného těla
  • Konzolové nosníky Okrajové podmínky
  • Určete vnitřní smykový a ohybový moment v konzolovém nosníku jako funkci x
  • Nalezení smykové síly a ohybového momentu působícího ve vzdálenosti 2 m od volného konce na konzolovém nosníku s rovnoměrně rozloženým zatížením (UDL)
  • Rovnice deformační křivky pro konzolový nosník s rovnoměrně rozloženým zatížením
  • Konzolový nosník Tuhost a vibrace
  • Konzolový ohyb paprsku díky čistému ohybovému momentu vyvolávajícímu napětí v ohybu
  • Nalezení napětí v ohybu konzoly vyvolané v důsledku rovnoměrně rozloženého zatížení (UDL)
  • Otázka a odpověď na konzolovém nosníku

Konzolová definice paprsku

"Konzola je tuhý konstrukční prvek, který se rozprostírá vodorovně a je nesen pouze na jednom konci." Typicky se rozprostírá od rovného svislého povrchu, jako je zeď, ke kterému musí být pevně připevněn. Stejně jako ostatní konstrukční prvky může být konzola vytvořena jako nosník, deska, vazník nebo deska. “

https://en.wikipedia.org/wiki/Cantilever

Konzolový nosník je nosník, jehož jeden konec je pevný a druhý konec je volný. Pevná podpora brání posunutí a rotačnímu pohybu paprsku na tomto konci. Konzolový nosník umožňuje převislý prvek bez další podpory. Když je zatížení aplikováno na volný konec nosníku, konzola přenáší toto zatížení na podporu, kde aplikuje smykovou sílu [V] a ohybový moment [BM] na pevném konci.

Schéma volného těla konzolového nosníku

Zvažte konzolový nosník s bodovým zatížením působícím na volný konec nosníku.

Níže je nakreslen diagram volného tělesa pro konzolový nosník:

Snímek 2 1
Zdarma schéma těla

Okrajové podmínky konzolového nosníku

Síly reakce a moment v A lze vypočítat použitím rovnovážných podmínek

\\součet F_y=0, \\součet F_x=0 ,\\součet M_A=0

Pro horizontální rovnováhu

\\součet F_x=0
R_ {HA} = 0

Pro vertikální rovnováhu

\\součet F_y=0
\\\\R_{VA}-W=0
\\\\R_{VA}=W

Vezmeme-li moment okolo A, bude moment ve směru hodinových ručiček kladný a moment proti směru hodinových ručiček považován za negativní

WL-M_A = 0
M_A = WL

Určete vnitřní smykový a ohybový moment v konzolovém nosníku jako funkci x

Zvažte konzolový nosník s rovnoměrně rozloženým zatížením zobrazeným na obrázku níže.

Konzolový nosník s rovnoměrně rozloženým zatížením
Konzolový nosník s UDL

Výsledné zatížení působící na nosník v důsledku UDL může být dáno vztahem

W = plocha obdélníku

Š = D * š

W = wL

Ekvivalentní bodové zatížení wL bude působit ve středu paprsku. tj. na L / 2

Schéma volného těla paprsku se stává

Prezentace1

Hodnotu reakce při A lze vypočítat použitím rovnovážných podmínek

\\součet F_y=0, \\součet F_x=0 ,\\součet M_A=0

Pro horizontální rovnováhu

\\součet F_x=0
\\\\R_{HA}=0

Pro vertikální rovnováhu

\\součet F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=wL

Vezmeme-li moment okolo A, bude moment ve směru hodinových ručiček kladný a moment proti směru hodinových ručiček považován za negativní

wL*\\frac{L}{2}-M_A=0 \\\\M_A=\\frac{wL^2}{2}

Nechť XX je část zájmu ve vzdálenosti x od volného konce

Podle znaménkové konvence diskutované dříve, pokud začneme počítat smykovou sílu z Levá strana nebo levý konec paprsku, Síla působící nahoru je bráno jako Pozitivní, a Síla působící dolů je bráno jako Negativní.

