Vzorec namáhání v ohybu: Několik případů použití a příklady

Tento článek pojednává o vzorcích ohybového napětí pro různé typy konfigurací nosníků. Všichni víme, že když se objekt zakřiví v důsledku působení zatížení, pak se říká, že je vystaven ohybu.

Je velmi důležité znát velikost ohybového napětí, kterému je obrobek vystaven. Obrobek se zlomí, pokud použité ohybové napětí překročí maximální povolené ohybové napětí. Ohýbání pevnost materiálu je maximální pevnost v ohybu, která může být aplikována na obrobek, než se obrobek začne lámat.

Co je to ohybové napětí?

Začněme naši diskusi definicí ohybového napětí. Je to prostě stres, který je zodpovědný za ohýbání obrobku.

V dalších částech uvidíme matematické formy namáhání v ohybu pro různé konfigurace nosníků a tvary průřezů.

Co je to paprsek?

Nosník je konstrukční prvek, který se používá hlavně pro podepření primární konstrukce. Nosník nemusí být nutně podpěra, může to být sama konstrukce, například mosty a balkony.

Nejčastěji používané nosníky v průmyslu jsou konzola nosníky, jednoduše podepřené nosníky a spojité nosníky.

Vzorec namáhání v ohybu pro nosník

Ohýbání stres závisí na ohybovém momentu momentu setrvačnosti průřezu a vzdálenosti od neutrální osy, kde působí zatížení.

Matematicky to může být reprezentováno jako -

σ = Můj/Já

y je vzdálenost od neutrální osy

I je moment setrvačnosti průřezu

Z hlediska modulu průřezu-

σ = M/Z

kde,

Z je modul průřezu nosníku

M je ohybový moment

Jednotky vzorce napětí v ohybu

Vzorec napětí v ohybu lze zadat jako -

σ = Můj/Já

Vzorec v jednotkách každé veličiny může být uveden jako-

Jednotky = N – mm x mm/mm⁴

Z výše uvedeného můžeme odvodit, že jednotky ohybového napětí jsou -

Jednotky = N/mm²

Vzorec přípustného ohybového napětí

Dovolené napětí je hodnota napětí, při jejímž překročení by napětí nemělo být z bezpečnostních důvodů aplikováno. Dovolené napětí v ohybu závisí na ohybová tuhost materiálu.

Projekt dovolené napětí v ohybu vzorec lze zadat jako -

σ_přípustný =σ_max/F_s

kde,

Fs je faktor bezpečnosti

Odvození vzorce ohybového napětí

Uvažujme část nosníku, jak je znázorněno na obrázku níže -

Předpokládejme okamžik, M je aplikován na nosník. Paprsek se zakřivuje o úhel theta a vytváří poloměr zakřivení R, jak je znázorněno na obrázku níže -

Napětí v neutrální ose je nulové. Zatímco napětí působící na linii, kde působí síla, zažívá napětí. Vyrovnáním všech hodnot napětí dostaneme celkové napětí,

(R + y)θ – Rθ/Rθ = y/R

Napětí je také dáno -

Deformace = σ/E

z výše uvedených rovnic můžeme usoudit, že

a/y = E/R

Teď,

M = Σ E/R xy²

a,

XNUMXA = E/R Σ y² δA

M = E/R x I

Z výše uvedených rovnic usuzujeme, že

a/y = E/R = M/I

Proto odvozené.

Vzorec namáhání v ohybu pro obdélníkový nosník

V závislosti na průřezu nosníku se mění moment setrvačnosti a tím i vzorec ohybového napětí.

Moment setrvačnosti obdélníku je dán jako -

I = bd³/ 12

Shora, ohybové napětí vzorec pro obdélníkový paprsek lze napsat jako-

a = 6M/bd²

Vzorec namáhání v ohybu pro dutý obdélníkový nosník

Duté nosníky se používají ke snížení hmotnosti nosníku. Tyto nosníky lze použít v aplikacích s nízkou hmotností.

Uvažujme nosník s dutým obdélníkovým průřezem s vnější délkou D a vnitřní délkou d, vnější šířkou B a vnitřní šířkou b.

Modul průřezu tohoto průřezu bude-

Z = 1/6D x (BD³ – bd³)

Vzorec ohybového napětí pro dutý nosník tedy může být dán -

a = 3M/(BD³ – bd³)

Vzorec napětí v ohybu pro kruhový průřez

Uvažujme nosník s kruhovým průřezem o průměru D.

Moment setrvačnosti kruhového průřezu může být dán -

I = πD⁴/ 64

Shora můžeme napsat vzorec ohybového napětí pro kruhový nosník jako-

a = 32M/bd³

Vzorec namáhání v ohybu pro dutou hřídel

Uvažujme dutý kruhový hřídel s vnitřním průměrem d a vnějším průměrem D.

Moment setrvačnosti dutého kruhového průřezu lze zadat jako

I = π (D⁴-d⁴) / 64

Shora lze ohybové napětí zapsat jako -

σ = 32MD/π(D⁴-d⁴)

Vzorec namáhání v ohybu pro trubku

Trubka je jednoduše dutý kruhový hřídel. Vzorec namáhání v ohybu je tedy stejný jako u dutého kruhového hřídele.

To znamená,

σ = 32MD/π(D⁴-d⁴)

Maximální ohybové napětí pro jednoduše podepřený nosník

Obecný vzorec pro ohybové napětí zůstává stejný, tj.

σ = Můj/Já

Vzorec je však upraven podle typu zatížení. Zatížení může být ve formě bodového zatížení, rovnoměrně rozloženého zatížení nebo rovnoměrně proměnlivého zatížení. V dalších částech uvidíme různé vzorce pro jednoduše podepřené nosníky v různých formách zatížení.

