Binomická náhodná proměnná: 3 zajímavá fakta, která byste měli vědět

Binomická a Poissonova náhodná proměnná a její vlastnosti

    O náhodné proměnné, která se zabývá úspěchem a neúspěchem náhodného experimentu pro n opakování, bylo známo, že je binomickou náhodnou proměnnou, definice její pravděpodobnostní hromadné funkce se zabývá pravděpodobností úspěchu p a pravděpodobností selhání q, definice s příklady už jsme viděli, nyní s pochopením vidíme některé vlastnosti takové diskrétní náhodné proměnné,

Očekávání a rozptyl binomické náhodné proměnné

Očekávání a rozptyl binomické náhodné proměnné s opakováním n a p jako pravděpodobností úspěchu jsou

E [X] = np

a Var (X) = np (1-p)

nyní zvažte pro znázornění těchto dvou očekávání náhodné proměnné síly k podle definice pravděpodobnostní hmotnostní funkce pro binomickou náhodnou proměnnou jako,

kde Y je další binomická náhodná proměnná s n-1 pokusy a p jako pravděpodobnost úspěchu, Vezmeme-li hodnotu k = 1, dostaneme

E [X] = np

a pokud dosadíme k = 2, dostaneme

E [X²] = npE [Y + 1]

= np [(n-1) p + 1]

takže se snadno dostaneme

Var (X) = E [X²] - (E [X])²

= np [(n-1) p + 1] - (np)²

= np (1-p)

Příklad: Pro nezaujatou minci proveďte experiment házení stokrát a pro počet ocasů, které se v tomto případě objeví, najděte průměr, rozptyl a směrodatnou odchylku tohoto experimentu.

Ocas jednoho losování má pravděpodobnost úspěchu p = 1/2 = 0.5

průměr takového experimentu je

E [X] = np

protože experiment je binomický jako jediný úspěch nebo neúspěch, dostaneme n počet opakování

tak jako μ = np

μ = 100x (0.5) = 50

Podobně bude rozptyl a směrodatná odchylka

Var (X) = np (1-p)

σ²= np(1-p)

Hodnota by byla

σ² = (100) (0.5) (0.5) = 25

Příklad:     Najděte průměrnou a standardní odchylku pravděpodobnosti defektu 0.1 ve společnosti vyrábějící šrouby od šarže 400 šroubů.

zde n = 400, p = 0.1, průměr = np = 400 × 0.1 = 40

od

σ²= np(1-p)

takže směrodatná odchylka bude

Příklad: Najít pravděpodobnost přesně, méně než a alespoň 2 úspěchy, pokud je průměr a směrodatná odchylka pro binomickou náhodnou veličinu 4 a 2 v tomto pořadí.

Protože průměr = np = 4

a rozptyl = np(1-p) = 2,

takže 4(1-p)=2

(1-p) = 1/2

p = 1- (1/2)

dávat tuto hodnotu znamená, že dostaneme

np = 4

n (1/2) = 4

n = 8

pravděpodobnost přesně 2 úspěchů bude

pravděpodobnost méně než 2 úspěchů bude

p (X <2)

= P (0) + P (1) = ⁸C₀ p⁰q⁸ + ⁸C₁ p¹q⁷

= (1/256) +8 x (1/2) x (1/2)⁷ = 9/256 XNUMX XNUMX

Pravděpodobnost alespoň 2 úspěchů

p (X> 2) = 1- p (X <2)

= 1-P (0) - P (1) = 1- [P (0) + P (1)] = 1- (9/256) = 247/256

Poissonova náhodná proměnná

    Je známo, že diskrétní náhodná proměnná X, která nabývá hodnot 0,1,2 …… .., je Poissonova náhodná proměnná pro libovolné λ> 0, její funkce pravděpodobnostní hmotnosti musí být

or

as

Když n je velmi velké a pravděpodobnost úspěchu p je velmi malá, v takovém případě se Poissonova náhodná proměnná s funkcí pravděpodobnostní hmotnosti stala aproximací binomické náhodné variace s příslušným pmf, protože očekávání v tomto případě, které je np, bude mírné a být λ = np .

Příklad: Najděte pravděpodobnost, že na každé stránce knihy, která má Poissonovo rozdělení s průměrem 1/2 pro jednu stránku, je alespoň jedna překlepová chyba.

Nechť diskrétní náhodná proměnná X označuje chyby na stránce. takže Poissonova náhodná proměnná má funkci pravděpodobnostní hmotnosti jako

A = 1/2

Příklad: Zjistěte pravděpodobnost, že vzorek 10 položek vyrobených strojem s 0.1 šancí na chybnou výrobu má nejvýše jednu vadnou položku.