Smyková síla v A je 

S.F_A = R_ {VA} = wL

v oblasti XX je

S.F_x=R_{VA}-š[Dx] \\\\S.F_x=wL-wL+šx=šx

Smyková síla na B je

SF=R_{VA}-wL \\\\S.F_B=wL-wL=0

Hodnoty smykové síly na A a B uvádějí, že smyková síla se lineárně mění od pevného konce k volnému konci.

Pokud pro BMD začneme počítat ohybový moment z Levá strana nebo levý konec paprsku, Moment ve směru hodinových ručiček je bráno jako Pozitivní a Moment proti směru hodinových ručiček je bráno jako Negativní.

BM ve společnosti A

B.M_A=M_A=\\frac{wL^2}{2}

BM ve společnosti X

B.M_x=M_A-w[Lx] \\\\B.M_x=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{w(Lx)^2}{2}
\\\\B.M_x=wx(L-\\frac{x}{2})

BM ve společnosti B

B.M_B=M_A-\\frac{wL^2}{2}
\\\\B.M_B=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{wL^2}{2}=0
Snímek 5 1
SFD a BMD

Nalezení smykové síly a ohybového momentu působícího ve vzdálenosti 2 m od volného konce na konzolovém nosníku s rovnoměrně rozloženým zatížením (UDL)

Zvažte konzolový nosník s rovnoměrně rozloženým zatížením, jak je znázorněno na obrázku níže. w = pouze 20 N / m. L = 10 m, x = 2 m

Slide6

Výsledné zatížení působící na nosník v důsledku UDL může být dáno vztahem

W = plocha obdélníku

W = 20 * 10

W = 200 N

Ekvivalentní bodové zatížení wL bude působit ve středu paprsku. tj. na L / 2

Schéma volného těla paprsku se stává,

Slide7

Hodnotu reakce při A lze vypočítat použitím rovnovážných podmínek

\\součet F_y=0, \\součet F_x=0 ,\\součet M_A=0

Pro horizontální rovnováhu

\\součet F_x=0
\\\\R_{HA}=0

Pro vertikální rovnováhu

\\součet F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=200 N

Vezmeme-li moment okolo A, bude moment ve směru hodinových ručiček kladný a moment proti směru hodinových ručiček považován za negativní

200*\\frac{10}{2}-M_A=0
\\\\M_A=1000 \\;N-m

Nechť XX je část zájmu ve vzdálenosti x od volného konce

Podle znaménkové konvence diskutované dříve, pokud začneme počítat smykovou sílu z Levá strana nebo levý konec paprsku, Síla působící nahoru je bráno jako Pozitivní, a Síla působící dolů je bráno jako Negativní.

Smyková síla v A je 

S.F_A=R_{VA}=wL \\\\S.F_A=200 N

v oblasti XX je

S.F_x=R_{VA}-š[Dx] \\\\S.F_x=wL-wL+šx=šx

pro x = 2 m

\\\\S.F_x=šx=20*2=40\\;N

Smyková síla na B je

SF=R_{VA}-wL \\\\S.F_B=wL-wL=0

Hodnoty smykové síly na A a B uvádějí, že smyková síla se lineárně mění od pevného konce k volnému konci.

Pokud pro BMD začneme počítat ohybový moment z Levá strana nebo levý konec paprsku, Moment ve směru hodinových ručiček je bráno jako Pozitivní a Moment proti směru hodinových ručiček je bráno jako Negativní.

BM ve společnosti A

B.M_A = M_A
B.M_A=1000\\;Nm

BM ve společnosti X

B.M_x = M_A-w [Lx]
\\\\B.M_x=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{w(L-x)^2}{2}=wx[L-\\frac{x}{2}]
\\\\B.M_x=20*2*[10-\\frac{2}{2}]=360\\;N.m

BM ve společnosti B

B.M_B=M_A-\\frac{wL^2}{2}=1000-\\frac{20*10^2}{2}=0
Slide8

Rovnice deformační křivky pro konzolový nosník s rovnoměrně rozloženým zatížením

Vezměte v úvahu konzolový nosník délky L zobrazený na obrázku níže s rovnoměrně rozloženým zatížením. Odvodíme rovnici pro sklon a výchylka pro tento paprsek pomocí metody dvojité integrace.