Co je to ohybový moment?

Reakce vyvolaná v konstrukčním prvku nebo ohybový efekt vyvolaný působením vnějšího zatížení na nosník (konstrukční prvek).

Vzorec ohybového momentu pro různé konfigurace nosníků při různých typech zatížení je diskutováno v níže uvedených částech.

Vzorec ohybového momentu pro pevný nosník

Pevný nosník je typ nosníku, který je upevněn na obou koncích. Na obou koncích jsou přítomny reakční síly. Vzorec ohybového momentu pro pevný nosník při různých typech zatížení je uveden níže-

• Ohybový moment při UDL nebo rovnoměrně rozloženém zatížení

Vzorec pro ohybový moment pevného nosníku pod UDL je dán jako-

M = ωL²/ 12

• Ohybový moment při bodovém zatížení

Vzorec pro ohybový moment pevného nosníku při bodovém zatížení je dán jako-

M = coL/8

• Ohybový moment při lichoběžníkovém zatížení nebo UVL nebo rovnoměrně proměnlivém zatížení

Vzorec pro ohybový moment pevného nosníku při lichoběžníkovém zatížení je dán jako-

M₁ = ωL²/ 30

Pro druhou stranu,

M₂ = ωL²/ 20

Vzorec ohybového momentu pro spojitý nosník

Průběžný ohybový moment při různých typech zatížení je uveden níže -

• Ohybový moment pod UDL

Abychom našli ohybový moment spojitého nosníku při rovnoměrně rozloženém zatížení, musíme najít reakční síly v koncových bodech. Poté musíme použít podmínky rovnováhy, kdy součet všech horizontálních a vertikálních sil je nulový, stejně jako momentů je nulový. Pro řešení UDL vynásobíme délku velikostí UDL. Například, pokud je aplikováno 2N/m UDL do 4m délky obrobku, pak bude působící čisté zatížení 2×4= 8N ve středu, tedy ve 2m.

• Ohybový moment při bodovém zatížení

Postup je stejný jako u UDL. Jediný rozdíl je v tom, že zde známe velikost síly a vzdálenost, na kterou působí, takže ji nemusíme převádět na bodové zatížení jako u UDL.

• Ohybový moment pod UVL nebo rovnoměrně se měnícím zatížením

K vyřešení UVL potřebujeme najít obsah trojúhelníku tvořeného UVL. Plocha je velikost bodového zatížení, které bude působit vlivem UVL. Vzdálenost od vrcholu bude L/3, ve které bude působit bodové zatížení. Zbytek postupu je diskutován výše.

Vzorec ohybového momentu pro obdélníkový nosník

Ohybový moment nosníku nezávisí na tvaru nosníku. Ohybový moment se bude měnit podle podmínek zatížení a typu nosníku (zda spojitý, jednoduše podepřený konzolou atd.).

S tvarem průřezu nosníku se mění pouze moment setrvačnosti. Tímto způsobem se změní vzorec ohybového napětí. Vzorec namáhání v ohybu pro obdélníkový průřez je diskutován ve výše uvedené části.

Vzorec ohybového momentu pro UDL

UDL neboli rovnoměrně rozložené zatížení je typ zatížení, které působí na určitou délku obrobku a má stejnou velikost, kdekoli je aplikováno.

Vzorec ohybového momentu pro UDL různých konfigurací nosníku je uveden níže-

• Pro prostě podporováno paprsek-

Vzorec pro ohybový moment jednoduše podepřeného nosníku pod UDL je dán jako-

M = ωL²/8

• Pro konzolový nosník -

Vzorec pro ohybový moment konzolového nosníku pod UDL je dán jako-

M = ωL²/2

Vzorec ohybového momentu pro bodové zatížení

Bodové zatížení je typ zatížení, které působí pouze v určitém bodě na povrchu obrobku.

Vzorce ohybového momentu pro bodová zatížení pro různé konfigurace nosníků jsou uvedeny níže-

• Pro jednoduše podepřený nosník: Vzorec pro ohybový moment jednoduše podepřeného nosníku při bodovém zatížení je dán jako- M = ωL/4

• Pro konzolový nosník: Vzorec pro ohybový moment konzolového nosníku při bodovém zatížení je dán jako- M = ωL

Pro jiné konfigurace nosníku je vzorec pro ohybový moment diskutován ve výše uvedených částech.

Vzorec ohybového momentu pro lichoběžníkové zatížení

Lichoběžníkové zatížení je druh zatížení, které působí na určitou délku obrobku a mění se lineárně s délkou. Lichoběžníkové zatížení je kombinací UDL a UVL. Předpokládejme velikost UDL jako nulu pro usnadnění našich výpočtů.

Ohybové momenty pro různé konfigurace nosníku při lichoběžníkovém zatížení jsou uvedeny níže-

• Pro jednoduše podepřený nosník– Ohybový moment jednoduše podepřeného nosníku při lichoběžníkovém zatížení je dán jako- M = ωL²/ 12

• Pro konzolový nosník– Ohybový moment konzolového nosníku při lichoběžníkovém zatížení je dán jako- M = ωL²/6

Pro jiné konfigurace nosníku je vzorec diskutován ve výše uvedené části

Shrnutí vzorce ohybového momentu

Níže uvedená tabulka ukazuje stručný přehled vzorec pro různé konfigurace nosníků při různých typech zatížení

Shrnutí vzorce ohybového napětí

Níže uvedená tabulka ukazuje stručný souhrn vzorce pro ohybová napětí různých průřezů nosníku