Teorie pravděpodobnosti: 7 úplných rychlých faktů

Teorie pravděpodobnosti vyplynula z konceptu riskování. dnes existuje mnoho komplikací, které přicházejí z hazardní hry, například vyhrát fotbalový zápas, hrát karty a házet mincí nebo házet kostkou. 

Teorie pravděpodobnosti se používá v mnoha různých odvětvích a je pružná teorie pravděpodobnosti poskytuje nástroje pro téměř tolik různých požadavků. Zde budeme diskutovat o teorii pravděpodobnosti a několika vzorcích pomocí několika základních konceptů a výsledků.

NÁHODNÉ EXPERIMENTY:

"Náhodný experiment je druh experimentů, kde nelze předvídat výsledek."

UKÁZKOVÝ PROSTOR: 

Soubor všech možných výsledků z experimentu se nazývá prostor vzorku, obvykle se označuje S a všechny výsledky testu se považují za vzorový bod.
Např.: Přemýšlejte o náhodném experimentu s házením 2 mincí najednou. Existují 4 výsledky, které tvoří ukázkový prostor označený jako, S = {HH, TT, HT, TH}

TRAIL A UDÁLOST:

Každá neprázdná podmnožina A vzorového prostoru S se nazývá událost. Zvažte experiment s hodem mince. Když hodíme minci, můžeme najít hlavu (H) nebo ocas (T). Zde házení mincí je stezka a získání hlavy nebo ocasu je událost.

SLOŽENÉ AKCE: 

Události získané kombinací dvou nebo více základních událostí se nazývají složené události nebo rozložitelné události.

VÝDAVNÉ AKCE:

Celkový počet proveditelných výsledků jakékoli trasy se nazývá vyčerpávající události.

Např .: Při hodu kostkou jsou potenciální výsledky 1 nebo 2 nebo 3 nebo 4 nebo 5 nebo 6. Takže v hodu kostkou máme celkem 6 událostí.

VZÁJEMNĚ VÝHRADNÍ A VÝFUKOVÝ SYSTÉM AKCÍ:

Nechť S je ukázkový prostor náhodného experimentu, pokud X1, X2, …..Xn jsou podmnožiny S a

i) Xi ∩ Xj = Φ pro ij a (ii) X1 ∪ X2 ……… ∪ Xn =S

Pak tato kolekce X1∪ X2 ……… ∪ Xn prý vytváří vzájemně se vylučující a vyčerpávající systém událostí.

Co je to nezávislost?

Když vytáhneme kartu v kapse dobře nastavených karet a za druhé také vyjmeme kartu ze zbytku balíčku karet (obsahujícího 51 karet), pak druhá extrakce visí na první. Ale pokud na druhou stranu vytáhneme druhou kartu z balíčku vložením první vytažené karty (nahrazením), je druhá tažení známá jako nezávislá na první.

Příklad:  Hodeny jsou dvě mince. Nechť první mince s hlavou bude událost X a Y bude druhá mince ukazující ocas po hodu. Dvě události X a Y jsou v zásadě nezávislé.

Příklad:   Vylosují se dvě spravedlivé kostky. Pokud na první kostce přijde liché číslo, považujte to za událost X a za druhé sudé číslo jako událost Y.

Dvě události X a Y jsou vzájemně nezávislé.

Příklad: Z balíčku 52 karet je vylosována karta. Li A = karta je ze srdcí, B = karta je král a A ⋂ B = karta je král srdcí, pak události A a B jsou závislí

VÝHODNÝ POČET PŘÍPADŮ: Počet případů, které umožňují zkoušení události v procesu, je celkový počet primárních událostí, u nichž aspekt kterékoli z nich zajišťuje výskyt události.

Co je míněno pravděpodobností 

Pokud je výsledkem libovolné demonstrace n nepřiměřené, stejně pravděpodobné a vyčerpávající výsledky, z nichž m souhlasí s výskytem události A, pak pravděpodobnost, že k tomu dojde A darováno

CodeCogsEqn 2

Pravděpodobnostní notace: P (X) = m / n

U dvou událostí X a Y,

(i) X 'nebo X  nebo XC označuje výskyt nebo negaci X.

ii) X ∪ Y znamená výskyt alespoň kteréhokoli z X a Y.

(iii) X ∩ Y znamená pro souběžný výskyt X a Y.

(iv) X ' „Y“ znamená, že se nevyskytuje jeden a druhý X a Y.

(v) X⊆ Y znamená „událost X označuje výskyt Y“.

Příklad: Kbelík obsahuje 6 červených a 7 černých kuliček. Najděte pravděpodobnost nakreslení kuliček červené barvy. 