Snímek 3 1

Ohybový moment působící ve vzdálenosti x od levého konce lze získat jako:

M=-šx* \\frac{x}{2}

Pomocí diferenciální rovnice křivky

\\frac{d^2y}{dx^2}=M = \\frac{-wx^2}{2}

Jakmile se dočkáme integrace,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+C_1………..[1]

Integrační rovnici [1] dostaneme,

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]

Konstanty integrací lze získat pomocí okrajových podmínek,

Při x = L, dy / dx = 0; protože podpora na A odolává pohybům. Z rovnice [1] tedy dostaneme,

C_1=\\frac{wL^3}{6}

Při x = L, y = 0, bez průhybu na podpěře nebo pevném konci A Z rovnice [2] tedy dostaneme,

0= \\frac{-wL^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} *L+C_2
C_2= \\frac{-wL^4}{8}

Dosazením hodnoty konstanty v [1] a [2] získáme nové množiny rovnic jako

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}………..[3]
EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}……..[4]

Vyhodnoťte sklon při x = 12 m a maximální průhyb z daných údajů: I = 722 cm4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Z výše uvedených rovnic: při x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}
210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-20*12^3}{6}+\\frac{20*20^3}{6}
\\frac{dy}{dx}=0.01378 \\;radiánů

Z rovnice [4]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}
210*10^9*722*10^{-8}*y= \\frac{-20*12^4}{24}+\\frac{20*20^3}{6} -\\frac{20*20^4}{8}
y=-0.064 \\;m

Konzolový nosník Tuhost a vibrace

Tuhost lze definovat jako odolnost proti průhybu ohybem nebo deformaci na ohybový moment. Poměr maximálního zatížení působícího k maximálnímu průhybu nosníku lze nazvat tuhost nosníku.

U konzolového nosníku se silou W na volném konci je maximální průhyb dán vztahem

δ=\\frac{WL^3}{3EI}

Kde W = aplikované zatížení, L = délka paprsku, E = Youngův modul, I = druhý moment setrvačnosti

Tuhost je dána,

k=W/3
\\\\k=W/\\frac{WL^3}{XNUMXEI}
\\\\k=\\frac{3EI}{L^3} 

Přirozenou frekvenci lze definovat jako frekvenci, při které má systém tendenci vibrovat při absenci jakékoli hnací nebo odporové síly.

ω_n=\\sqrt{k/m} \\\\ω_n=\\sqrt{\\frac{3EI}{L^3m} }

Kde m = hmotnost paprsku.

Konzolový ohyb paprsku díky čistému ohybu Moment vyvolávající napětí v ohybu

Když je člen vystaven rovným a opačným párům v rovině člena, je definován jako čistý ohyb. V čistém ohybu je smyková síla působící na paprsek nulová.

Předpoklady: Materiál je homogenní

Platí Hookův zákon

Člen je hranolový

V rovině prutu se použije dvojice

Po ohnutí nedochází k deformaci průřezu nosníku

Profil deformace musí být lineární od neutrální osy

Rozložení napětí je lineární od neutrální osy k hornímu a spodnímu vláknu paprsku.

Euler-Bernoulliho rovnice pro ohybový moment je dána vztahem

\\frac{M}{I}=\\frac{\\sigma_b}{y}=\\frac{E}{R}

M = Aplikovaný ohybový moment na průřez nosníku.