To můžeme vyřešit jak binomickou hromadnou funkcí pravděpodobnosti, tak Poissonovou pravděpodobnostní hromadnou funkcí, takže to vyřešíme Poissonovou

Očekávání a rozptyl Poissonovy náhodné proměnné

Očekávání a rozptyl Poissonovy náhodné proměnné s opakováním n a pravděpodobností úspěchu p jsou

E [X] = np = λ

a          

Var (X) = np = λ

Než ukážeme výsledek, musíme mít na paměti, že Poissonova náhodná veličina není nic jiného než aproximace binomické náhodné veličiny, takže np= λ nyní bude očekávání pomocí funkce pravděpodobnosti hmotnosti

To znamená, že matematická očekávaná hodnota Poissonovy náhodné proměnné se rovná jejímu parametru, podobně pro výpočet rozptylu a směrodatné odchylky Poissonovy náhodné proměnné vyžadujeme očekávání čtverce X, takže

Výše uvedený součet je zřejmý, protože dva ze součtů jsou očekávání a součet pravděpodobností.

Hodnota rozptylu, kterou získáme, je tedy

Var (X) = E [X²] - (E [X])²

= λ

takže v případě Poissonovy náhodné proměnné mají průměr a rozptyl stejnou hodnotu, tj. np jako parametr.

Projekt Poissonova náhodná proměnná je aproximace dobrá pro nalezení různých procesů, např. zjištění výskytu počtu zemětřesení v určitém konkrétním časovém období, zjištění počtu elektronů během fixního času z vyhřívané katody, zjištění možného počtu úmrtí během stanoveného času nebo počtu válek v konkrétním roce atd

Příklad : Vypočítejte pravděpodobnost, že celkový počet cestujících za dva dny je menší než 2. Pokud počet příletů cestujících se střední hodnotou 5 následuje Poissonovu náhodnou proměnnou. průměr = np = 5

Pokud vezmeme v úvahu počet cestujících za dva dny menší než 2, byl by

takže pravděpodobnost bude kombinace z těchto dvou dnů jako

=e^-10[1+5+5]

= 11e^-10

= 114.5410^-5

= 4.994 * 10^-4

Příklad: Vypočítejte pravděpodobnost výskytu 4 nebo více vadných kondenzátorů ze sady 100 kondenzátorů za předpokladu, že výrobní vada kondenzátorů je 1%.

Zde p = 1 % = 0.01 a n = 100 * 0.01 = 1

takže můžeme použít Poissonovu náhodnou proměnnou s pravděpodobností hromadné funkce PMF

průměr = np = 100 * 0.01 = 1

takže pravděpodobnost výskytu 4 nebo více vadných kondenzátorů bude

=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]

Příklad: Existuje-li 0.002 šance, že produkt bude vadný z výroby, jaká by byla pravděpodobnost, že takový balíček nebude mít vadný, jeden vadný a dva vadné produkty ze zásilky 10 50000 u balení obsahujícího XNUMX takových produktů balíčky stejného produktu.

Zde pro jeden balíček pravděpodobnost defektu tj. p=0.002, n=10

pak průměr np=0.002*10= 0.020

najdeme pro každý případ jako

Z tabulky je tedy zřejmé, že počet vadných blade v paketech nula, jeden a dva, bude 4900,980,10 XNUMX.

Závěr:

   V tomto článku jsme diskutovali o některých vlastnostech jedné z Binomická náhodná proměnná, Poissonova náhodná proměnná a náhodný experiment. Také jedna další diskrétní náhodná proměnná, tj. Poissonova náhodná proměnná, diskutovaná s vlastnostmi. Distribuce pro pravděpodobnostní hmotnostní funkci, očekávání, rozptyl a směrodatná odchylka jsou také použity pro lepší pochopení. V následujících článcích se pokusíme pokrýt některé diskrétnější náhodné proměnné, pokud chcete další čtení, pak projděte Stránka matematiky.

Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Jsem DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Dokončil jsem Ph.D. v matematice a pracuje jako odborný asistent v matematice. Má 12 let praxe v pedagogické činnosti. Mít rozsáhlé znalosti v čisté matematice, přesně v algebře. Mít obrovskou schopnost navrhovat a řešit problémy. Schopný motivovat kandidáty ke zvýšení jejich výkonu.
Rád přispívám do Lambdageeks, aby byla matematika jednoduchá, zajímavá a samovysvětlující pro začátečníky i odborníky.