Řešení: Celkem č. možných způsobů získání 1 mramoru = 6 + 7

 Počet způsobů, jak získat 1 červený mramor = 6 

Pravděpodobnost = (počet příznivých případů) / (celkový počet vyčerpávajících případů) = 6/13

Příklad: Z balíčku 52 karet je náhodně vylosována 1 karta. Zjistěte pravděpodobnost získání karty královny.

Řešení: Kartu královny lze vybrat 4 způsoby.

 Celkový počet způsobů výběru 1 karty královny = 52 

Pravděpodobnost = počet příznivých případů / celkový počet vyčerpávajících případů = 4/52 = 1/13

Příklad: Zjistěte pravděpodobnost vhazování:

(a) získání 4, (b) liché číslo, (c) sudé číslo 

s obyčejnou matricí (šest tváří). 

Řešení: Problém je problém s kostkami

a) Při házení kostkou existuje jen jeden způsob, jak získat 4.

Pravděpodobnost = počet příznivých případů / celkový počet vyčerpávajících případů = 1/6

b) Počet způsobů pádu lichého čísla je 1, 3, 5 = 3

Pravděpodobnost = počet příznivých případů / celkový počet vyčerpávajících případů = 3/6 = 1/2

c) Počet způsobů pádu sudého čísla je 2, 4, 6 = 3

Pravděpodobnost = počet příznivých případů / celkový počet vyčerpávajících případů = 3/6 = 1/2

Příklad: Jaká je šance na nalezení krále a královny, když jsou z balíčku 2 hracích karet vylosovány 52 karty?

Řešení:  2 karty lze dobrat z balíčku 52 karet = 52C2 (52 zvolit 2) způsoby

52 C2 =52!/2!(52-2)!=(52*51)/2=1326

Ze 1 karet královny lze vybrat 4 kartu královny = 4C1= 4 způsoby (4 vyberte 1) 

Ze 1 karet krále lze vzít 4 kartu krále = 4C1= 4 způsoby (4 vyberte 1)

Příznivé případy = 4 × 4 = 16 způsobů

P (tažení 1 karty královny a 1 krále) = počet příznivých případů / celkový počet vyčerpávajících případů = 16/1326 = 8/663

Příklad: Jaké jsou šance na získání 4, 5 nebo 6 v prvním hodu a 1, 2, 3 nebo 4 v druhém hodu, pokud jsou kostky hozeny dvakrát. 

Řešení:

Nechť P (A) = pravděpodobnost získání 4, 5 nebo 6 v prvním hodu = 3/6 = 1/2

a P (B) = pravděpodobnost získání 1, 2, 3 nebo 4 ve druhém hodu = 4/6 = 2/3

pravděpodobnost událostí

Teorie pravděpodobnosti

Příklad: Kniha s celkovým počtem 100 stránek, pokud je některá ze stránek vybrána libovolně. Jaká je možná šance, že součet všech číslic čísla stránky vybrané stránky je 11.

Řešení:  Počet příznivých způsobů získání 11 bude (2, 9), (9, 2), (3, 8), (8, 3), (4, 7), (7, 4), (5, 6 ), (6, 5)

Proto požadovaná pravděpodobnost = 8/100 = 2/25

Příklad: Kbelík obsahuje 10 bílých, 6 červených, 4 černé a 7 modrých kuliček. 5 kuliček je vytaženo náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že 2 z nich jsou červené barvy a jeden je černé barvy?

Řešení: 

Celkem kuliček = 10 + 6 + 4 + 7 = 27

Z těchto 5 kuliček lze vytáhnout 27 kuliček = 27 zvolit 5 způsobů

= 27C5=27!/

5! (27-5)!

=(27*26*25*24*23)/(5*4*3*2)=80730

Celkem vyčerpávajících událostí = 80730

2 červené kuličky lze čerpat ze 6 červených kuliček = 6 způsobů

= 6C2=6!/

2! (6-2)!

=(6*5)/2=15

Ze 1 černých kuliček lze vytáhnout 4 černý kulička = 4 zvolit 1 způsoby = 4C1=4

∴ Počet příznivých případů = 15 × 4 = 60

Proto požadovaná pravděpodobnost = počet příznivých případů Celkový počet vyčerpávajících případů

Závěr:

   Projekt teorie pravděpodobnosti je velmi zajímavý a použitelný v našem každodenním životě pravděpodobnost teorie a příklady nám připadají povědomé, jedná se vlastně o úplnou teorii, která se dnes používá v mnoha technologiích a aplikacích. Další informace naleznete v následující knize:

Odkaz: Schaumovy obrysy pravděpodobnosti a statistiky.

Máte-li zájem o čtení dalších témat z matematiky, přečtěte si prosím tato stránka.