I = Druhý plošný moment setrvačnosti

σ = napětí v ohybu vyvolané v prvku

y = Vertikální vzdálenost mezi neutrální osou paprsku a požadovaným vláknem nebo prvkem v mm

E = Youngův modul v MPa

R = poloměr zakřivení v mm

Napětí v ohybu pro konzolový nosník o průměru da aplikované zatížení W lze uvést jako,

Snímek 1 3

Napětí v ohybu bude působit na pevnou podporu nosníku

Okamžik platil M = WL

Druhá oblast moment setrvačnosti

I=\\frac{\\pi}{64}d^4

Svislá vzdálenost mezi neutrální osou paprsku a požadovaným vláknem nebo prvkem

y = d / 2

Napětí v ohybu je uvedeno jako

σ=\\frac{My}{I}
\\\\σ=\\frac{32WL}{\\pi d^3}

Hledání napětí v ohybu působícího na konzolový nosník s rovnoměrně rozloženým zatížením (UDL)

Zvažte konzolový nosník s rovnoměrně rozloženým zatížením zobrazeným na obrázku níže I = 722 cm4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Snímek 7 1

Síly reakce a moment v A lze vypočítat použitím rovnovážných podmínek

\\součet F_y=0, \\součet F_x=0 ,\\součet M_A=0

Pro horizontální rovnováhu

\\součet F_x=0
\\\\R_{HA}=0

Pro vertikální rovnováhu

\\součet F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=200 N

Vezmeme-li moment okolo A, bude moment ve směru hodinových ručiček kladný a moment proti směru hodinových ručiček považován za negativní

200*\\frac{10}{2}-M_A=0
\\\\M_A=1000 \\;N-m

Napětí v ohybu

σ=\\frac{My}{I}
σ=\\frac{1000*50*10^{-3}}{2*722*10^{-8}}
σ=3.238\\;MPa

Otázka a odpověď na konzolovém nosníku

Q.1 Jak se nazývá poměr maximálního zatížení působícího k maximálnímu průhybu nosníku?

Odpověď: Tuhost lze definovat jako odolnost proti průhybu ohybem nebo deformaci na ohybový moment. Poměr maximálního zatížení působícího k maximálnímu průhybu nosníku lze nazvat tuhost nosníku.

Q.2 Definovat konzolový nosník?

Odpověď: Konzolový nosník je nosník, jehož jeden konec je pevný a druhý konec je volný. Pevná podpora zabraňuje posunutí a rotačnímu pohybu paprsku na tomto konci. Konzolový nosník umožňuje převislý prvek bez další podpory. Když je zatížení aplikováno na volný konec nosníku, konzola přenáší toto zatížení na podporu, kde aplikuje smykovou sílu [V] a ohybový moment [BM] směrem k pevnému konci.

Otázka 3: Konzolový nosník je vystaven rovnoměrně rozloženému zatížení po celé délce nosníku, jaký bude tvar diagramu smykové síly a ohybového momentu?

Odpověď: Pro konzolový nosník vystavený rovnoměrně rozloženému zatížení po délce nosníku bude tvar diagramu smykové síly lineární křivka a Diagram ohybového momentu bude parabolická křivka.

Otázka 4: Konzola je rovnoměrně vystavena různému zatížení po celé délce nosníku počínaje nulou od volného konce, jaký bude tvar diagramu smykové síly a ohybového momentu?

Odpověď: U konzolového nosníku vystaveného rovnoměrně se měnícímu zatížení po celé délce nosníku bude tvar diagramu smykové síly parabolická křivka a diagram ohybového momentu bude krychlový nebo třetí stupeň.

Q.5 Kde působí tah a tlak při ohybu konzolových nosníků?

Odpověď: Pro konzolový nosník daného rozpětí bude maximální ohybové napětí na pevném konci nosníku. Pro čisté zatížení směrem dolů působí maximální tahové ohybové napětí na horní část průřezu a max tlakové napětí působí na spodní vlákno nosníku.

Q.6 Konzola je vystavena momentu (M) po celé délce paprsku, jaká bude smyková síla a ohybový moment?

Odpověď: Pro konzolový paprsek vystavený momentu M po délce paprsku bude smyková síla nulová, protože na paprsek nebude působit žádná vnější ohybová síla a ohybový moment zůstane po celou délku paprsku konstantní.

Chcete-li vědět o pevnosti materiálu (klikněte zde)a diagram ohybového momentu Klikněte zde

Zanechat komentář